Слабопервичные алгебры конечного типа

Конечномерная алгебра, А над полем К называется алгеброй конечного типа, если она имеет конечное число попарно неизоморфных неразложимых представлений.

Изучению алгебр конечного типа посвящены многочисленные работы как в нашей стране, так и за рубежом (см., например, ?" 4, 5, 9, 13−15, 17−22, 25, 26J).

Важную роль в теории представлений, а также в структурной теории колец, алгебр и модулей играет понятие колчана, введенное Габриелем [22 J в связи с задачей описания алгебр конечного типа, квадрат радикала которых равен нулю. Оказалось (см. 3 стр.64−65), что всякую конечномерную алгебру / над алгебраически замкнутым полем К можно рассматривать с точностью до эквивалентности в смысле Мориты как факторалгебру алгебры путей KCQ) колчана 0= OIA) алгебры / по некоторому идеалу У.

Параллельно А. В. Ройтером, Л. А. Назаровой, Ю. А. Дроздом и их учениками [i, 2, 7, 8, 10, 28 J была развита теория матричных задач. Л. А. Назаровой и А. В. Ройтером [ю] было введено понятие представления частично упорядоченного множества. Используя результаты работы fioJ, а также критерий конечности типа f7] частично упорядоченных множеств, С. А. Кругляк [э] независимо описал алгебры конечного типа, квадрат радикала которых равен нулю.

А.Г, Завадский, А. С. Шкараба [^и независимо Лупиас получили все коммутативные колчаны конечного типа (т.е. фактически все подалгебры конечного типа, лежащие в алгебре матриц М^ (К), с базисом из матричных единиц.

Оказалось, что задача описания представлений алгебры сводится к задаче приведения некоторого набора матриц определенными допустимыми преобразованиями. В работах [ъ, 28^ формализован широкий класс матричных задач, включающий в себя задачи, соответствующие представлениям алгебр, на языке представлений дифференциально градуированных категорий.

В последние годы существенное развитие теории представлений алгебр произошло благодаря разработке Габриелем и Евдман ?23, 27J методов теории накрытий колчанов Ауслендера-Райтен. Используя эту технику, в [20] был получен список всех приведенных алгебр конечного типа над алгебраически замкнутым полем, колчаны которых состоят из двух точек.

Важное значение при описании приведенных алгебр конечного типа над алгебраически замкнутым полем играют также результаты работ [15, 17 J. Во всех имеющихся примерах алгебр конечного типа соотношения между базисными элементами можно было выбрать естественным образом35^. Этот факт был установлен в [*15, 17″ ] в случае алгебраически замкнутого поля. Из [^15,17^ также следует, что если характеристика поля в этом случае не равна двум, то всякая алгебра конечного типа стандартна.

Бонгартц [18 указал алгоритм, позволяющий по заданной стандартной алгебре над алгебраически замкнутым полем, определить к/ Более точно, это соотношения типа X = О, X — Ц, где X, 4, пути колчана алгебры. * <> ее тип. Этот алгоритм по существу состоит в построении по колчану с соотношениями стандартной алгебры нового колчана и проверке ряда его свойств, которая усложняется с возрастанием размерности алгебры.

Все имеющиеся алгоритмы позволяют по уже заданной алгебре установить ее тип, однако не описывают структуру алгебр конечного типа. Поэтому определенный интерес представляет изучение строения алгебр конечного типа в некоторых классах. Такие задачи решались в [4, 5, 13, 20,. 2б] .

Алгебра Л называется слабопервичной, если для любых ненулевых идемпотентов? , у этой алгебры вЛ/ Ф О (см. [5 ]).

Основным результатом диссертации является конструктивное описание конечномерных слабопервичных приведенных алгебр конечного типа над алгебраически замкнутым полем с точностью до конечного числа, которые определяются списком 1-ХХП.

Итак, пусть К — алгебраически замкнутое поле, Л — конечномерная приведенная алгебра над полем К, О г колчан алгебры, А, й, — ее радикал, К1фалгебра путей колчана С) над полем К, Л-/А?/- число точек колчана 0 , — элемент в К (в), соответствующий стрелке Х^- колчана С), идущей из точки I в точку^, У — идеал алгебры К1С () •.

Для нас существенную роль играет следующий список алгебр вида (пт>3 — г, Р * 0,1 & К- ?^0).

Т. (?1: 1 п, 7, Я,), п-г.

• • ' ' Г п-иг п. п-4*.

Git^il , — ¦ ¦ > (fnn-l ^SS-H^StiS ~ OU-f «' «j (leSiK-tj;

W = QI, ?≠{ г, t.. Oi. tt o? s, t ,.

I ¦¦¦ > Ь’п.-т iikn-1 > Р/я, j 9 (Кьп-f '.

•. Ъен °s"g — Oft-, 0? ta }.

С I? Ssn-i) — — /л — Лу/ к-r ^ п.

III. о IJl: ¦ ¦ ¦ ?¦.— t t k~t /с '—'.

•"%, пъ к+<), ff<�".

O'/cu-t Ок-tK >^KKH • ' • «GiucOic-H } - р2Р= > W ={Wh .к,*},., Ъкч ,<rt.<гак,.

7 QV = 0Ш, , = / ;

Pu ra, u*/if * s •• -S.

On-ifrV/in-*, Озь^ьз > - • - > Os+tf rSSm1 —.

Cle S e n-1) ;

7x Q: .(n 7, *f), ' ' 1−1 if n-t л.

УH = I > ¦ - • > usf-f «» ••.

Vnn-i > J — 9 &n.n;

— <&-/ • • •³ <5, ^ • > ,.

Ob ^ I (S6n-i) ;

1. QX: .. I’L-^/1 (k7ft.

1 K-1 к ГI '.

0**1, Окк+t ЪькО*"", ,.

WvOii};

X/. i"/A/. —;

L7,*+0, = f % &' r r г О" г (У.

I f5 Уд? if f >UX-4XUKK-1>UKMVic, fK, ^ г. н • .* ' V ' * • с k 7, Я, /г 7, Ki-t;

1 Ц, A-f eC 9 m* {ьъ.ъъ.,^, ^ ^.

1К+1 ' ' '^кК ~~ хю. QML = QU, **З. эш = { °htit>*ir.

Х/р. qJJP — к-t к t Л"Х. П-г я.

1Къг, п-«**ъ,. Э xj? = {, ^^ rt*ffa Гмг*/ > ¦¦> K-m OU*-,, О^к*, bu**. rtKH <�гт1мг. , ^ ^? ^ .

• 1 (?+1 — S * к-*) •.

W. Qxv :

Kf к toi K+Z ^ n-1 M, ' -I сny, e+f), им = { ^ Oi im. cm — t.

Oi, ^^, ^ ^ ,.

X^L" ^ ^ I' xw/. QML.

Oi*, ^a/^/t ~ Д ¿-¡-ЬJb&f*'—, .

Гц^/a — • • • 0?-f Л., 0?"Л/ - — ЪъЦг.

AW//. — f ' л ^.

MS-J^ УХШ zz J.

• °3f ^ ^ > % «ЪЛМ*,*» Ъз.

XX.: —=>777T П7, 3) n-r I o-u «Sa, РпЪъ, <Пз ¦ ¦,. (Гп1<�у)ъ ^ ?ext. QM=.

VfZIl^l.

П-4 ъ, jС л 7/ xvi 0 M": jxj? = { ait^fv ®13 ' ' ' Obi J.

ГщО’н.ГмЪзЪ-Ъ-,* J.

К-1 Ok,.

— ю.

Перейдем к изложению содержания диссертации.

Диссертация состоит из трех глав и восьми параграфов.

Первая глава носит в основном вспомогательный характер. В § I указываются необходимые сведения о строении конечномерных алгебр. В частности дается определение колчана конечномерной алгебры. Указывается также теорема 1,1 ([ЗJ), характеризующая строение конечномерных алгебр над алгебраически замкнутым полем. Далее приведены теорема 1.2 ([э, 22]), описывающая алгебры конечного типа, квадрат радикала которых равен нулю и теорема 1.3 (?^20^/), описывающая алгебры конечного типа над алгебраически замкнутым полем, колчаны которых тлеют две точки. Приведен метод Ауслендера вычисления конечнопорожденных модулей над алгебрами [16]. Вводится отношение правого и левого порядков на множестве всех путей колчана алгебры и приведены основные результаты работ /" 15, 17⁷ (теорема 1.4, 1.6, следствия 1.5, 1.7). В § 2 даются необходимые сведения о представлениях частично упорядоченных множеств и приведены критерии конечности типа (теоремы 2.1, 2.2 [7]),.

Глава П посвящена описанию конечномерных слабопервичных алгебр, А конечного типа над алгебраически замкнутым полем К при условии, что /г =¦ У/ 9. В § 3 вводится определение допустимого колчана. Колчан С) называется до пустит, сил, если существует слабопервичная алгебра, А конечного типа над полем К такая, что ^ ф. Доказывается следующее.

Утверждение 3.5. Если допустимый колчан С) содержит петли (петля — это стрелка, начало и конец которой совпадают) и /$>/ 7/^, то $ не может иметь вид отличный от С) I — С/ У1.

В § 4, 5 описываются соотношения в колчанах О (Л) вида $ I — (?1 ХХП при условии, что / - слабопервичная алгебра конечного типа и П7/$ .

В § 6 доказываются.

Утверждение 6.1. Если допустимый колчан не содержит петельи /г г / Ро / ^ 9 «то 0 не может иметь вид отличный от колчанов О УЕГ — ХХП и им антиизоморфных (антиизоморфными называются колчаны, получающиеся друг из друга с помощью переворота всех стрелок).

Теорема I. Пусть, А — конечномерная приведенная слабопервичная алгебра конечного типа над алгебраически замкнутым полем К и г = / ()о / 7/9. Тогда Л изоморфна или антиизоморфна факторалгеб-ре одной из алгебр 1-ХХП.

Глава Ш посвящена доказательству основной теоремы.

Основная теорема. За исключением конечного числа все конечномерные приведенные слабопервичные алгебры конечного типа над алгебраически замкнутым полем К изоморфны или антиизоморфны факторалгеб-рам алгебр 1-ХХП. Алгебры 1-ХХП являются конечномерными приведенными слабопервичными алгебрами конечного типа.

В § 7 приводится определение глубокого радикала Радикал Я алгебры Л называется глубоким, если Я^*1*1 ф О.

Доказывается следующая.

Теорема 2. Конечномерная приведенная слабопервичная алгебра, А конечного типа с глубоким радикалом Я над алгебраически замкнутым полем К изоморфна факторалгебре одной из алгебр I, Ш, У, УЛ.

В § 8 устанавливается.

Теорема 3. Алгебры 1-ХХП являются алгебрами конечного типа.

Основная теорема немедленно следует из теорем 1−3 и теоремы.

1.6.

— 12.

Результаты диссертации докладывались на 17 Всесоюзном симпозиуме по теории колец, алгебр и модулей (г.'Кшпинев, 1980) на ХУЛ Всесоюзной алгебраической конференции (г.Минск, 1983 г.), на расширенном семинаре кафедры алгебры и математической логики Киевского госуниверситета, посвященного 150-летию КГУ и 25-летига кафедры и полностью опубликованы в работах /*5, 6, П-137.

Ш I.

ПРЕДВШТЕЯБНЫЕ СВБЩЕНИЯ.

В этой главе приводятся основные сведения о представлениях конечномерных алгебр и частично упорядоченных множеств.

Нами будут существенно использоваться факты и теоремы, изложенные в? 3,^, 1.

1. Дрозд Ю. А. Матричные задачи и категории матриц. — Зап.науч. семинаров ЛОМИ АН СССР, 1972, 28, с.144−153.

2. Дрозд Ю. А. Ручные и дикие матричные задачи. В кн." Представления и квадратичные формы", К.- Ин-т математики АН УССР, 1979 г., с.39−74.

3. Дрозд Ю. А., Кириченко В. В. Конечномерные алгебры. Киев, «Вища школа», 1980. — 190 с.

4. Завадский А. Г., Щкараба A.C. Коммутативные колчаны и матричные алгебры конечного типа: Препринт 76.63 К: Ин-т математики АН УССР, 1976. — 52 с.

5. Кириченко В. В., Никулин A.B. Слабопервичные алгебры конечного типа с глубоким радикалом, Препринт 82.51. КИн-т математики АН УССР, 1982. — 26 с.

6. Кириченко В. В., Никулин A.B. Об алгебрах конечного типа с• глубоким радикалом. Труды Всесоюзного симпозиума по теории колец, алгебр и модулей, Кишинев, 1980, с. 49.

7. Клейнер М. М. Частично упорядоченные множества конечного типа. Зап.науч.семинаров ЛОШ АН УСССР, 1972, 28, с.32−41.

8. Клейнер М. М., Ройтер A.B. Представления дифференциально градуированных категорий. В кн.: Матричные задачи. К: Ин-т математики АН УССР, 1977, с.5−70.

9. Кругляк С. А. Представления алгебр, квадрат радикала которых равен нулю. Зап.науч.семинаров ЛОШ АН СССР, 1972, 28, с. 60−68.

10. Назарова Л. А., Ройтер A.B. Представления частично упорядоченных множеств. Зап.науч.семинаров ЛОШ АН СССР, 1972, 28, с.5−31.

11. Никулин A.B., Панасюк С. А. Представления алгебр с двумя неразложимыми неизоморфными проективными модулями. ДАН УССР, серия А, 12, 1980, с.12−15.

12. Никулин A.B. Слабопервичные алгебры конечного типа. ХШ Всесоюзная алгебраическая конференция. Минск, 1983. Тезисысообщений, ч. П, с. 105.

13. Никулин A.B. Слабопервичные алгебры конечного типа. Рук. депон. в УкрНШНТИ, гё 1729, 17.10.1984 г. — 55 с.

14. Овсиенко С .А. Представление колчанов с соотношениями. В кн. «Матричные задачи», К.: Ин-т математики АН УССР, 1977, с.88 103.

15. G-frS'UeCp. The (?rUvets&C covet. oftypteSeniaiton —• finite SpUnfreh, ?eot. not. 902 (62 -/Of.24. (ratf^ceC P. flepti> Q eniation? notetempo /e enStrnS^ec otdones, — ?em,. ^itS^ttl /921//9?3,/3, p, idot.