Исследование движения намагничивающихся сред в неоднородных магнитных и температурных полях

Дисперсные намагничивающиеся среды представляют собой искусственно синтезированные вещества, взаимодействующие с магнитным полем из-за своей способности к намагничиванию. Примером таких сред являются магнитные жидкости — коллоидные растворы мелких (диаметром порядка 10 см.) магнитных о дно доменных частиц, покрытых слоем поверхностно-активного вещества (ПАВ) в жидкости-носителе. Частицы находятся в броуновском движении. Адсорбированный на поверхности полярный слой ПАВ препятствует взаимной агломерации частиц благодаря кулоновским силам отталкивания. В качестве жидкости-носителя используются различного типа углеводороды, вода, парамагнитные растворы солей и другие жидкости. Современные магнитные жидкости стабильны по своим свойствам, устойчивы по отношению к расслоению и соединяют в себе текучесть жидкости и способность к намагничиванию. Намагниченность насыщения магнитных жидкостей достигает 3 величины 3 • 10 Гс.

Благодаря уникальным свойствам магнитные жидкости находят широкое применение в технике, биологии, медицине и при разработке новых технологий. В связи с этим возникает необходимость построения моделей таких сред и теоретическое описание их поведения в электромагнитном поле.

Основы гидродинамики и общие принципы построения моделей сред, взаимодействующих с электрическим или магнитным полями разработаны в [1 — 5]. В [6] впервые предложена система уравнений для однофазной равновесно намагничивающейся среды. В работе [7] предложена модель однофазной намагничивающейся среды с учетом релаксации намагниченности из-за вращения магнитных частиц в жидкости. В монографии [8] изложены основы физики и гидродинамики магнитных жидкостей и двухфазных магнитных систем. Здесь же перечислены различные области практического применения магнитных жидкостей и имеется обширная библиография по данному вопросу.

При построении моделей дисперсных намагничивающихся сред используется два подхода: диффузионный и многоскоростной. Вывод системы уравнений, описывающих поведение дисперсных намагничивающихся либо поляризующихся сред, взаимодействующих с электромагнитным полем, в диффузионном приближении приводится в работе [9].

В статье [10] сконструирована многоскоростная модель дисперсной среды, когда для каждой фазы выводится свое уравнение движения. Наличие других фаз учитывается добавлением в уравнение слагаемых, которые связаны с обменом импульсом между фазами. В этой работе также проведено сравнение диффузионного и многоскоростного подходов.

В [11] выводится система уравнений, описывающая поведение поляризующихся многофазных (дисперсных) сред в электромагнитных полях в приближении электрогидродинамики в предположении, что среда состоит из к сжимаемых и Ы—к несжимаемых фаз, каждая из которых поляризуется по своему закону и имеет свою температуру.

В [12] выписана замкнутая система уравнений для дисперсной намагничивающейся среды с учетом броуновского движения частиц диспергированной фазы в диффузионном приближении.

Общий обзор и сравнение различных моделей дисперсных намагничивающихся сред приведен в работах [5, 13].

Одним из важнейших направлении исследовании поведения дисперсных намагничивающихся сред является изучение вопросов, связанных с перераспределением концентрации диспергированной фазы и с образованием в магнитной жидкости агрегатов из мелких диспергированных частиц. Такие агрегаты образуются в намагничивающейся жидкости в присутствии внешнего магнитного поля из-за слипания части диспергированных мелких магнитных частиц.

Изучение этих вопросов связано, во-первых, с исследованием устойчивости по отношению к расслоению магнитных жидкостей, а во-вторых, с изучением магнитных и реологических свойств намагничивающейся среды при образовании в ней агрегатов. Исследование зависимости физических свойств магнитной жидкости от размера, формы, структуры и концентрации агрегатов является актуальной задачей, решение которой позволит найти пути к улучшению рабочих характеристик магнитных жидкостей.

Одной из первых работ по экспериментальному исследованию образования агрегатов является работа [14]. Образование цепочко-образных и нитевидных агломератов в магнитных жидкостях обсуждалось в публикациях [15 — 16]. В статье [17] феноменологическим методом выведена система уравнений, описывающая поведение магнитной жидкости с образующимися в магнитном поле цепочками.

Вопросы образования микрокапельных агрегатов в коллоидах ферромагнетиков обсуждались в публикациях [ 18, 19], в которых описано исследование структуры разбавленных магнитных жидкостей при помощи светорассеяния в тонком слое. Было обнаружено, что в случае разбавления коллоида раствором ПАВ происходит образование микрокапельных агрегатов магнитной жидкости, а при разбавлении чистой несущей средой образуются твердые агрегаты из частиц диспергированной фазы. В работе [ 20] исследовалось движение деформируемых капель магнитной жидкости и пузырей в магнитной жидкости при наличии внешнего магнитного поля с учётом поверхностного натяжения.

Агрегаты в магнитной жидкости влияют на её физические свойства. Например, наличие агрегатов может существенно изменить вязкость магнитной жидкости. Это подтверждается многочисленными исследованиями.

В статье [21] приведены экспериментальные данные об аномальной зависимости вязкости магнитной жидкости от направления приложенного магнитного поля. Показано, что вязкость жидкости, текущей в цилиндрической трубе, увеличивается в 6 — 10 раз при наложении магнитного поля, перпендикулярного потоку, по сравнению со случаем, когда поле направлено вдоль оси трубы. Этот результат не объяснялся в рамках известных моделей магнитных жидкостей.

Представление о магнитной жидкости как суспензии, состоящей из мелких однодоменных частиц и образованных из них вытянутых вдоль поля агрегатов, объёмная концентрация которых незначительна 3%), предложенное в работе [22] позволило описать наблюдаемый в [21] эффект.

В статье [23] приведены результаты исследования вязкости коллоидных растворов ферромагнетиков с различной кристаллической магнитной анизотропией при различных ориентациях магнитного поля в вязкозиметре с плоским каналом. Обнаружена зависимость вязкости от скорости сдвига, выраженная сильнее в поле, перпендикулярном плоскости канала. Анализ результатов измерений вязкости, времени релаксации магнитного момента и намагниченности показал, что коллоидные частицы являются не о дно доменными, а представляют собой агрегаты.

Результаты эксперимента по определению влияния осциллирующего течения магнитной жидкости на размер агрегатов изложены в статье [24]. Течение создавалось продольными колебаниями намагниченного стержня, погружённого в магнитную жидкость на основе керосина. В статье описан метод определения размеров агрегатов с помощью эффекта индуцирования ЭДС магнитной жидкостью, движущейся в пробирке, являющейся сердечником катушки. Наблюдения показали, что осциллирующее течение магнитной жидкости приводит к уменьшению размеров агрегатов, причём скорость изменения размера возрастает при увеличении амплитуды колебаний.

Агрегаты также влияют на другие физические свойства магнитной жидкости, в частности, на распространение в ней звуковых волн.

В публикациях [25, 26] рассмотрены вопросы распространения ультразвука в магнитных жидкостях. Предложена модель, описывающая магнитную жидкость, как дисперсную среду, состоящую из дисперсионной жидкости и агрегатов, размер и форма которых существенно зависят от величины приложенного магнитного поля.

Найдены выражения для скорости распространения и декремента затухания ультразвука в магнитной жидкости. Полученные результаты хорошо согласуются с экспериментальными данными. Предлагается метод по определению эффективного размера агрегатов, основанный на анализе экспериментов по изучению зависимости коэффициента затухания ультразвука от величины и направления магнитного поля.

Одной из первых работ по экспериментальному исследованию образования и перераспределения агрегатов в магнитной жидкости является работа [27]. В ней, в частности, описан эксперимент, заключавшийся в следующем. В вертикальную пробирку длиной 11 см. помещалась магнитная жидкость на водной основе. Было обнаружено, что в присутствии однородного магнитного поля величины Н = 230 Э в течении часа 20% мелких частиц, размером 20 — 300.

7 9.

А слипались в агрегаты, состоявшие из 10 — 10 частиц. Средний 4 размер таких агрегатов составил 1,2−10 см. Образование агрегатов почти не наблюдалось в хорошо стабилизированных магнитных жидкостях на основе углеводорода. Проводилось измерение концентрации частиц в магнитной жидкости после выдерживания пробирки в вертикальном и горизонтальном однородном магнитном поле. Анализ профиля концентрации частиц по высоте пробирки показал, что скорость осаждения частиц и их агрегатов в вертикальном однородном магнитном поле больше скорости их осаждения в горизонтальном однородном поле.

В статье [28] обсуждаются результаты аналогичного эксперимента по наблюдению образования и седиментации агрегатов в магнитной жидкости на основе додекана. Для такой жидкости экспериментально получена зависимость относительной концентрации частиц, образующих агрегаты, от величины однородного поля и изучена зависимость скорости оседания агрегатов не только от направления однородного магнитного поля, но и от его величины. Из результатов эксперимента следует, что в слабых магнитных полях с Н < 100 Э, в отличии от [27], в вертикальном поле осаждение агрегатов происходит медленнее, чем в горизонтальном. В сильных полях с Н > 100 Э процесс седиментации происходит быстрее в случае вертикального направления поля, что согласуется с результатом, полученным в [27]. Это объясняется тем, что образующиеся в сильном поле агрегаты имеют вытянутую вдоль приложенного поля форму. Скорость гравитационной седиментации такого агрегата в вертикальном магнитном поле больше, чем в горизонтальном. В случае слабого поля форма агрегатов близка к сферической и различие в скорости седиментации определяется различием в скорости роста агрегатов. В работе показано, что при Н < 100 Э скорость роста сферических агрегатов в горизонтальном поле больше скорости их роста в вертикальном магнитном поле.

Исследование осаждения агрегатов, образовавшихся в диамагнитной суспензии кварца в растворе хлорида марганца в присутствии однородного магнитного поля проводилось в работе [29]. С использованием системы оптического наблюдения и анализа изображения агрегатов найдено критическое значение величины магнитного поля, при котором начинается процесс агломерации микрочастиц. Экспериментально обнаружено, что скорость осаждения частиц кварца в вертикальном магнитном поле в растворах хлорида марганца различной концентрации линейно зависит от квадрата величины поля.

В [30] предложен процесс обработки магнитной жидкости в неоднородном магнитном поле, названный авторами сепарацией, в результате которого в магнитной жидкости остаются агрегаты с размером меньше заданного. Показано, что в прошедшей сепарацию магнитной жидкости частицы обладают высокой степенью устойчивости к агрегированию в достаточно Сильных магнитных полях.

В статье [31] приведены результаты эксперимента, в котором обнаружена зависимость кривой намагниченности магнитной жидкости от времени измерения. Наблюдаемый эффект объясняется влиянием процесса агрегирования в жидкости. Предложен новый метод вычисления функции распределения частиц диспергированной фазы по размерам, использующий данные кривой намагниченности.

Одной из важных задач, возникающих при изучении свойств магнитных жидкостей, является нахождение перераспределения в ней фазы агрегатов. Для описания такого перераспределения необходимо использовать выражение для силы, действующей на агрегат. Вычисление силы, действующей на находящееся в намагничивающейся или поляризующейся среде в присутствии электрического, магнитного или температурного полей тело, свойства которого отличаются от свойств среды, проводилось во многих работах.

В публикации [9] выведена формула для силы, действующей на намагничивающуюся или поляризующуюся среду со стороны электромагнитного поля в предположении, что среда состоит из нескольких фаз и компонент, каждая из которых намагничивается или поляризуется, вообще говоря, по своему закону и имеет свою температуру.

В работе [12] получено выражение для силы, действующей на намагничивающуюся среду со стороны. магнитного поля в случае, когда магнитная проницаемость среды х зависит от объёмной концентрации Г дисперсной фазы: ?1 = ц{Г).

Зависимость магнитных проницаемостей вещества тела и окружающей его магнитной жидкости от температуры в присутствии магнитного поля и неоднородного нагрева приводит к появлению силы, действующей на тело.

В статье [32] на основе решения задачи о стоксовом обтекании ферромагнитной сферы магнитной жидкостью в однородном магнитном поле показано, что при наличии градиента температуры возможно возникновение термомагнитофореза в суспензии. В параллельном градиенту температуры магнитном поле частицы перемещаются в сторону возрастания температуры, в перпендикулярном — в сторону уменьшения. Здесь же приведены оценки скорости термомагнитофореза, показывающие, что описанное явление доступно экспериментальному наблюдению. Искажение магнитного поля частицей в [32] не учитывается.

В работе [33] вычислена сила, действующая на сферическую частицу, находящуюся в неоднородно нагретой намагничивающейся жидкости в произвольном магнитном поле. В отличии от [32] рассмотрен случай, когда магнитная проницаемость вещества частицы /I много больше магнитной проницаемости [х жидкости. Предпо.

I г лагается, что магнитные проницаемости ц и ц зависят только от температуры. Также как и в [32] искажение магнитного поля здесь не учитывается.

В статье [34] получено выражение для силы, действующей на сферическую частицу, когда теплопроводности вещества частицы и намагничивающейся жидкости — одинаковы. Предполагалось, что г, 7. V магнитная проницаемость частицы ?1 (Т) и магнитная проница.

I. I. емость ?1 [Т) жидкости зависят только от температуры.

Случай различной теплопроводности сферической частицы и жидкости, когда магнитная проницаемость частицы /¿-'(Т') много больше магнитной проницаемости //(Т*) жидкости исследован в работе [35]. В обоих публикациях [34] и [35] учтено искажение магнитного поля из-за неоднородности температуры. Полученное в [35] выражение для силы существенно отличается от выражения, приведённого в [33].

В работе [36] вычислена сила, действующая на сферическую частицу в неоднородно нагретой намагничивающейся жидкости в том случае, когда магнитная проницаемость жидкости зависит только от температуры в жидкости, 1 = ¿-/(Т), а магнитная проницаемость вещества частицы зависит от температуры и величины приложенного поля: ?1 — ?1 (Т, Н). При вычислении силы учитывается различие теплопроводностей частицы и жидкости и, в отличие от [33], искажение частицей приложенного магнитного поля. Сила вычислена с точностью до слагаемых, порядка еа, где, а > 1, а? — малый параметр, равный отношению размера частицы к характерному размеру изменения параметров: температуры, величины магнитного поля и т. д.

Исследование влияния термомагнитной силы на процессы перераспределения частиц в магнитной жидкости проводилось в нескольких работах.

В статье [37] сообщаются результаты экспериментального исследования перераспределения концентрации ферромагнитных частиц под действием диффузионного, гравитационного и термофоретичес-кого переноса.

Установка, используемая в эксперименте, состояла из двух резервуаров прямоугольного сечения, соединённых вертикальным каналом. Схема установки приведена на стр. 49 на рисунке 1.4.1 в § 1.4. Длина канала составляла Ьс = 7 см. ширина 1с = 0,05 см. Стенки канала поддерживались при постоянных разных температурах. Термогравитационное течение намагничивающейся жидкости, возникающее из-за разного нагрева стенок канала, осуществляло обмен жидкостью между нижним и верхним резервуарами установки. Намагничивающаяся жидкость, используемая в эксперименте, представляла собой смесь 40%-ного водного раствора МпС12 с частицами магнетита диаметром, порядка 10 см. Установка помещалась в однородное (однородность поля составляла 0,004%). горизонтальное магнитное поле величиной Н = 3520 Э, параллельное градиенту температуры жидкости в канале, равного? V Т| = 40 град/см. Спустя характерное время эксперимента, составлявшего 1−5 часов, проводилось измерение стационарного распределения концентрации частиц в верхнем и нижнем резервуарах.

Измерения показали, что значение концентрации частиц в верхнем резервуаре меньше, а в нижнем больше, чем начальная концентрация.

Полученный результат объяснялся действием на частицы, двигающиеся в канале, силы, вычисленной в работе [33], направленной против градиента температуры. Эта сила сносила частицы магнетита в канале к более холодной стенке, вблизи которой магнитная жидкость двигалась вниз. Таким образом, обнаруженное перераспределение частиц между резервуарами объяснялось воздействием на частицы магнетита термомагнитной силы.

Однако термомагнитная сила, действующая на частицу в этом случае, может быть вычислена по формуле, выведенной в работе [36]. Анализ выражения для силы, проведённый в [38] показал, что термомагнитная сила в условиях эксперимента [37] направлена по градиенту температуры. Это означает, что ферромагнитные частицы должны перемещаться к более нагретой стенке и выноситься восходящим потоком жидкости в верхний резервуар.

В [38] предложено возможное объяснение результатов эксперимента [37]. Часть ферромагнитных микрочастиц в присутствии маг— 3 нитного поля образовывала крупные (диаметром, порядка 10 см. и более) агрегаты, которые под действием силы тяжести перемещались в нижний резервуар.

В результате этого концентрация ферромагнитных частиц в нём увеличилась, а в верхнем — уменьшилась. Именно образованием в магнитном поле агрегатов и их гравитационной седиментацией в работе [38] объяснялось отсутствие перераспределения микрочастиц в том случае, когда не создавалось магнитное поле или не нагревались стенки канала. Действительно, в отсутствии поля агрегаты не образуются, а в случае УТ = 0 нет конвективного течения, осуществляющего обмен между резервуарами. Таким образом, в [38] показано, что наблюдаемый в [37] эффект вызывается не действием термомагнитной силы, а имеет другой — гравитационный механизм.

В связи с этим в работе [39] было проведено экспериментальное исследование перераспределения ферромагнитных частиц и их агрегатов при термогравитационной конвекции в магнитной жидкости с немагнитной жидкостью-носителем. Использовалась экспериментальная установка, аналогичная по схеме [37]. Она состояла из двух цилиндров диаметром 3 см., соединенных плоским вертикальным каналом длиной Ьс — 10 см. и шириной 1с = 0,1 см. Одна стенка канала нагревалась при помощи электрического нагревателя до постоянной температуры Т2, другая охлаждалась окружающим воздухом до температуры Тг. При заданной интенсивности нагрева разность температур Т2 — Тг = $ поддерживалась постоянной и контролировалась чувствительными термосопротивлениями, закреплёнными на стенках канала.

Приблизительно через 5 часов производился отбор жидкости из верхнего резервуара. Отобранная магнитная жидкость не содержала очень крупные агрегаты — они осели в нижнем резервуаре. С этой жидкостью эксперимент повторялся при прежних внешних условиях: установка в течении 5 часов находилась в постоянном горизонтальном магнитное поле, параллельном градиенту температуры в канале.

Далее определялась концентрация ферромагнитных частиц при помощи измерения частоты колебаний автогенератора с ЬС — контуром, в катушке индуктивности которого находилась пробирка с исследуемой жидкостью, отобранной из верхнего цилиндра установки. Методика измерения магнитных свойств жидкости при помощи автогенератора с ЬС ¦— контуром была предложена в работе [40]. Эта методика использовалась для определения концентрации ферромагнитных частиц в магнитной жидкости в исследовании [41]. Также проводились измерения отношения мнимой и действительной частей высокочастотной магнитной восприимчивости при различной частоте магнитного поля. у.

Проведенные измерения позволили оценить перераспределение относительной концентрации агрегатов между верхним и нижним резервуарами за время эксперимента. Оказалось, что относительная концентрации агрегатов в верхнем резервуаре со временем увеличивается, а в нижнем резервуаре — уменьшается. Такое перераспределение относительной концентрации не наблюдалось в случае проведения эксперимента в отсутствии хотя бы одного из внешних факторов: магнитного поля или нагрева жидкости.

В [38] приведены результаты экспериментального исследования и предложено следующее теоретическое обьяснение наблюдаемого явления. На находящиеся в канале установки агрегаты действует термомагнитная сила, вычисленная в статье [36], которая сонап-равлена градиенту температуры жидкости в канале: Ргт = а V Г, а > 0. Течение в канале состояло из двух встречных конвективных потоков. Градиент температуры жидкости в канале перпендикулярен его стенкам, так что термомагнитная сила сносит находящиеся в канале агрегаты в восходящий поток жидкости. Таким образом, агрегаты, двигающиеся вместе с жидкостью из верхнего в нижний резервуар возвращаются восходящим потоком в верхний резервуар, а агрегаты, подхватываемые течением в нижнем резервуаре также переносятся в верхний цилиндр.

На основании такой модели перераспределения агрегатов в диссертации [38] были выписаны и проинтегрированы уравнения движения агрегатов в канале установки с учётом силы тяжести, сопротивления по Стоксу со стороны магнитной жидкости и термомагнитной силы. Анализ траекторий агрегатов позволил качественно объяснить изменение со временем относительной концентрации агрегатов в резервуарах.

Однако при этом анализе не учитывались броуновское движение агрегатов, связанное с градиентом их концентрации и полная картина течения магнитной жидкости в установке. Не вычислялся поток массы агрегатов через поперечное сечение канала, а концентрация агрегатов на плоскости, разделяющей плоскопараллельные потоки жидкости, движущиеся в канале в противоположных направлениях, считалась постоянной.

Отметим, что в литературе описаны исследования по разделению компонентов в многокомпонентных газовых средах в эксперии о —' •• ментальной установке, состоящей из двух колб, соединенных тонким вертикальным капилляром. Однако главную роль при таком разделении играет механизм, не связанный с термомагнитной силой. Так, в работах [42 — 44] проводилось экспериментальное и теоретическое изучение эффекта разделения компонентов при изотермическом смешении в тройных газовых смесях. Изучался диффузионный перенос бинарной смеси (лёгкого и тяжелого газов, например, гелия и фреона или водорода и аргона) в чистый компонент (азот или метан). Состав бинарной смеси, находящейся в верхней колбе при заданных давлении и температуре подбирался таким образом, чтобы её плотность была меньше плотности чистого компонента, находящегося в нижней колбе.

В начале эксперимента, после открытия перегородки в капилляре, наблюдалось увеличение плотности тройной смеси в верхней части капилляра из-за нелинейного распределения тяжёлого компонента по длине капилляра. В результате этого в капилляре возникали встречные конвективные потоки, различные по своему составу: бинарная смесь двигалась вниз, чистый компонент перемещался вверх. При таком течении лёгкая компонента бинарной смеси из-за различия в коэффициентах взаимной диффузии газов быстрее, чем тяжелая компонента проникала за счет диффузии во встречный поток и бинарная смесь обеднялась лёгкой компонентой. Таким образом происходило разделение компонентов бинарной смеси: концентрация тяжёлого возрастала в нижней и убывала в верхней колбе. Плотность смеси газов в целом возрастала в верхней колбе и убывала в нижней.

Предложенная авторами теоретическая модель смешения трёх газов на основе положения о различии в коэффициентах взаимной диффузии компонент позволила получить количественные оценки, хорошо согласующиеся с экспериментом.

В настоящей диссертации решена задача о перераспределении агрегатов в экспериментальной установке в неоднородно нагретой магнитной жидкости при наличии магнитного поля с учётом броуновской диффузии агрегатов в магнитной жидкости.

В первой главе диссертации рассматривается модель намагничивающейся среды, состоящая из немагнитной жидкости-носителя (керосина), однородно распределенных в ней мелких частиц магнетита, и агрегатов, образованных из этих частиц. Такую среду можно считать двухфазной: одну дисперсионную фазу составляет обычная магнитная жидкость, другую диспергированную фазу — агрегаты.

В § 1.1 приведены результаты наблюдения образования агрегатов в магнитной жидкости на основе керосина в магнитном поле. Наблюдения проведены с использованием системы оптического макроскопического анализа дисперсных систем и программным комплексом «Gallery» на кафедре коллоидной химии химического факультета.

МГУ. Описание системы и комплекса имеется в работе [45].

Вначале пробирка с магнитной жидкостью помещалась в однородное магнитное поле величины Н. ^ 3000 Э. Часть частиц магнетита образовывала агрегаты. Далее пробирка с жидкостью перемещалась в вертикальном направлении вверх между полюсами электромагнита, создающего неоднородное магнитное поле с градиентом |УЯ| = 1000 Э/см.

Из условия баланса между силой трения, действующей на агрегаты заданного размера, двигающиеся в магнитной жидкости, и силой, вызывающей магнитную седиментацию агрегатов (Ма7)Н, Ма — магнитный момент агрегата, Н —напряжённость магнитного поля, находилась скорость перемещения пробирки, необходимая для очистки жидкости от достаточно крупных агрегатов.

Наблюдения показали, что при перемещении пробирки со ско—2. ростью ^ 10 см ¡-сек в присутствии заданного магнитного поля в области сильного поля остаются крупные агрегаты, размером, более 4 —4.

5−10 см. Средний размер остальных агрегатов равен 1,47−10 см. Их средний коэффициент формы где Р — периметр, а Б — площадь изображения наблюдавшихся агрегатов, оказался равным 0,86. Таким образом, можно приближённо считать, что фаза агрегатов состоит из одинаковых сферических частиц.

В § 1.2 приведён вывод уравнения, описывающего перераспределение числовой плотности п агрегатов при их движении в неоднородно нагретой магнитной жидкости под действием силы тяжести, силы Архимеда, силы трения по Стоксу со стороны окружающей агрегаты магнитной жидкости, термомагнитной силы вычисленной в работе [34], и силы, обусловленной броуновской диффузией агрегатов, пропорциональной градиенту их числовой плотности.

Уравнение для п получено из уравнения неразрывности и движения для фазы агрегатов в предположениях, что давление ра фазы агрегатов есть ра = пкТ, где к, Т — постоянная Больцмана и температура жидкости, в пренебрежении конвективными слагаемыми в уравнении движения для фазы агрегатов.

Учёт броуновской диффузии агрегатов приводит к повышению порядка дифференциального уравнения, описывающего массоперенос агрегатов в вертикальном канале по сравнению со случаем, рассмотренным в [38], где учитывался лишь седиментационный перенос и перенос под действием термомагнитной силы. Это обстоятельство требует задания дополнительного граничного условия для числовой плотности агрегатов. Граничное условие, применяемое на твердой стенке в случае устойчивой жидкости состоит в непроницаемости границы, то есть предполагается, что поток массы агрегатов на вертикальную стенку канала равен нулю. Это обычное граничное условие обсуждалось и применялось, например, в работах [46 — 48].

Однако особенности поведения частиц на стенке и их взаимодействия с ней, вообще говоря, неизвестны. Например, при наличии большого градиента магнитного поля может существовать ненулевой поток массы частиц на поверхность. В этом случае, для числовой плотности ставится граничное условие третьего рода, как например в [49].

В рассматриваемом же случае, соответствующем условиям экспериментов [37, 39], применение в качестве граничного условия равенства нулю потока массы агрегатов на вертикальной стенке канала представляется достаточно оправданным.

Для исследования перераспределения агрегатов в экспериментальной установке необходимо вычислить скорость и магнитной жидкости и её температуру Г, то есть решить задачу о термогравитационном течении жидкости. Для этого следует дополнить уравнение для числовой плотности агрегатов уравнениями неразрывности и движения для магнитной жидкости и уравнением теплопроводности в движущейся жидкости. Эти уравнения выписаны в § 1.3.

Предполагается, что агрегаты не влияют на движение магнитной жидкости из-за их малой концентрации. Выписанные уравнения обезразмериваются. В случае, когда искажением приложенного магнитного поля из-за неоднородного нагрева можно принебречь, данные уравнения совпадают с обычными уравнениями конвекции в приближении Буссинеска [50] с точностью до переопределения давления в жидкости.

Граничными условиями для этих уравнений являются равенство нулю скорости жидкости на стенке и равенство температуры заданной функции.

Везде далее в диссертации магнитная жидкость с агрегатами, прошедшая обработку в неоднородном магнитном поле, рассматривается как двухфазная намагничивающаяся среда, одну фазу которой составляет обычная магнитная жидкость, а другую — сферические агрегаты.

Полученные в § 1.2 уравнение для числовой плотности агрегатов и выписанные в § 1.3 уравнения, описывающие движение неоднородно нагретой магнитной жидкости в магнитном поле используются в § 1.4 при постановке задачи о стационарном течении в экспериментальной установке неоднородно нагретой магнитной жидкости при наличии однородного магнитного поля, и задачи о перераспределении агрегатов в установке. Течение считается двумерным в плоскости ОХУ, изображенной на рисунке 1.4.1 в § 1.4 на стр. 49.

Во второй главе диссертации численно решена задача о плоском стационарном течении магнитной жидкости в экспериментальной установке при различных условиях нагрева её стенок в присутствии внешнего однородного магнитного поля.

В § 2.1 Приведены описания расчетной сетки и разностной схемы, запись разностных операторов и V11 в индексных обозначениях для использующейся расчетной сетки.

В § 2.2 изложен использовавшийся численный метод, основанный на сочетании идей искусственной сжимаемости и установления по времени [51]. Сделаны необходимые пояснения по выбору итерационных параметров [52 — 54] и реализации обращения в расматрива-емой области разностного оператора Лапласа попеременно-треугольным методом [55]. Обоснован выбор значений итерационных параметров, использованных в расчётах. Приведены результаты апостериорной оценки точности полученных результатов.

В § 2.3 рассмотрены результаты проведенных расчётов. Приведены графики линий тока скорости и = (и1Ги2) и поля распределения температуры Т, соответствующие разным условиям нагрева стенок. Приведены характерные значения величины скорости и температуры в резервуарах и в канале. Показано, что имеющиеся особенности течения вблизи соединения канала с резервуарами уменьшают суммарный расход жидкости, попадающей из резервуаров в канал и наоборот, из канала в резервуары. Этот расход увеличивается при нагреве стенок канала и резервуаров, по сравнению со случаем, когда нагреваются только стенки канала. На основании известных результатов [50, 56 — 58] решения задачи о стационарной конвекции проанализирован вопрос об устойчивости течения жидкости в канале установки.

Таким образом, во второй главе диссертации численно моделируется течение неоднородно нагретой магнитной жидкости в экспериментальной установке при различных условиях нагрева её стенок во внешнем однородном магнитном поле.

В третьей главе диссертации с учётом результатов второй главы решена задача о перераспределении фазы агрегатов в экспериментальной установке.

В § 3.1 рассмотрено перераспределение агрегатов в резервуарах установки под действием сил тяжести, трения со стороны жидкости, термомагнитной силы и силы, связанной с градиентом числовой плотности агрегатов при различных условиях нагрева стенок установки. Проведена сравнительная оценка рассматриваемых сил, влияющих на перераспределение агрегатов в резервуарах. С использованием результатов § 2.3 показано, что в случае нагрева стенок резервуаров внутри цилиндров образуются значительные области замкнутых траекторий агрегатов, что препятствует перераспределению агрегатов между резервуарами. Показано, что диффузией агрегатов вдоль их траекторий в резервуарах за характерное время эксперимента можно пренебречь, то есть агрегаты внутри областей замкнутых траекторий участвовать в обмене между резервуарам не будут. В случае нагрева только стенок канала пренебрежимо малым является приток агрегатов в канал из нижнего резервуара из-за резкого, на два порядка, снижения в нём скорости течения магнитной жидкости. Таким образом, сделан вывод о целесообразности перемешивания жидкости в резервуарах установки для улучшения обмена агрегатами между верхним и нижним резервуарами. Проведенные оценки показывают, что время выравнивания числовой плотности агрегатов в резервуарах много больше времени перераспределения агрегатов по длине канала. Поэтому в канале можно решать стационарное уравнение для числовой плотности агрегатов.

В § 3.2 решена плоская задача о перераспределении агрегатов под действием термомагнитной силы в вертикальном канале длины 12 и ширины /2 /15 стенки которого поддерживаются при постоянных температурах Тх и Т2, Т2 — Тг = 0 > 0.

Течение в таком канале моделируется двумя плоскопараллельными встречными потоками с постоянной скоростью. Это сохраняет основные особенности конвективного течения в канале установки: его двухслойность и противоположную направленность потоков. В качестве граничных условий в горизонтальных сечениях канала внизу и вверху задана числовая плотность, на вертикальных стенках — равенство нулю потока массы агрегатов. Диффузией агрегатов, обусловленной градиентом их числовой плотности вдоль канала пренебрегается.

Использование такого упрощения позволяет свести исходную задачу для эллиптического уравнения к уравнению параболического типа [59] (уравнению с меняющимся направлением времени для классического уравнения теплопроводности). Для полученного уравнения требуется задавать граничное условие не на всем горизонтальном сечении канала, а лишь на входе потоков агрегатов вверху и внизу канала. Приближение скорости жидкости кусочно-постоянной функцией позволило получить аналитическое решение.

Поставленная задача обобщена и решена численно для течения жидкости в канале с профилем скорости, вычисленном в § 2.3. Обобщение связано с наличием двух областей входа агрегатов в канал сверху и одной области входа потока агрегатов снизу канала. Численное решение получено при помощи пакета численного анализа 1МБЬ [60]. Найдено выражение для потока массы агрегатов через поперечное сечение канала, приведены результаты расчета зависимости потока от внешних параметров — размера агрегатов, градиента температуры в канале, его длины и ширины.

В § 3.3 решена задача о перераспределении агрегатов во всей экспериментальной установке. Исследовано перераспределение фазы агрегатов в резервуарах с течением времени. Рассмотрен вопрос об оптимальных размерах канала установки, обеспечивающих эффективный обмен агрегатами между нижним и верхним резервуарами. Исследована зависимость интенсивности переноса агрегатов из нисходящего в восходящий поток от длины канала установки. Найдено характерное значение длины канала и показано, что дальнейшее увеличение длины почти не приводит к увеличению переноса агрегатов в канале из потока, двигающегося вниз, в поток, двигающийся вверх. Определена зависимость потока агрегатов вдоль канала (через плоскость, разделяющую потоки агрегатов, двигающиеся в противоположных направлениях) от параметров эксперимента, показывающая, как следует выбирать параметры установки в области, соответствующей устойчивому течению в канале, обеспечивающие увеличение потока агрегатов.

Таким образом в третьей главе диссертации показано, что под действием термомагнитной силы агрегаты в канале экспериментальной установки могут перераспределяться так, что станет возможным их перенос из нижнего в верхний резервуар. Исследовано влияние особенностей течения магнитной жидкости в экспериментальной установке на интенсивность процесса перераспределения агрегатов между её верхним и нижним резервуарами. Даны рекомендации по выбору оптимальных размеров канала установки, обеспечивающих эффективный перенос агрегатов из нижнего в верхний резервуар.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

1. Сформулирована и численно решена задача о движении магнитной жидкости в магнитном поле при термогравитационной конвекции в экспериментальной установке, состоящей из двух резервуаров прямоугольного сечения, соединенных узким длинным вертикальным каналом. Для решения нелинейных уравнений конвекции применялся численный метод, основанный на сочетании идей искусственной сжимаемости и установления по времени.

2. Показано, что существуют диапазоны изменения параметров эксперимента: интенсивности нагрева стенок, диаметра агрегатов, размеров канала, величины магнитного поля, в которых возможен перенос агрегатов из нижнего в верхний резервуар.

3. Исследована задача о перераспределении агрегатов в экспериментальной установке под действием силы тяжести, трения со стороны магнитной жидкости, термомагнитной силы и силы, пропорциональной градиенту парциального давления агрегатов.

4. Сформулирована и аналитически решена задача о перераспределении агрегатов в узком вертикальном канале с плоскими стенками с двухслойным плоскопараллельным встречным течением магнитной жидкости в случае приближения профиля скорости несущей магнитной жидкости кусочно-постоянной функцией. Показано, что рассматриваемая задача сводится к неклассическому уравнению параболического типа с меняющимся направлением времени. В случае, когда профиль скорости соответствует течению в канале установки, задача решена численно.

5. С использованием решения задачи о термогравитационном течении магнитной жидкости в экспериментальной установке и решения задачи о перераспределении агрегатов в канале проведено численное моделирование перераспределения агрегатов между верхним и нижним резервуарами. Исследована зависимость переноса агрегатов в канале от внешних параметров экспериментаданы рекомендации по выбору оптимальных размеров канала установки, обеспечивающих эффективный перенос агрегатов из нижнего в верхний резервуар. Показано, что существует характерное значение длины канала, дальнейшее увеличение которой не приводит к росту под действием термомагнитной силы расхода агрегатов через плоскость, разделяющую потоки агрегатов, движущиеся в противоположных направлениях.