Математическое моделирование рассеяния лазерного излучения в трехслойном нерегулярном волноводе

Во Введении перечислен круг вопросов, рассмотренных в диссертации [1−19]- кратко приведено современное состояние рассматриваемых в диссертационной работе вопросов и обоснована их актуальность [7, 37, 4042], кратко изложено содержание работы, ее цели, научная новизна и практическая значимость результатов, выносимые на защиту положения.

В начале первой главы приведено описание способа сведения уравнений Максвелла методом разделения переменных к двум независимым системам дифференциальных уравнений и граничных условий (одна для ТЕ-поляризации (1.29), другая для ТМ-поляризации (1.30)).

22Е&bdquo-, /, , ч г 1 <Ж„

У, 1 Г 2/^, г гг—Г Г? и 1 У к02 [ец — г2) Еу (х) = 0, Ях = ~^-Еу, Я. = —-—(0.1) сЬс2 0 ^ ' у ' 11 у' 1к0/и сЬс, а в— сЬс.

1 с1Н у к2 [ец — у2) Ну (х) = 0, Ех = Г-Ну, Е: = (0.2).

4 ' б гк0Б дх где б = бгб0— диэлектрическая проницаемость средыц = /лт1лй— магнитная проницаемость средыбт и /ит — относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости соответственно (в немагнитной среде полагается ¡-лг = 1) — б0 и /и0 — это электрическая и магнитная постоянные соответственносо^б² =пк0, п — показатель преломления среды (здесь и далее — соответствующего слоя рассматриваемого волновода), к0 = 2л/, Л0 — длина волны электромагнитного поля, со = 2тгу, V — частота электромагнитного поляЕ и Н — вектора напряженностей электрического и магнитного полей.

Уравнения (1.29), (1.30) могут быть сведены к двум независимым однородным системам линейных алгебраических уравнений для амплитудных коэффициентов [3, 7, 58−61]. з.

Во второй части первой главы диссертации приведен вывод дисперсионного соотношения для направляемых (собственных) мод трехслойного волновода как из оптико-лучевого приближения [6], так и методом сшивания полей на границах сред волновода для ТЕи ТМ-поляризаций [58−60, 77]:

Р/ {а2 ~ а) = агс^ё.

Г.

А уРи аг^ кР/у.

2 > (2 агс^ П/ 2 + агс^ РсП/ 2.

1Р/ nsJ 1Р/ пс) {т-)ж, (т -1)тг.

0.3).

0−4).

Приведены граничные условия для трехслойного волновода, записанные в поперечных компонентах в декартовых координатах. Показано соответствие между лучевым и физическим формализмами, а так же, установлено что полученные дисперсионные соотношения тождественно совпадают по форме. Представлены результаты численного анализа для ряда практически важных случаев.

В начале второй главы представлена векторная теория рассеяния монохроматического света в интегрально-оптическом волноводе со статистическими трехмерными нерегулярностями [20−22, 30, 31, 66]. Описано решение трехмерной электродинамической задачи о рассеянии лазерного излучения в нерегулярном волноводе, полученное методом связанных мод в первом приближении теории возмущений [20−22]. Приближенное решение неоднородного трехмерного волнового уравнения найдено с помощью метода мод и метода функций Грина.

Выражение для поля излучения Е имеет вид: ош вне волновода в отсутствии шума.

2 2 +Ьу/2.

00 +00 +00.

Ь.,!2 —со —оо —со р

Ап2т (ху2•)Е0у {.X2¦)зт (руу)!(руу)йр где ?0v = куу = кп2 sin (р0у — модуль продольной составляющей ?0> вектора распространения куп2 волноводной моды вдоль оси уу — коэффициента фазового замедления волновода- * — знак комплексно-сопряженной величины, x, y, z и x', y', z' — координаты точки наблюдения (например, в дальней зоне, где расположен фотоприемниксм. рис. 3.1.) и координаты точки, где расположена нерегулярностьi — мнимая единицак0 = 2тг/А0 — модуль волнового вектора к0, Я0 — длина волны монохроматического света в вакуумепт — среднее значение показателя преломления m-го слоя (т =.

1,2,3) — А n^n[xyz{) — среднеквадратичное отклонение показателя преломления соответствующего слоя волновода от среднего значения-? = ?0, ?y — продольные составляющие постоянных распространения мод излучения (вдоль осей z и у соответственно), формирующих диаграмму рассеянияErv и Е^ — поля направляемых (дискретный спектр) мод и мод излучения (непрерывный спектр) несимметричного (в общем случае пхФпъ, где пт = — показатель преломления сред, образующих трехслойный волновод, sm — диэлектрическая проницаемость соответствующего слоя интегрально-оптического волновода) — Е0 — решение однородного невозмущенного трехмерного уравнения, описывающего распространение направляемой моды в волноводе, Е0 = Е0-, в случае распространения в волноводе ТЕ0-модыLv — протяженность нерегулярного участка в направлении оси у.

Во второй части второй главы произведено описание численного эксперимента, реализующего выражение (0.5), приведены структура и алгоритм программы, кратко описаны используемые программные средства и численные методы, построены амплитуды полей излучения для наиболее практически важных случаев.

В третьей главе рассматривался трехслойный волновод с поглощением, с толщиной волноводного слоя чуть меньше критической толщины. В этом случае в волноводе могут возникать так называемые вытекающие моды, рассеивающие по мере распространения часть своей энергии в окружающее пространство.

В этом случае показатель преломления пг волноводного слоя и коэффициент фазового замедления у становятся комплексными: пг=Щ+^п2 ' 7 = У' + 1У" > гДе мнимая часть показателя преломления задает степень поглощения материала, образующего волноводный слой, а мнимая часть у" — степень затухания волны в волноводе [7, 43]. Для таких вытекающих мод было получено дисперсионное соотношения для ТЕи ТМполяризации, которые имеют следующий вид: р^. + ¿-Ру) (я2 — ах) = аг (р/ + ?Р/){аг агс^ г •,. -Л Р, + Ф, р/+гр/ агсЩ с ¦,• -А.

Рс+1Рс V.

Г '. -Р, + Ф, П1.

Р/+*Р/ аг^ (т-1) л.

0.6).

Г '. «2 л Рс+1Рс П/ V р/ + 1р/ {т-)п. (0.7).

Р/ + 1Р/.

Получены выражения для полей вытекающих мод. Для некоторых практически важных случаев произведено сравнения профилей излучательных и вытекающих мод.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Краткий обзор современного состояния исследований рассеяния лазерного излучения в нерегулярных интегрально-оптических волноводах и полученных результатов.

Развитие теоретических и не в последнюю очередь компьютерных методов исследования, а также быстрый технологический прогресс стимулировали в последние 30 лет интерес к разработке векторной трехмерной (ЗБ) теории распространения, трансформации, а также рассеяния электромагнитного излучения в нерегулярных волноводах (интегрально-оптических, диэлектрических, металлодиэлектрических и других).

Решение этой задачи имеет первостепенное значение для развития нанотехнологий в интегральной оптике и волноводной оптоэлектронике.

Трехмерный анализ рассеяния в отличие от двухмерного позволяет точнее рассчитать такой важный параметр как затухание направляемой моды.

Кроме того, трехмерное решение электродинамической задачи позволяет намного точнее учесть влияние нерегулярностей на характеристики оптических интегральных схем и предельные характеристики планарных лазеров.

Учет векторного характера полей, например в ближней зоне, позволяет также рассчитывать трехмерные диаграммы рассеяния в местах расположения субволновых топологических элементов интегрально-оптических структур, на их краях, на элементах связи и т. д.

Сейчас в научной литературе хорошо известен ряд методов решения различных волноводных электродинамических задач (см., например, [1−14]). В теории регулярных волноводов основные результаты были получены: для закрытых волноводов А. Н. Тихоновым и A.A. Самарским, а для открытых волноводов — А. Г. Свешниковым и В. В. Шевченко [2, 13]. Среди нерегулярных волноводов можно выделить поперечно-нерегулярные и продольно-нерегулярные волноводы.

Для поперечно-нерегулярных волноводов, уравнения и решения допускают разделение переменныхздесь наибольшее признание получил неполный метод Галеркина, разработанный А. Г. Свешниковым (см., например, [14]). Для закрытых продольно-нерегулярных волноводов в работах Б. З. Каценеленбаума (см., например, [1]) был разработан метод волноводов сравнения, который был обобщен для открытых продольно-нерегулярных волноводов В. В. Шевченко [2]. В научной литературе последний метод известен также как «метод поперечных сечений». Перечисленные модели не описывали деполяризацию и связь направляемых мод на нерегулярных участках двумерных (2D) волноводов, а также — не учитывали влияние шума.

В работах A.A. Егорова и JI.A. Севастьянова были разработаны основы теории плавно-нерегулярных трехмерных интегрально-оптических волноводов (см., например, [15−19]). Предложенная в этих работах модель адиабатических мод описывает связь различных направляемых мод на плавно-нерегулярных участках трехмерных (3D) интегрально-оптических волноводов и позволяет, например, адекватно решить задачу эффективной передачи энергии через устройства сопряжения в интегральных оптических схемах.

Отметим другие известные методы описания нерегулярных волноводов: метод «идеальных мод» (Маркузе, Содха, Гхатак, Петров, Черемискин, Егоров и др.) — метод сшивания полей на границе раздела (Дерюгин, Сотин, Холл и др.) — метод функций Грина (Содха, Гхатак, Холл, Снайдер, Лав, Жук, Третьяков, Унгер, Паулус, Богатов, Егоров и др.) и др.

Эти методы подробно описаны в доступных научных изданиях (см., например, [1−7, 14]), поэтому мы рассмотрим кратко только интересующий нас метод Маркузе.

В теории Маркузе рассеяние на поверхностных неровностях границ раздела сред продольно нерегулярных волноводов рассматривается как вид потерь на излучение, при котором нерегулярности волновода приводят к «перекачке» энергии распространяющихся мод в, излучательные моды. Решение основано на методе связанных мод. Произвольное распределение поля нерегулярного волновода представляется в виде разложения по ортогональной системе мод регулярного (идеального плоского) волновода, в котором суммирование проводится по направляемым (дискретным) модам, а интегрирование — по излучательным (непрерывным) модам.

Метод Маркузе развит в работах М. С. Содхи, А. К. Гхатака [5] и A.A. Егорова [20−27] для случая случайных трехмерных нерегулярностей. Содха и Гхатак применили метод функций Грина для изучения преобразования мод в 8 оптическом волноводе, распределение диэлектрической проницаемости в котором можно представить в виде суммы двух составляющих: первая соответствует идеальному волноводу, а вторая — учитывает отклонения от идеальности, обусловленные различными трехмерными нерегулярностями. Анализ проведен в предположении, что вклад от второй составляющей мал по сравнению с вкладом первой. Они использовали для решения поставленной задачи скалярное волновое трехмерное уравнение справедливое для любой декартовой компоненты электрического или магнитного полей, т. е. пренебрегли векторным характером полей и не рассматривали соответствующие поляризационные явления. Они также не учитывали влияния шума.

Егоров предложил обобщение метода Маркузе для случая статистических трехмерных волноводных нерегулярностей, включающее как распространяющиеся (вне волноводного слоя), так и затухающие моды излучения (в ближней зоне). Электродинамическая задача о рассеянии направляемой волноводной моды в интегрально-оптическом волноводе с ЗО-нерегулярностями решена методом связанных мод с помощью теории возмущений, метода функций Грина и метода Фурье (разделения переменных) при наличии шума. В результате получены аналитические выражения для трехмерных векторных полей излучения, в том числе с учетом поляризационных явлений в нерегулярном интегрально-оптическом волноводе, а также выражение для потерь мощности направляемой моды на трехмерное векторное рассеяние.

Основу большинства перечисленных выше работ (см., например, [22−27, 34]) составляет метод связанных мод, а для решения векторных задач ЗР-рассеяния электромагнитных волн применяются различные приближенные методы, позволяющие расширить двумерные теории на трехмерные случаи. В результате удается, например, определить величину соответствующих потерь на излучение из нерегулярного волновода.

Как известно, скалярное волновое уравнение используется, если можно игнорировать векторный характер электромагнитной волны. Это позволяет не учитывать поляризацию волны при отражении, преломлении и дифракции. Особенно это верно, если линейные размеры объекта или «нерегулярности» много больше длины волны. Если же в волноведущей структуре возникает связь между модами, то требуется учет векторных свойств полей. Этот подход отображает возникновение в волноводе с трёхмерными плавными нерегулярностями гибридных мод, имеющих шесть компонент поля, а не три, как ТЕи ТМ-моды. Использование же скалярного волнового уравнения означает отбрасывание слагаемых, пропорциональных градиенту диэлектрической проницаемости, что приводит также к игнорированию поляризационных эффектов, играющих важную роль в процессе распространения волн в нерегулярных волноводах.

В связи с интенсивным развитием в последние годы компьютерных методов исследования особо отметим получивший достаточно широкое применение в электродинамике метод FDTD («Finite-Difference TimeDomain» method — метод конечных разностей во временной области).

Известно, что решение уравнений Максвелла FDTD-методом или его модификациями позволяет достаточно эффективно вычислять электромагнитное поле внутри некоторой ограниченной области пространства, например, в резонаторе, призме, дифракционной решетке и т. д. Если же необходим расчет электромагнитных полей на расстояниях от исследуемого объекта, излучающего или рассевающего электромагнитное поле, то использование даже модифицированного метода FDTD приводит к необходимости огромных объемов вычислений и, как следствие, к катастрофическому падению эффективности метода (см., например, [40−42]).

При использовании метода FDTD существуют и такие проблемы как: «численная дисперсия» (приводящая к ошибкам в определении фазовой скорости), «численная анизотропия», при которой в сеточной модели волновые числа волн, распространяющихся в различных направлениях в изотропной области, различаются [40, 41].

Лишь ограниченный класс задач, представляющих в нашей области практический интерес, может быть эффективно решен РОТБ-методом, причем на больших ЭВМ с объемом ОЗУ в сотни мегабайт и высокопроизводительными процессорами. Кроме того, здесь требуется использование многопроцессорных параллельных вычислительных систем, что является пока препятствием для широкого использования.

Важно подчеркнуть, что развитый нами численный метод решения электродинамических задач волноводного рассеяния свободен от проблем типа «численная дисперсия» и «численная анизотропия».

Кроме того, особо отметим, что нет унифицированных эффективных способов вычисления полей в дальней зоне по результатам вычислений ближнего поля методом БОТБ (см., например, [37, 40−42]). Это же замечание следует отнести и к вытекающим волнам, играющим огромную роль в различных интегрально-оптических устройствах, например, в устройствах связи (призмы, дифракционные решетки).

В этой связи возникает насущная необходимость разработки других методов и алгоритмов вычисления ЗБ-полей (как излучательных, так и вытекающих) в дальней зоне, превосходящих по скорости счета РБТО-метод и не уступающих ему по точности.

В последние годы активно разрабатываются различные типы интегрально-оптических химических сенсоров, что обусловлено рядом их преимуществ: высокой чувствительностью, быстрым срабатыванием, простотой мультиплексирования сигнала и применением интегральных технологий. Важно отметить, что рассеяние лазерного излучения в волноводе является одним из важнейших лимитирующих факторов достижения предельной чувствительности интегрально-оптических сенсоров. При этом существует очевидный интерес к разработке и исследованию интегрально-оптических сенсоров именно на вытекающих модах и модах излучения, поскольку появляется возможность повышения чувствительности соответствующих интегрально-оптических сенсоров.

Основная трудность в теоретическом исследовании волноводов, в которых распространяются вытекающие моды, связана, во-первых, со сложностями численного расчета комплексных дисперсионных соотношений, а во-вторых — с тем, что вытекающие волны — это плоские неоднородные волны, не являющиеся собственными модами регулярного оптического волновода.

Эти волны возникают при толщине волноводного слоя меньше критической, ниже которой не могут иметь места волноводные свойства. У вытекающих мод амплитуда возрастает по мере удаления от волновода вдоль вертикально оси х (при фиксированном продольном расстоянии г и в отсутствие потерь в средах, образующих волновод), но по мере распространения вдоль оси г эта мода затухает из-за непрерывных потерь энергии из волноводного слоя в окружающую среду. Вытекающие моды являются, как известно, несобственными модами планарного волновода. Подчеркнем, что в обоих случаях (среды образующие волновод без/с поглощением) существует проблема ортогональности вытекающих мод.

В связи с этим развитие новых эффективных численных методов решения задач, возникающих при векторном трехмерном волноводном распространении, трансформации и рассеянии света в нерегулярном интегрально-оптическом волноводе, несомненно, является одной из актуальных и перспективных задач современной интегральной оптики, и интегральной нано-оптики.

Действительно, 2В-анализ соответствующих электродинамических задач применим с рядом оговорок, например, для таких интегрально-оптических устройств как канальные волноводы, анализаторы спектра радиочастот, интерферометры, мультиплексоры, демультиплексоры, датчики параметров окружающей среды, линзы, призмы, разветвители и т. д.

При переходе в субмикронный и тем более в нанометровый диапазон линейных размеров элементов интегральных оптических устройств 20-анализ ограничивает возможности исследователей. Использование 20-теории приближенно справедливо только для слабо направляющих структур и не подходит для описания оптических волноводов, у которых сильно варьируется диэлектрическая проницаемость.

Заметим, что разработанные нами алгоритмы и программы позволяют с заданной наперед точностью получить численное решение задачи ЗО-рассеяния, учитывающее векторный характер полей, т. е. позволяет адекватно, в отличие от скалярного рассмотрения, описать реальные интегрально-оптические волноводы с 20- и ЗО-нерегулярностями.

Выводы.

В ходе работы над диссертацией был изучен и освоен весь доступный материал, относительно распространения монохроматического излучения в диэлектрических регулярных волноводах: были получены выкладки, повторяющие результаты, полученные ранее другими авторами [6, 7, 48], что дало нам основу для развития теории в случае нерегулярных волноводов, а так же позволило проверить работу разработанных в диссертации алгоритмов и программ, расчета характеристик волноводов с разными видами нерегулярностями.

В частности, проведенные нами тестовые численные расчеты дисперсионных соотношений для регулярных волноводов, полностью совпали с расчетами полученными другими авторами. Используя их, были рассчитаны вертикальные распределения полей для нескольких часто встречающихся видов волноводов (полистироловый, танталовый, желатиновый). Также правильность расчета дисперсионных соотношений подтверждается, тем, что поля гладко сшиваются на границах раздела сред.

Во второй главе диссертации произведено численное исследование математической модели рассеяния монохроматического излучения на трехмерных нерегулярностях, разработанной в работах [22, 30, 31, 66, 67]. Основная ценность результатов, полученных во второй главе, заключается в том, что в настоящий момент в литературе практически не представлено методов описания полей рассеяния, возникающих в волноводах с трехмерными нерегулярностями.

В процессе исследования удалось подобрать оптимальную форму представления выражений, для проведения численного моделирования, подобрать численные методы (в том числе самые современные см., например, [103]), создать алгоритм, реализующий математическую модель, и его программную реализацию. Были проведены тестовые расчета, которые совпали с результатами натурного эксперимента.

В третьей главе диссертации произведено описание математической модели волноводов с плавными нерегулярностями, с толщиной волновода меньше критической толщины, и статистическими нерегулярностями, у которых размер отдельного элемента нерегулярности сравним с размером молекулы образующего материал волновода. Основная ценность результатов, полученных в третьей главе, заключается в том, что в настоящий момент дисперсионные соотношения для вытекающих мод (возникающих в таких волноводах) крайне мало исследованы. В некоторых работах проводились попытки расчета дисперсионных соотношений, например [43, 44, 104], однако ни в одной из работ не приводится ни профилей полей вытекающих мод, ни способа расчета, полученных в работах дисперсионных соотношений.

В ходе исследования было произведено численное исследование математической модели распространения вытекающих мод, были подобраны методы решения комплексного дисперсионного соотношения, представляющего собой трансцендентное уравнение от трех аргументов, получены результаты численных расчетов, совпавшие с результатами полученными ранее [43], построены вертикальные профили полей и произведено сравнение асимптотик вытекающих и излучательных мод по мере удаления от границы раздела сред.

Итак, в диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1. Разработаны программные реализации для проведения численных расчетов, позволяющие выполнять компьютерное моделирование рассеяния лазерного излучения в интегрально-оптических волноводах, содержащих ЗБ-нерегулярности. Продемонстрировано влияние координат точек наблюдения и размеров ЗО-неоднородности волноводного слоя на амплитуду и фазу напряженности поля излучения вне волновода.

2. Проведен теоретический анализ распространения вытекающих (несобственных) мод в регулярных многослойных диэлектрических волноводах с потерями и вывод дисперсионных соотношений для таких мод. Приведено сравнение численных решений для моделей излучательных и вытекающих мод в областях их сходства и различия.

3. Проведено численное исследование:

• вертикальное распределение амплитуды напряженности Е поля излучательных ТЕ-мод подложки для различных коэффициентов фазового замедления ряда интегрально-оптических волноводов;

• вертикальное распределение амплитуды напряженности Е поля излучения волноводной ТЕ-моды, рассеянной на локальной неоднородности показателя преломления волноводного слоя нерегулярного полистиролового интегрально-оптического волновода;

• дисперсионных зависимостей для комплексных постоянных распространения направляемых мод ряда регулярных интегрально-оптических волноводов;

• вертикальное распределение амплитуды напряженности Е поля вытекающих мод для различных коэффициентов фазового замедления ряда интегрально-оптических волноводов.