Краевые задачи с обобщенными операторами дробного интегродифференцирования для уравнений гиперболического и смешанного типов

Теория краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов является одним из важнейших разделов современной теории дифференциальных уравнений в частных производных. Практический интерес к данной области связан с применением уравнений гиперболического и смешанного типов в газовой динамике трансзвуковых течений, в математической биологии, в теории лазерного излучения, в теории упругости, в теории оболочек, в теории плазмы и других разделах науки и техники.

Впервые на важность уравнений смешанного типа обратил внимание С. А. Чаплыгин в 1902 году в работе «О газовых струях». Он показал, что движение газа в условиях перехода от дозвуковой к сверхзвуковой скорости описывается уравнением смешанного типа, которое в настоящее время называется уравнением Чаплыгина.

Первыми систематическими исследованиями в области уравнений смешанного типа являются работы Ф. Трикоми. В работе [78] он рассмотрел теперь хорошо известную задачу Трикоми — задачу отыскания решения уравнения смешанного типа с двумя переменными yU +U = 0,.

XX уу принимающего заданные значения на эллиптической части сг границы 3D области D задания уравнения и на одной из двух характеристик АС или ВС образующих гиперболическую часть Г = AC U ВС границы 3D = a U Г.

Результаты Ф. Трикоми в тридцатые годы обобщил С. Геллерстедт [83]. Для уравнения ymU +U = 0,.

XX уу где т — натуральное нечетное число, С. Геллерстедт исследовал задачи, краевые условия которых задаются на двух кусках характеристик различных семейств, выходящих из внутренней точки линии вырождения уравнения или на кусках этих характеристик. Используя идею Ф. Трикоми, С. Геллерстедт свел решение этих задач к вопросу разрешимости сингулярных интегральных уравнений.

Следующим этапом в развитии исследований в теории уравнений смешанного типа явились работы Ф. И. Франкля [79,80], в которых он разработал важные практические применения задач для уравнений смешанного типа в газовой динамике. Так, если рассмотреть задачу перехода через звуковой барьер установившихся двухмерных безвихревых течений идеального газа в соплах, когда сверхзвуковые зоны примыкают к стенкам сопла вблизи минимального сечения, то она сводится для линейных уравнений смешанного типа с частными производными второго порядка, в упрощенной постановке, к задаче Трикоми.

В 60-х годах прошлого столетия А. В. Бицадзе была выдвинута проблема поиска корректно поставленных краевых задач для уравнений смешанного типа с двумя независимыми переменными, когда все точки гиперболической части границы равноправны как носители граничных условий.

Важную роль при решении данной проблемы сыграли исследования A.M. Нахушева. В 1969 году A.M. Нахушев предложил ряд нелокальных задач нового типа [52,54], которые явились непосредственным обобщением задачи Трикоми и вошли в математическую литературу под названием краевых задач со смещением. В отличие от задачи Трикоми здесь задается условие, связывающее значение искомого решения или его производной, вообще говоря, дробной, в трех точках, две из которых лежат на граничных характеристиках из разных семейств, а третья — на линии вырождения уравнения.

Подобные граничные условия возникают при изучении вопросов тепло и массообмена в капилляро-пористых средах, математическом моделировании задач газовой динамики, теории плазмы, излучения лазера, при изучении процессов размножения клеток, в теории распространения электромагнитного поля в неоднородной среде [58].

В направлении развития теории краевых задач со смещением появилась серия работ A.M. Нахушева [52−54,57,58], В. И. Жегалова [25], В. Ф. Волкодавова [16−17], М. М. Смирнова [75,76], М. С. Салахитдинова и Б. Исломова [73], Т. Д. Джураева [23], Е. И. Моисеева [48], С. К. Кумыковой [36], О. А. Репина [6369], А. А. Андреева [5], их учеников и последователей.

Первые работы по исследованию задач со смещением в краевых условиях содержали классические операторы Римана-Лиувилля. Естественным обобщением этих операторов являются операторы, введенные Э. Лавом (E.R.Love, Австралия) [85,86], А. Мак-Брайдом (A.C.McBride, Англия) [87], М. Сайго (M.Saigo, Япония) [90].

Д.Аманов [4], Б. Исломов [28], А. Хасанов [81], С. И. Макаров [41,42] изучали задачи с нелокальными краевыми условиями, содержащими операторы, введенные Э. Лавом, для уравнения с двумя линиями вырождения в случае, когда порядок вырождения различен.

Краевые задачи для вырождающихся гиперболических уравнений с нелокальными краевыми условиями, содержащими операторы Сайго, рассматривали М. Сайго [88−93], О. А. Репин [63−69]. В работе А. А. Андреева и Е. Н. Огородникова [5] получены законы композиций для операторов М. Сайго на матричный случай и исследованы нелокальные краевые задачи для вырождающихся систем гиперболического типа, где широко используются операторы Римана-Лиувилля, Эрдейи-Кобера, М. Сайго в матричном представлении.

В совместных работах М. Сайго, А. А. Килбаса и О. А. Репина [84,88] рассмотрены краевые задачи, содержащие операторы в смысле М. Сайго для уравнения Бицадзе-Лыкова и параболо-гиперболических уравнений.

И все-таки, в настоящее время, нелокальным задачам, содержащим обобщенные операторы дробного интегродифференцирования посвящено меньше работ, чем задачам с граничными условиями, содержащими классические операторы. В связи с этим исследование таких задач является важным и актуальным.

Настоящая диссертация посвящена изучению новых нелокальных и локальных краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов с вырождением первого и второго рода. Поставленные и исследованные в работе задачи характерны тем, что содержат в краевых условиях производные и интегралы дробного порядка с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре.

Методы исследования. В работе используется аппарат специальных функций, методы теории интегральных уравнений, дифференциальных уравнений с частными производными, операторов дробного интегродифференцирования, известные принципы экстремума для гиперболических и смешанных уравнений.

Научная новизна. Результаты работы примыкают с одной стороны к направлениям, связанным с краевыми задачами для уравнений гиперболического и смешанного типов, с другой — к направлению, связанному с теорией дробного интегродифференцирования.

1. Получены новые формулы для композиций обобщенных операторов дробного интегродифференцирования, которые широко применяются при решении задач со смещением.

2. Исследованы новые нелокальные краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов.

Положения, выносимые на защиту:

1. Новые композиционные свойства для интегралов и производных дробного порядка с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре, полученные на основании аппарата специальных функций и преобразования Меллина.

2. Постановка и исследование новых нелокальных задач для уравнений гиперболического и смешанного типов, краевые условия которых содержат обобщенные операторы дробного интегродифференцирования.

3. Доказательство существования и единственности решений задач со смещением на основании метода редукции этих задач к сингулярным интегральным уравнениям или интегральным уравнениям Вольтерра и Фредгольма.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты работы носят теоретический характер и являются важным вкладом во внутреннюю завершенность соответствующего раздела дифференциальных уравнений с частными производнымиони могут быть использованы для дальнейшей разработки теории краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов, а также для решения прикладных задач, приводящихся к таким уравнениям.

Апробация работы. По теме диссертации опубликовано одиннадцать печатных работ. Результаты исследований докладывались и обсуждались на X Научной межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2000 г.), на Международной конференции молодых ученых «Актуальные проблемы современной науки» (Самара, 2000 г.), на XXVII Самарской областной студенческой научной конференции (2001г.), на Международной конференции «Математическое моделирование, статистика и информатика в современном управлении экономикой» (Самара, 2001 г.), на V Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, 2002 г.), на Всероссийской Научной конференции «Математической моделирование и краевые задачи» (Самара, 2004 г.), на семинарах кафедры «Прикладная математика и информатика» Самарского государственного технического университета (руководитель — профессор, доктор физико-математических наук В. П. Радченко, 2003;2004гг.), на научных семинарах кафедр МА, ПМиИ и ТФ физико-математического факультета Стерлитамакского государственного педагогического института (руководитель — профессор, доктор физико-математических наук К. Б. Сабитов, 2004 г.), на научном семинаре Института механики УНЦ РАН (руководители — профессор, доктор физико-математических наук С. В. Хабиров, профессор, доктор физико-математических наук Т. А. Акрамов, г. Уфа, 2004 г.).

Диссертация состоит из введения, трех глав и девяти параграфов. В каждой главе своя нумерация параграфов, а в каждом параграфе своя нумерация формул и теорем.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Выполненные в настоящей диссертационной работе исследования позволяют сформулировать следующие основные результаты:

1. С помощью аппарата специальных функций получены формулы композиций для интегралов и производных дробного порядка с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре.