Некоторые приложения метода редукции к степенным рядам в задачах теории чисел

Актуальность работы Рассмотрим ряд Дирихле сю.

5 = а + Ш</сь = 1, (1) пь п=1 и соответствующий степенной ряд (с теми же коэффициентами, что и ряд (1)): оо п= 1.

Ряд Дирихле / (я) абсолютно сходится в полуплоскости, а > 1, а степенной ряд д (г) сходится при г < 1.

Метод редукции к степенным рядам устанавливает взаимосвязь между аналитическими свойствами функции / (5), определенной рядом (1), и поведением функции д (г), определенной рядом (2) на границе сходимости.

Эта взаимосвязь устанавливается на основании изучения свойств прямого и обратного преобразований Меллина: оо.

5) Г {з) = I д (е~х)х8-Чх, а > 1, (3) о сг+гоо 1(з)Г (з)х~Чз, С7>1, (4).

7—гоо где Г (5) — Г-функция Эйлера, д (е~х) = ап^~пх, х > 0.

Впервые основные положения метода редукции к степенным рядам были заложены в работе [24], в которой на основании изучения свойств преобразований (3) и (4) было показано, что в случае конечнозначных коэффициентов ряд Дирихле (1) тогда и только тогда определяет мероморфную функцию с единственным возможным полюсом первого порядка в точке я = 1, модуль которой удовлетворяет следующему условию роста модуля s)| = О (еМьМ+лн), а<0, (5) где, А —- некоторая положительная константа, когда функция g (z), определенная степенным рядом (2), либо регулярна в точке z = 1, либо имеет там полюс первого порядка. Существенным моментом при этом было доказательство того факта, что в случае когда ряд Дирихле (1) определяет целую функцию / (s) степенной ряд (2) имеет в точке z — 1 радиальные производные вида lim д{п){х) = ап, п = 0Д, 2,., (6) х—>1−0 и при этом значения / (—п), п = 0,1, 2,., выражались через эти радиальные производные.

Для степенных рядов с конечнозначными коэффициентами известная теорема Сеге [7] утверждает, что такой ряд тогда и только тогда определяет функцию, регулярную в точке z = 1 или имеющую там полюс, когда коэффициенты этого ряда являются периодическими, начиная с некоторого номера. Этот известный факт о граничном поведении степенных рядов с конечнозначными коэффициентами позволил получить аналитическую характеристику L-функций Дирихле [24]: в классе эйлеровых произведений с конечнозначными коэффициентами L-функции Дирихле определяются как мероморфные функции с единственным возможным полюсом первого порядка в точке s = 1 с условием роста модуля вида (5).

В дальнейших работах В. Н. Кузнецова [26], [27], [25] рассматривались ряды Дирихле, аналитическое продолжение которых сводилось к задаче о граничном поведении определенных степенных рядов во всех точках единичной окружности. При этом соответствующие степенные ряды имели в точке z = 1 радиальные производные вида (6) и в то же время были аналитически непродолжимы за границу единичного круга. В результате чего подход изучения аналитических свойств рядов Дирихле, основанный на сведении этой задачи к задаче о граничном поведении соответствующих степенных рядов получил название метода редукции к степенным рядам.

В период с 2003 по 2012 годы метод редукции к степенным рядам и его приложения в теории ¿—функций числовых полей и в теории степенных рядов получили свое дальнейшее развитие в работах В. Н. Кузнецова и его учеников.

Так в работе [8] методом редукции к степенным рядам получен аппрок-симационный критерий для ¿—функций Дирихле в классе эйлеровых произведений с конечнозначными коэффициентами: показано, что в этом классе ¿—функции Дирихле определяются как такие функции, которые в любой полосе, а > 0, Щ < Т можно приблизить полиномами Дирихле с показательной скоростью. При этом указана явная конструкция аппроксимирующих полиномов. Нужно отметить, что в работе [8] аппроксимирующий критерий был получен для рядов Дирихле с периодическими, начиная с некоторого номера, коэффициентами в классе рядов Дирихле с конечнозначными коэффициентами, что, как показано в данной диссертации, позволяет достаточно быстро определить значения целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами в прямоугольнике 0 < ст < 1, 1 <? < Т.

В работах [35], [34], [41] исследовалась задача существования радиальных производных вида (6) для степенных рядов, отвечающих рядам Дирихле вида (1). В частности, исследовалась задача о целостности композита двух рядов Дирихле вида (1), т. е. пусть ряды Дирихле со в = <т +и, п=1 со ^.

2(5) = У" А Б = <7 + й ГГ п=1 определяют целые функции и нужно определить при каких условиях ряд Дирихле.

ОС.

А-/.

71=1.

Было показано, что этот факт имеет место, когда /1 (й) и /2 (в) являются произведением классических ¿—функций Дирихле с неглавными характерами Дирихле. Существенным моментом при этом был результат [33], являющийся обобщением известной теоремы Адамара об умножении особенностей [43].

Полученные результаты нашли применение [33] в задаче о целостности скалярного произведения ¿—функций Дирихле числовых полей.

В работах [23], [31] изучалась задача о том, насколько функциональное уравнение римановского типа где /(з) — функция, определяемая рядом Дирихле вида (1), а /(5) — функция, определенная рядом Дирихле с сопряженными к коэффициентам, 6 и 5 — величины, равные либо 0, либо 1, к — натуральное, определяет функцию /(з).

В работе [23] методом редукции к степенным рядам было показано, что функциональному уравнению (7) в классе эйлеровых произведений с конеч-нозначными коэффициентами удовлетворяют только Ь-функции Дирихле с первообразными характерами модуля к.

Известный пример Дэвенпорта-Хейльбронна [1] показал, что в классе рядов Дирихле с периодическими коэффициентами функциональному уравнению (7) могут удовлетворять не только ¿—функции Дирихле. В работе [31] были получены условия, при которых ряды Дирихле с периодическими коэффициентами удовлетворяют функциональному уравнению (7). Было показано, что таких рядов Дирихле существует бесконечно много.

В работах [34], [29] изучались аналитические свойства рядов Дирихле вида (1), для которых соответствующие степенные ряды (2) определяют функции либо регулярные в точке г = 1, либо имеющие в этой точке полюс порядка к. Было показано, что это либо целые функции, модуль которых удовлетворяет условию (5), либо мероморфные функции, имеющие возможные простые полюсы в точках 5 = 1,2К. Результаты этих исследований нашли приложение в теории степенных рядов [39], [38].

Постановка задачи. Как уже отмечалось выше, метод редукции к степенным рядам позволяет:

— устанавливать связи между значениями /(—п), п ~ 1,2,., где /(й) — целая функция определенная рядом Дирихле, и значениями радиальных производных вида (6) для соответствующего степенного ряда.

— строить полиномы Дирихле, аппроксимирующие в полосе, а > 0, < Т целые функции, заданные рядами Дирихле с периодическими коэффициентами, с показательной скоростью.

Перед автором была поставлена задача найти приложения этих результатов в задаче о трансцендентности значений в положительных алгебраических точках целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами и удовлетворяющих функциональному уравнению римановского типа, а так же в задаче определения нулей целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами. Как показано в [32] последняя задача связана с проблемой о взаимосвязи основной и расширенной гипотезой Римана.

Таким образом, можно говорить об актуальности тематики исследований данной диссертационной работы.

Научная новизна. К новым результатам, полученным в данной работе в направлении решения поставленных выше задач, нужно отнести следующие.

1. Показано, что для произведения по Дирихле двух степенных рядов с алгебраическими периодическими коэффициентами, регулярными в точке г = 1 существуют радиальные производные в точке г = 1 любого порядка, которые являются алгебраическими числами.

2. Для рядов Дирихле с алгебраическими периодическими коэффициентами, удовлетворяющих функциональному уравнению римановского типа показано, что они принимают трансцендентные значения в четных или нечетных натуральных точках в зависимости от величины 5 (5 = 0 или 6 = 1), входящей в функциональное уравнение.

Отметим, что в основе этих двух результатов лежит взаимосвязь между значениями целых функций, определенных рядами Дирихле, в отрицательных целых точках и значениями радиальных производных соответствующих степенных рядов. Тем самым получено новое доказательство о трансцендентности значений L-функций Дирихле в четных или нечетных натуральных точках в зависимости от четности характера Дирихле.

3. Для рядов Дирихле с алгебраическими периодическими коэффициентами, определяющих целые функции задачу о трансцендентности значений этих функций в положительных алгебраических точках удалось свести к задаче определения порядка роста последовательности высот алгебраических чисел Qk (а), где Qk (s) — последовательность полиномов Дирихле (которые определяются явным образом) с алгебраическими коэффициентами, аппроксимирующих функцию, заданную рядом Дирихле на положительной полуоси с показательной скоростью.

В основе этого результата лежит аппроксимационный критерий целостности функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами, полученный в работе [8] и известная теорема Левека [44] относительно скорости приближения алгебраических чисел алгебраическими числами.

4. Разработана численная схема относительно определения нулей целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами. Проведены численные эксперименты связанные как с расширенной гипотезой Римана, так и с проблемой о взаимосвязи основной и расширенной гипотез Римана, которая, как показано в [32], связана с нулями целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами.

В основе численной схемы лежат основные положения аппроксимаци-онного критерия целостности функции, заданной рядом Дирихле с периодическими коэффициентами.

Составлена программа на языке python, реализующая эту численную схему, которая достаточно быстро выдает результаты относительно нулей аппроксимируемых функций в заданном прямоугольнике критической полосы.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Список литературы

содержит 45 наименований. Общий объем диссертации 80 страниц. Диссертация содержит 2 рисунка.

Заключение

.

В заключении отметим, что в работе разработан подход к задаче о трансцендентности значений ¿-/-функций Дирихле в положительных алгебраических точках, в результате которого эту задачу свели к задаче оценки высот некоторой последовательности алгебраических чисел. Автор надеется, что данный подход может быть эффективным в случае алгебраических чисел не превосходящих единицы. Автор надеется также, что удастся показать, что нули полиномов Дирихле, аппроксимирующих //-функции Дирихле, имеют ту же кратность, что и нули Ь-функций. Наконец, нужно сказать, что перечень приложений, указанных в начале автореферата и рассматриваемых в данной диссертации, далеко не исчерпывают все приложения метода редукции к степенным рядам в задачах теории чисел.

Стоит также отметить, что в случае ¿—функций числовых полей к (к ф (ф) можно строить полиномы Дирихле (?п (з), аппроксимирующие функции Ь^тХ^к) в прямоугольнике 0 < сг < 1, 0 <? < Т, со скоростью где т — любое натуральное, а ¿—функции Дирихле числового поля определяются следующим образом: где ап = Х^(а)=п х (а)> а произведение берется по всем простым идеалам поля к и где х ~ характер Дирихле, заданный на группе идеалов поля к.