О сингулярных решениях классических уравнений Янга-Миллса и модели мешков, построенной на их основе

В настоящее время имеются серьезные основания считать, что большинство явлений в физике сильных взаимодействий можно описать с помощью стандартной модели адронов [1]. Согласно этой модели адроны состоят из цветных кварков, взаимодействие между которыми обусловлено обменом векторными глюонами. Каждый кварк может находится в трех цветовых состояниях, образующих фундаментальное представление цветовой группы ¿->[7(3)ч6. Глюоны являются безмассовыми полями Янга — Миллса [2] и принадлежат к октетному представлению той же группы. Соответствующая теория получила название квантовой хромодинамики или КХД.

Анализ результатов экспериментов в области сильных взаимодействий и особенности спектра адронов указывает на три явления, наиболее существенных для природы сильных взаимодействий — асимптотическая свобода на малых расстояниях (0.1 фм), спонтанное нарушение киральной симметрии [3] и удержание, конфайнмент, кварков и глюонов в цветосинглетных связных состояниях на больших расстояниях (1 фм). Простейшими такими состояниями являются мезоны (дд) и барионы.

Пользуясь аппаратом теории возмущений КХД, строго обоснованным в области малых расстояний, где константа связи мала [4], удалось доказать перенормируемость [5, 6] и асимптотическую свободу КХД [7, 8].

Что же касается проблемы связных состояний и структуры спектра адронов, то здесь стандартные методы теории возмущения совершенно не пригодны. Действительно, в пределе нулевой константы связи свободная теория кварков и глюонов не имеет ничего общего с наблюдаемым спектром адронов. Поэтому, для описания низкоэнергетической физики адронов необходимо использовать методы и подходы, основанные на существенной нелинейности теории. Однако, с другой стороны, несомненно то, что конфайнмент может быть полностью обоснован только в рамках квантовой теории. Эти выводы подтверждает и наиболее кардинальный и непосредственный подход — решеточная КХД [9]. На этом пути достигнуты значительные результаты в понимании природы сильных взаимодействий в режиме сильной связи, но быстрый рост числа переменных с увеличением размера решетки создает трудности даже для мощной вычислительной техники.

Наконец, традиционными подходами при описании физики адронов остаются составные кварковые модели. Основные принципы данной модели были сформулированы еще в 1967 году в работе [10] (см. также обзоры [11, 12]). В современном варианте выделяются два вида составных кварковых моделей: нерелятивистская потенциальная квар-ковая модель и модель мешков. Основой нерелятивистской кварковой потенциальной модели является зависящий от подгоночных параметров потенциал, обеспечивающий невылетание кварков [13]. Основой же самой популярной, пожалуй, кварковой модели — модели мешков, является предположение о том, что квазинезависимые релятивистские состояния, кварки и глюоны, движутся в конечной, замкнутой области пространства — «мешке». Данный подход за последние четверть века приобрел широкое развитие [11, 12, 14, 15]. Однако самой известной и признанной является модель, предложенная группой MIT (Massachusets Institute of Technology) [16].

Кварки в модели MIT описываются свободным цветным дираков-ским полем, заключенном в сферическую область с бесконечными потенциальными стенками. Однако, в такой формулировке мы сталкиваемся с очевидной трудностью. Уравнение Дирака в сферическисимметричном случае не согласовано с нулевыми граничными условиями на поверхности сферы. Но тогда, как не трудно показать, поток энергии — импульса и киральный ток через поверхность мешка не будет равен нулю. Мешок энергетически не стабилен и стремится к состоянию с R = оо. Чтобы сделать мешок стабильным авторы данной модели делают предположение о полном разрушении вакуумных непертрубативных полей внутри мешка. При этом константа мешка Bmit характеризует изменение плотности энергии вакуума между областями внутри и вне мешка. Эта разность обеспечивает давление вакуумных полей на мешок, а условие равновесия давления изнутри и из вне мешка принято считать условием стабильности. Эти предположения позволят получить феноменологическую формулу на массу адронного состояния, зависящую от подгоночных параметров (¦Bmit^mit и дР-) — В рамках данной модели можно показать, что возможно существование только цветосинглетных состояний [17].

Авторы модели MIT указывали на то, что их модель может быть рассмотрена, как нулевое приближение в теории конфайнмента адро-нов [18], такое же, как Боровская теория для атома водорода. Однако, развитие этой модели указывает на значительные затруднения для этого. Во-первых, используя правила сумм КХД [20] было показано, что Bqcd ~ 0.55Гэв/фмг, в то время как Bmit ~ 0.0бГэв/фм3 Это значение получено из соображений соответствия статических характеристик адронов в модели MIT и эксперимента [19]. К тому же константа кварк-глюонного взаимодействия cnsMIT — 2.2, которое определяет расщепление масс в адронных мультиплетах — так же не согласуется с КХД-значением oisqCD{1 Гэв) = 0.7. Член, пропорциональный ам1т ~~ °ДИН из основных подгоночных членов в MITмодели. Он определяется одноглюонным обменом между кварками в первом порядке теории возмущения. asMIT получилось больше единицы, что н позволило использовать теорию возмущения для уточнения спектров адронов. Поэтому в ряде работ [21, 23] было сделано предположение, что на самом деле, вакуум КХД внутри мешка практически не разрушается, что снова делает актуальной проблему стабильности. В дальнейшем модель мешков развивалась в сторону учета взаимодействия кварковых полей с различными моделями непертрубативного вакуума КХД [21, 22, 23].

Однако одним из самых тонких моментов в MITмодели является нарушение киральной инвариантности исходной теории. Действительно, еще в оригинальных работах по MITмодели отмечалось, что при их выборе граничных условий киральный ток через границу мешка не равен нулю и это, конечно является явным противоречием в предлагаемой схеме. Но вскоре та же группа авторов предложила простой и весьма наглядный способ интерпретации такого явления, а именно то, что граница мешка является также границей между двумя фазовыми состояниями системы, то есть внутри мешка «живут» квазисвободные кварки и глюоны, а снаружи находится эффективное киральное мезонное поле, хорошо известное из ядерной физике, где подобными полями описывают 7г-мезоны. потоки киралььного тока внутрь и наружу на границе мешка компенсируют друг друга и таким образом противоречие снимается. Более того, картина адрона, окруженного таким 7г-мезонным облаком кажется вполне убедительной и с экперементальной точки зрения. Такие двухфазовые модели получили названия гибридных киральных моделей адронных мешков, подробности можно найти в обзоре [24]. В оригинальных работах [25] в качестве эффективного мезонного поля использовалась просто нелинейная сг-модель, однако дальнейшее развитие указало на то, что в качестве теории, описывающей внешнюю фазу должна использоваться какая-то из разновидностей модели Скирма [26] (по модели Скирма есть замечательные обзоры [27],[28]). Убежденность физиков в этом еще упрочнилось после того, как выяснилось, что для теории с калибровочной группой при N —У оо, когда теория сильно упрощается [29, 30, 31], низкоэнергетическим пределом является именно модель Скирма [32]. Дальнейшее развитие гибридных моделей адров-нных мешков привело к пониманию того, что возможно гораздо более приемлемым будет не двухфазовая, а трехфазовая модель, где последовательно сменяются фазы токовых кварков, затем конституэнтных кварков, а затем и эффективного мезонного поля [33].

Несмотря на то, что модель мешков была одной из первых попыток понять физику адронов в терминах кварков и было предложено много модификаций модели мешков [34, 35, 36, 12, 23], и то, что модель мешков дает вполне удовлетворительное описание масс, магнитных моментов и многих других параметров адронов [37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44], модель до сих пор не слишком популярна и причина этого вполне ясна. В отличие от стандартной модели, претендующей на описание адронной физики исходя из неких фундаментальных принципов, модель мешков основана на чисто феноменологическом предположении, что кварки заключены внутри некой сферы. Но абсолютно не ясно, как такое предположение может быть выведено из КХД, и, следовательно, модель мешков обычно рассматривается только как достаточно грубая феноменологическая модель, и ничего больше.

В предлагаемой работе мы как раз и попытаемся показать, что существует способ вывода некой мешковой модели из КХД.

Информацию о нелинейной квантовой теории можно получать не только из теории возмущения, квантования на решетке или из построения феноменологических теорий. Пожалуй, наиболее значимым в развитии непертрувотивной физики является метод квантования вблизи нетревеальных решений нелинейных классических уравнений поля [45]. Эти уравнения получаются путем замены операторнознач-ных уравнений Эйлера — Логранжа на с-числовые. Важность этого метода нельзя переоценить, так как он позволил получать и изучать эффекты, которые бы не проявились ни в каком порядке по теории возмущения. Ключом к этому методу является изучение таких нетривиальных решений, как монополи [46, 47], инстантоны [48] и т. п.

Одной из первых попыток объединить две ветви современной физики, непертрубативную квантовую теорию и феноменологию «мешковых» моделей предприняла группа авторов из SLAC в своей знаменитой работе, посвященной модели SLAC-мешка [49]. Однако сделанные ими предположения о виде фермионного детерминанта, за счет которого происходит обратная связь глюонного поля с полями кварков кажется сейчас несколько сильной, однако нельзя не отметить, что такой подход был яркой попыткой описать состояния адронов из первооснов и, фактически, открыл новую страницу в развитии моделей «мешков» .

Предлагаемый в данной работе подход является как раз продолжением такого подхода и является еще одой возможностью попытаться описать адронные состояния исходя из первооснов КХД. Цель данной работы — проверить на непротиваречивось идеи использовать в качестве потенциала, удерживающего кварки в ограниченном объеме сингулярные решения классических уравнений Янга-Миллса. Несмотря на то, что такие решения были известны достаточно давно [50, 51, 52], реально они не рассматривались в предложенном контексте. И только когда проявилась аналогия таких решений с чернодыровыми решениями ОТО [53, 54, 55], стал очевидный вопрос об использовании таких решений в качестве модели конфайнмента. В данной работе предлагается модель машков, построенная на основе такого сингулярных решений классических уравнений Янга — Миллса [56, 57, 58].

В первой главе в терминах функционального интеграла будет показано, что в теории нулевого порядка, мы имеем просто систему независимых дираковых полей во внешнем сингулярном классическом поле мешка. Масса адрона таким образом в этом порядке будет складываться из двух составляющих: массы «мешка» и масс находящихся в «мешке» кварков. При этом, вероятно, данная модель более подходит для теории нулевого приближения, чем модель MIT. Действительно, данная теория является прямым следствием стандартной модели адронов в фориолизме первого порядка.

Во второй главе, следуя работам [60, 59, 61, 53, 54, 55, 56, 57, 57, 58], будут рассмотрены сами сингулярные решения классических уравнений Янга-Миллса. Строится калибровочно-инвариантный формализм в котором теория Янга-Миллса принимает вид биметрической трехмерной гравитации, а исследуемые сингулярные решения в некотором смысле аналогичны известным чернодыровым Шварцшиль-довским решениям в ОТО. В этой главе также обсуждается проблема постановки начальной задачи для таких сингулярных решений. Этот вопрос кажется достаточно важным, так как такие решения, сингулярные на неких поверхностях вполне типичны для классической глюонодинамики (в некотором смысле такие решения динамически выделены, показано [52], что именно эти решения являются динамически устойчивыми к малым деформациям начальной задачи, о корректности постановки которой в частности пойдет речь в данной главе). Благодаря плодотворной связи теории Янга-Миллса и теории гравитации удалось построить и другие сингулярные решения: так в работе [62, 63] подобные решения были найдены в теории Янга-Миллса-Хиггса, а в работе [64] - аналог решения Керраболее того, хочется также отметить работы [65, 66], где были найдены подобные сингулярные решения на торе, а также работу [67] с сингулярными решениями на бесконечном цилиндре.

Как уже отмечалось выше, эффект конфайнмента не может быть описан на классическом уровне [50]. Это на прямую касается и нашей модель. Принципиально нелинейные решения классических уравнений Янга-Миллса порождают не классический объект — глюонный «мешок». Его «неклассичность» заключается в том, что его собственная энергия сингулярна, и должна быть регуляризована. Эта ситуация не кажется удивительной, если принять представление о решениях классических уравнений, получаемых путем прямой замены^{-числовых} уравнений на с-числовые, как о бозонном конденсате [68]. Такие сингулярности должны быть регуляризованны согласно общей схеме регуляризации солитонов [45], то есть и пертрубатив-ные и непертрубативные сингулярности должны быть устранены в рамках одной схемы одними и теми же регуляризационными членами. Именно такая схема и строится в третьей главе. Фактически, найденная регуляризационная схема есть модификация хорошо известной регуляризации с помощью высших ковариантных производных [69] и подчиняется всем требованиям, предъявляемым к таким схемам со стороны общей концепции квантования солитонов.

В четвертой главе рассматриваются кварки, движущиеся в поле «мешка». Решается задача на нахождение энергетического спектра кварков в таком сингулярном потенциале для двух возможных вложений группы 311(2) в группы 311(3). Решается вопрос о наложении дополнительных феноменологических граничных условий на кварки. Кроме этого рассматривается связь уравнения Дирака в таком потенциале с N = 2 суперсимметричной квантовой механикой. Наличие такой симметрии приводит к тому, что в случае одного из вложений появляется очень интересное решение с собственным значением? = 0. Такое решение вполне может оказаться серьезным претендентом на роль составляющей безмассового голдстоуновского бозона спонтанно нарушенной киральной симметрии.

Как уже отмечалось, целью данного исследования было доказательство непротиворечивости в первом приближении гипотезы об использовании сингулярных решений классических уравнений Янга-Миллса в качестве некоего эффективного глюонного «мешка» для кварков. Эта цель была фактически достигнута после доказательства перенормирумости сингулярной собственной энергии самого «мешка». Но исследование конечно было бы не полно, если не посмотреть, какие значения прибегает такая важная статическая характеристика как спектр масс адронных состояний. Среди всех статических характеристик именно спектр масс является наиболее важным с экспериментальной точки зрения и поэтому традиционно наиболее описываемой в мешковых моделях. Подобное исследование проведено в пятой главе предлагаемой работы.

В Заключении мы подведем итоги проведенных построений, еще раз заострим внимание на наиболее важных моментах, приведем основные результаты работы.

Заключение

.

В этой заключительной главе мы подведем итоги проведенных построений и сформулируем основные результаты, полученные в диссертации.

1. Было показано, что исходя из первооснов КХД, можно вывести некую модель мешков, основанную на сингулярных решениях классических уравнений Янга-Миллса.

2. Был исследован калибровочно-инвариантный подход к теории Янга-Миллса, в котором эта теория приобрела вид биметриче-ской трехмерной гравитации. Была выявлено принципиальное значение биметричности теории, а также выявлены концептуально общие вопросы с другими биметрическими гравитационными теориями и с рядом задач механики сплошной среды.

3. В рамках такого калибровочно-инвариантного подхода были исследованы сингулярные сферические-симметричные решенияаналоги чернодыровых решений в ОТО. Геометрический язык подхода позволил по новому поставить вопрос о граничных условиях для таких решений, что, в свою очередь, позволило расширить пространство возможных сингулярных решений в исследуемой задаче.

4. Была разработана и успешно применена процедура регуляризации и перенормировки сингулярной собственной энергии «мешка». Эта процедура находится в полном согласии с требованиями, предъявляемыми к процедурам квантования нетривиальных классических полевых решений и, по сути, является обобщением хорошо известной процедуры регуляризации с помощью высших ковариантных производных. Известная более двух десятков лет и вошедшая во многие классические монографии по квантовой теории поля, эта процедура, как ни странно, почти не использовалась при реальных вычислениях, несмотря на ее очевидные привлекательные качества, такие, как сохранение калибровочной и пуанкоре инвариантности. Регуляризационная процедура, представленная в данной работе, как раз является примером использования данного подхода к реальным вычислениям, причем к задачам, в которых, на сколько известно автору, такой подход никогда не применялся. К тому же на геометрическом языке такая регуляризация чрезвычайно элегантно описывается — используемая в работе регуляризирующая добавка к лагранжианы на этом языке просто хорошо известный из гравитации космологический член.

5. Хочется отдельно отметить, что основной целью работы было показать, что низкоэнергетическое адронное состояние может быть в первом приближении непротиворечиво и самосогласованно описано, как система «мешок+кварки», где «мешок» — конденсат бо-зонного глюонного поля и, в этом приближении, описываемого рассмотренной в данной работе сферическо-симметричной конфигурацией классических полей Янга-Миллса, а кварки — частицы Дирака, взаимодействующие с этим полем. Основным же препятствие в реализации этой модели была сингулярность собственной энергии «мешка». Сама по себе сингулярность собственной энергии «мешка» не удивительна, так как явление кон-файнмента кварка, которое описывает наша модель, является квантовым эффектом. Поэтому после разработки регуляризаци-онной процедуры, в результате которой вклад от энергии мешка в массовую формулу стал конечен и система «мешок+кварки» стала устойчивой и самосогласованной, основная цель была достигнута.

6. Кроме этого в работе решена задача о поведении частицы Дирака в сингулярном потенциале полей Янга-Миллса. При этом были рассмотрены оба варианта унитарно неэквивалентного вложения группы 5£У (2) в группу 517(3). Была выявлена связь такой задачи с задачей N = 2 суперсимметричной квантовой механики. Эта связь позволила существенно упростить численный анализ, а также, в случае одного из вложений, получить интересный точный результат, а именно, существование в модель состояния кварка с нулевой энергией, если при этом масса кварка равна нулю. Такой объект вполне может оказаться составной частью безмассового голдстоуновского бозона спонтанно нарушенной ки-ральной симметрии.

7. При решении задач на собственные функции и собственные значения кварков в сингулярном потенциале были разработаны и успешно применены численные методы решения систем дифференциальных уравнений. Был численно получен энергетический спектр кварков в сингулярном потенциале классических полей Янга-Миллса.

8. Используя выведенную массовую формулу, а также полученный численно спектр масс кварков, в рамках данной модели вычислены массы низко лежащих адронных состояний. Наши результаты соответствуют экспериментальным значениям с точностью 3−5 процента для всех адронных масс, исключая только массы легких псевдоскалярных мезонов. Было показано, что для моделей, в которой эффекты нарушения киральной симметрии и взаимодействие кварков между собой внутри мешка не берутся в расчет, это максимальная точность.

9. В рамках данной модели показано, что состояние О- (/ = 3/2, т = 1672) является истинным основным состоянием бариона, состоящего из трех странных кварков.

Эта работа посвящается светлой памяти большого ученого и замечательного человека Федора Александровича Лунева. Будучи научным руководителем автора, Федор Александрович был фактическим родоначальником обсуждаемого в работе подхода, многочисленные содержательные обсуждения с ним во многом сформировали представления автора на обсуждаемые в работе вопросы. Автор также искренне признателен профессору К. А. Свешникову за оказанное работе автора внимание и чрезвычайно полезные замечания, которые значительно расширили представления автора по вопросам феноменологии «мешков», квантования вблизи нетривиальных решений и целому ряду других принципиальных вопросов, без прояснения которых эта работа была бы не полна, а также за неоценимую помощь при написании этой работы и поддержку, оказанную автору в сложных ситуациях. Автор приносит искреннюю благодарность профессору О. А. Хрусталеву и профессору В. И. Денисову за обсуждения многочисленных вопросов гравитации, которые сильно поспособствовали пониманию геометрической структуры теории Янга-Миллса и глубоких аналогий между этой теорией и биметрической гравитацией. Автор также хочет искренне поблагодарить доцента П. К. Силаева за чрезвычайно полезные обсуждения возникавших вычислительных проблем, за терпение, проявленное к автору при этих обсуждениях.