Полиморфизмы и задача о разрушении адиабатического инварианта

Одной из важных проблем теории динамических систем является исследование поведения интегрируемых гамильтоновых систем при малых возмущениях ([19]). Напомним, что система называется интегрируем, ой по Лиувиллю в том случае, если она имеет полный набор функционально независимых коммутирующих первых интегралов. Особый интерес представляет ситуация, когда многообразия уровня первых интегралов компактны. Тогда типичные траектории представляют собой квазипериодические обмотки инвариантных торов. Для исследования возмущенных систем, как правило, используют канонические координаты действие-угол ([15, ?17]), в которых невозмущенное решение выглядит как равномерное движение фазовой точки вдоль обобщенных координат при постоянных значениях обобщенных импульсов. Теория Колмогорова-Арнольда-Мозера (KAM теория) утверждает, что при возмущении интегрируемой гамильтоновой системы большинство инвариантных торов сохраняется ([9, 27]). Часть торов, образующих множество малой меры, тем не менее, разрушается, и на их месте образуются области качественно более сложного поведения, что в случае более чем двух степеней свободы позволяет импульсам существенно удаляться от своих начальных значений.

Данная работа посвящена явлениям, наблюдаемым при медленном периодическом возмущении одномерных гамильтоновых систем в окрестности особых кривых — сепаратрис. Сепаратриса — траектория асимптотического решения плоской динамической системы, стремящегося при t —> +оо (устойчивая сепаратриса) или при t —> —оо (неустойчивая сепаратриса) к седловой неподвижной точке. Обычно в невозмущенной системе устойчивая и неустойчивая сепаратрисы совпадают. Возмущенные сепаратрисы, как правило, расщепляются. Тогда в их окрестности рождается стохастический слой, что существенно меняет свойства системы, делая ее неинтсгрируемой ([7. 26, 27]). Нашей задачей является исследование поведения решений возмущенной системы в окрестности сепаратрисы с точки зрения динамики такого параметра траектории как адиабатический инвариант.

Адиабатическим инвариантом называется величина, асимптотически сохраняющаяся при достаточно медленном изменении параметров гамильтоновой системы. Более строго, рассмотрим систему дифференциальных уравнений Гамильтона х = у (х, А), где, А — параметр. Функция / от фазовой точки х и параметра, А называется адиабатическим, инвариантом, если для любой гладкой функции А (т) медленного времени т = вдоль решения уравнения х = у (х, А (е?)) изменение величины 1(х (Ь), А (г?)) остается малым на интервале времени 0 < t < 1/е, если? достаточно мало ([9, 10]). Понятие адиабатического инварианта было введено П.Эренфестом. В данном понимании это явление изучалось в работах А. А. Андронова, М. А. Леонтовича, Л. М. Мандельштама. Адиабатические инварианты возникают во многих задачах механики. Например, предположим, что в одномерной гамильтоновой системе при каждом значении параметра фазовые траектории замкнуты и частота движения по ним отлична от нуля. Тогда можно ввести координаты действие-угол. Теорема об усреднении утверждает, что переменная действия данной системы будет являться адиабатическим инвариантом. То же можно сказать о системе с двумя степенями свободы, гамильтониан которой медленно зависит от одной из координат. Например, адиабатический инвариант существует в системе, описывающей движение в потенциальном рве, вытянутом вдоль одной координаты. К таким задачам относятся распространение коротковолнового излучения в волноводе или движение заряженной частицы в плавно изменяющемся поле. Адиабатические инварианты существуют и в системах с ударом, например, при движении упругого шарика между двумя медленно движущимися стенками или при распространении лучей в плоском световоде с зеркальными стенками, ширина и направление стенок которого меняются плавно. В системах со многими степенями свободы с медленно изменяющимися параметрами возникают почти адиабатические инварианты — фазовые функции, для которых мера множества траекторий, отклоняющихся от адиабатического приближения, стремится к нулю вместе с малым параметром. Для одночастотных гамильтоновых систем с плавно изменяющимися параметрами быстрые переменные можно исключать симплектически и за счет этого получить величины, сохраняющиеся с большей точностью. В пределе можно добиться экспоненциально большого времени сохранения адиабатического инварианта. Если адиабатический инвариант имеет предел в прошлом и будущем, то можно показать, что его приращение за бесконечно большое время убывает быстрее любой степени. Важным выводом теории KAM является то, что в нелинейной системе адиабатический инвариант остается близок к своему начальному значению вечно, если движение происходит вдали от сепаратрис.

Сформулируем задачу о разрушении адиабатического инварианта. Рассмотрим одномерную гамильтонову систему, периодически зависящую от параметра (см. подробнее в главе 3). Предположим, что при всех значениях параметра фазовое пространство системы делится сепаратрисами на области движения D+, Do (см. рис. 1). Предположим также, что траектории системы замкнуты. Тогда при медленном изменении параметра действие является адиабатическим инвариантом. Это означает, что для удаленных от сепаратрисы точек изменение площади области фазового пространства, ограниченного траекторией точки в «замороженной» системе, т. е. в автономной системе с зафиксированным параметром, мало. Адиабатическое приближение теряет смысл в момент пересечения фазовой точкой сепаратрисы. В этот момент точка меняет область движения, и значение адиабатического инварианта испытывает скачок.

Dn D.

Рис. 1: Фазовый портрет «замороженной» системы.

Оценкам скачка адиабатического инварианта при прохождение фазовой точки через сепаратрису посвящено много работ и численных экспериментов ([2, 6, 23, 25]). В пределе при стремящихся к нулю значениях возмущающего параметра изменение адиабатического инварианта представляет собой случайную величину, распределение которой определяется скоростью роста площадей областей и дополнения Д) в момент попадания точки на сепаратрису. Мы получаем многозначное отображение, действующее на множестве значений переменной действия, представляющем собой объединение трех непересекающихся отрезков, которые мы приставляем друг к другу. А. И. Нейштадтом и Д. В. Трещевым было показано, что данное отображение сохраняет стандартную меру Лебега. Таким образом, оказалось, что задача о разрушении адиабатического инварианта может быть описана с помощью динамической системы особого вида — полиморфизма.

Полиморфизмы — многозначные отображения, сохраняющие меру — были введены Вершиком ([8, 13, 14]). По определению, полиморфизмом пространства Лебега (Х, т) в пространство Лебега (Х2, тг) называется диаграмма П :

Хь тщ) № х Х2,(1) {Х2,т2), где (Х1 х Х2, ц) — пространство Лебега. 'тх и тт2 — координатные проекции Х х Х2 на сомножители Х и Х2, являющиеся гомоморфизмами пространств Лебега. С точки зрения динамики, точки множества Х случайно отображаются полиморфизмом П в точки множества Х2 таким образом, что вероятность попадания точки из произвольного измеримого множества, А С Х в произвольное измеримое В С Х2 равна ц (А х В).

Полиморфизмы встерчаются в различных областях математики, таких как алгебра и алгебраическая геометрия, марковские операторы и процессы, теория представлений. В контексте нашей задачи мы рассмотрим полиморфизмы частного вида с мерой, сосредоточенной на конечном наборе гладких кривых (см. главу 1). В этом случае каждая точка пространства Х имеет конечное число образов в Х2, вероятность каждого из которых определяется плотностью меры [I в соответствующих точках Х х Х2. На рис. 2 изображено несколько ветвей полиморфизма Т, действующего на отрезке [0,1] со стандартной мерой Лебега и переводящего его в себя. Положение образов определяется функциями ¡-рк, объединение графиков которых является носителем меры ?1, функции Рк — вероятности — суть проекции плотности меры ц, на ось абсцисс. При этом мера Лебега на [0,1] должна сохраняться в следующем смысле: оператор Перрона-Фробениуса УТ: Ь2([0,1]) —> Ь2{[0, 1]), действующий по формуле р{х) Н—> Штр{у) = ^рьор-^у) ((р^)'{у)р0¹(у) — к оставляет постоянные функции без изменений:

И/г1 = 1.

Полиморфизм Т обозначается ((/?-р-7), где интервал С [0,1] — область определения функций ірк и Рк1.

2 (ж) рі(х) о X 1.

Рис. 2: Действие полиморфизма Т: точка х переходит в точки у?1(ж) и ^{х) с вероятностями р (х) и Р2(х) соответственно.

Именно такая система описывает динамику адиабатического инварианта в окрестности сепаратрисы медленно возмущаемой гамильто-новой системы.

В ходе работы получены следующие основные результаты.

Получено два явных способа построения полиморфизмов с двумя ветвями, выходящими из точки (0,0) и заканчивающимися в точке (1,1) (см. главу 1). В первом случае достаточно определить вероятности, после чего достраиваются функции перехода. Во втором утверждении фактически описывается способ построения полиморфизма по одной ветви и отвечающей ей постоянной вероятности.

Предложение 1. Предположим, что на отрезке [0,1] заданы кусочно-гладкие отличные от констант функции р и Р2, такие что р (х) + Р2{х) = 1 и 0 < рк{х) < 1, к = 1,2, для всех х Е [0,1]. Пусть где к = 1, 2. Тогда Т = ((р1- Р2- [0,1]- [0,1]) — полиморфизм,.

Предложение 2. Предположим, чт. о на отрезке [0,1] задана, непрерывная кусочно-гладкая функция Н, отвечающая условиям /г (0) = 0 и Ь'(х) < ½ — с для некоторого с > 0 в тех точках х Е [0,1]- где и х Е [0,1] к имеет производную. Определим, на отрезке [0,1] функции и из условий ф!{у) + Н{ф1{у)).

—:-= У, г/&euro-[0,1],.

2 + Л™

— ф2{у) ~ Ь (фг (у)).

—г-=У, У €[0,1].

5-М1).

Определим пару чисел и.

Ч1 = +К1) и д2 =Л-Л (1).

Тогда 5 = (ф, фъ'-.Чх-, Я2 [0,1]-, [0,1]) — полиморфизм.

В главе 2 рассматривается трехпараметрическое семейство кусочно-линейных эргодических полиморфизмов с двумя возрастающими ветвями с одной точкой излома ([16]). Эргодичность полиморфизма Т означает, что уравнение У/?р = р не имеет решений, отличных от констант.

Пусть 0<6<�а<�с<1и.

Ых) =.

Ср2(х) = <

Положим, а х-, если х € 0, Ь] о.

1 — (1 — х)-если х Е [Ь. 1).

1—0 а х-. если х 6 0, с — с' Л — а.

1 — (1 — х)—, если х 6 [с, 1].

1-е с — а V с-Ъ.

Нетрудно показать, что Т (а, Ь, с) = (щ, р. 1 — р: [0,1], [0,1]) — полиморфизм.

Теорема 1. Полиморфизм Т (а, Ь, с) эргодический при любых 0 < Ь < а < с < 1.

В главе 3 доказывается теорема о классификации типичных особенностей полиморфизмов, порождаемых задачей о разрушении адиабатического инварианта ([4]). Особенностями полиморфизма мы называем концевые точки графиков ветвей отображения, если общее число ветвей не может быть уменьшено путем переобозначения. Теорема звучит следующим образом.

Теорема 2. Типичным, и особенностям, и полиморфизмов, порождаемых задачей о разрушении адиабатического инварианта класса гладкости С2, являют, ся:

1. Точка, одна из координат, кот. орой лежит, на границе одного из отрезков из области определения адиабатического инварианта,.

2. Точка, из которой выходит три луча (рис. 3, а). Два, из них образуют, гладкую кривую, трансе ер сальную т, рет, ье. м, у. Биссектрисами образующихся углов являют, ся, вертикальная и горизонтальная прямые. Вероятности на заканчивающемся луче при подходе к особой точке стремится к нулю.

3. Группа, точек, образующих следующую структуру (рис. 3, б). В одной из т, очек выходящий луч, имеет, вертикальную касательную. Во второй — горизонтальную. (Таких точек может быть несколько, причем у всех точек с вертикальным лучом, равны, 'абсциссы, у точек с горизонтальным лучом равны ординаты). Третья точка группы им, еет, а, бсциссу, равную абсциссе первой точки, и ординату, равную ординате второй точки. Вероятность на луче, имеющем горизонтальную касательную, при подходе к особой точке стремится к нулю.

В добавлении доказана теорема о признаке существования дополнительной инвариантной меры в специальном классе полиморфизмов.

Пусть имеется фиксированный набор из п + 1 числа 0 = ао < а <. < ап 1 < ап = 1. Предположим, что задан полиморфизм Т = ((р]р- /) следующего вида: каждая функция определена на одном из интервалов [о,? 1, а7], ] = 1,2,., п, и отображает его взаимнооднозначно на некоторый интервал [а7−1, а^], % — 1, 2,.. п, а функции Рк°Ч>11{у) К^УЫ!-, У ^ К-ъо"], постоянны, к = 1,2,.. , К. Пусть Т — переходная матрица полиморфизма Т, соответствующая разбиению 0 = ао < а <.. < ап- < ап — 1 (см. добавление).

Теорема 3. Предположим, что цепь Маркова, с матрицей перехода Т не эргодична. Тогда и полиморфизм Т не эргодичен.

В приложении к диссертации приведен текст программы МАТЪАВ, строящей полиморфизм по данным задачи о разрушении адиабатического инварианта.

Заключение

.

В работе было исследовано поведение решений медленно возмущаемой одномерной интегрируемой гамильтоновой системы в окрестности сепаратрисы с точки зрения динамики адиабатического инварианта. Сохранение меры позволяет нам использовать теорию полиморфизмов.

В классе простейших полиморфизмов, состоящих из двух возрастающих отображений, естественно возникающих в задаче о разрушении адиабатического инварианта, доказаны утверждения, позволяющие построить полиморфизм по заданному распределению вероятности или одному из отображений.

Доказана эргодичность семейства кусочно-линейных полиморфизмов, состоящих из двух возрастающих отображений с одной точкой излома. Простая конструкция полиморфизма позволяет ожидать от систем такого типа в общем случае сильных хаотических свойств.

Построена классификация типичных особенностей полиморфизмов, порождаемых задачей о разрушении адиабатического инварианта. Возникает вопрос о свойствах, в том числе и эргодических, характерных для полиморфизмов, порождаемых задачей о разрушении адиабатического инварианта.