Классификация простых мультиростков кривых в симплектических и контактных пространствах

Содержание

Понятие простого объекта, введенное В. И. Арнольдом, оказалось чрезвычайно плодотворным. Это понятие является обобщением понятия устойчивого объекта. Пусть на многообразии X действует группа Ли G. Модальностью точки х 6 X называется такое наименьшее число га, что достаточно малая окрестность точки х может быть покрыта конечным числом m-параметрических семейств орбит действия группы G. Точка х 6 X называется простой, если ее модальность равна нулю, т. е. достаточно малая окрестность этой точки пересекается только с конечным числом орбит, см. [7].

В. И. Арнольд в работе [1] классифицировал простые особенности ростков голоморфных функций с точностью до стабильной jR-эквивалентно сти (две функции называются^{-эквивалентными,} если одна превращается в другую при некоторой гладкой замене координат- два ростка функций называются стабильно^{-эквивалентными,} если они становятся R-эквивалентными после сложения с невырожденными квадратичными формами от подходящего числа дополнительных переменных, см. [7]). А именно, им была доказана следующая теорема.

Теорема 1 (В. И. Арнольд). Простые ростки голоморфных функций исчерпываются с точностью до стабильной эквивалентности следующим списком:

Ak: f (x)=xk+ к> 1- Dk: f (x, у) = х2у + ук71, к > 4-

Eq: f (x, у) = х3 + у4-

Е7: f (x, y) = х3 + ху3]

Е8: f (x, y) = x3 + y5.

Кроме того, В. И. Арнольд обнаружил, что эти особенности связаны с обозначаемыми теми же символами простыми алгебрами Ли или группами, порожденными отражениями, см. [2]. До этого результата особенности классифицировались по коразмерности. Однако классификация по модальности, предложенная В. И. Арнольдом, оказалась более плодотворной. В частности, списки объектов фиксированной (малой) коразмерности в некоторых случаях оказались связанными со списками объектов, возникающих в совершенно других задачах.

Классификации простых особенностей кривых посвящено значительное количество работ. Так, J. W. Bruce и Т. J. Gaffney классифицировали неприводимые плоские кривые в работе [9]. В [11] С. G. Gibson и С. A. Hobbs дали классификацию простых особенностей неприводимых кривых в трехмерном комплексном пространстве. Классификация (стабильно) простых особенностей неприводимых кривых в линейном комплексном пространстве произвольной размерности была выполнена В. И. Арнольдом в работе [3]. «f ^

Дадим теперь необходимые определения. Особенность неприводимой кривой в начале координат вС — это росток комплексно-аналитического отображения /: (С, 0) —У (С", 0). Пусть L (соответственно R) — группа координатных замен в (С^О) (соответственно в (С, 0)), т. е. группа ростков невырожденных аналитических отображений (С", 0) —У (С71, 0) (соответственно (С, 0) (С, 0)). Группа L (соответственно R) называется группой левых (соответственно правых) координатных замен. Группа L х R действует на пространстве ростков следующим образом:

9,h)-f = gofo h~ geL, h

Два ростка называются эквивалентными, если они лежат в одной орбите этого действия.

Особенность называется простой, если все достаточно близкие к ней особенности принадлежат конечному набору классов эквивалентности (под близостью здесь понимается близость в смысле топологии Уитни: базие этой топологии состоит из прообразов открытых множеств в пространстве m-струй для каждого т). Особенность называется стабильно простой, если она остается простой при вложении пространства, содержащего кривую, в любое пространство большей размерности. Кривые, которые становятся эквивалентными после таких вложений, называются стабильно эквивалентными, см. [3].

В. И. Арнольд в работе [3] классифицировал простые особенности неприводимых кривых в пространстве любого числа измерений с точностью до стабильной эквивалентности. В частности, он показал, что простыми являются почти все особенности, ряды Тейлора которых начинаются с членов степени два или три, или имеют вид х — ?4, Х2 = ?6, #>2 = 0 (mod t7), и еще особенности тридцати двух спорадических кривых.

Приведем

список В. И. Арнольда полностью.

1. Кривые с ненулевой 2-струей

A2fc = (t2,i2fc+1).

2. Кривые с нулевой 2-струей, но ненулевой 3-струей

Здесь к > 1, 0 < р < к, 0 < г < к — 1.

E6kpi = {ttu+1 + t5k+2+3i, t3k+2+5P)

3. Кривые с 6-струей (? W .)

Здесь параметр к является целым числом. о>к = (¿4,г6 + *2*+1), к> 3 tt6 + t2k+3,t2k+u), к> 2

Cjfe ¦= (*4,t6 + i2*+5,i2fe+9), fc>l

4 = + ?24+9^+11^ k > О ek = (i4,i6,i2fc+9,i2fc+n), fc>-l

Л = (i4,i6,^+5,i2fe+7), fc>l fc — (?W2*+7), fc>0.

4. Спорадические кривые 4.1 Кривые кратности 4

I.(t4, t5, i6, ?7) 2.(*4, i5, i6) 3.(i4, i5, t7) 4.(*4, i5 + i7, i11) t tu) 6.(i4, i5 + i7)

8.(*4, ?7, i9, ?10) 9.(*4, *7, ?9 + ?10) 10. (?4, t t9)

II.(i4,t7 + i9, i10,i13) 12 .(tt7,tl0,tu) 13.(i4,i7 + t9, i10) 14. (i4, *7, i10) 15.(t4, *7 + i9, i13) 16. (t t t13) lT.(i4, i7 + i9, t17) 18. (i4, *7 + i13, i17) 19.(i4, i7, t17)

20.(t4, i7 + i9) 21.(i4, t7 + t13) 22.(i4,*7) 23 .(t4,t9,t10,tu) Ш

4.2 Кривые кратности 5 l.(i5,tWV9) 2.{ttt7,t*)

3 .(t5,t6,t7,t9) 4 .(?5,i7,t8,i9) 5.(i5,i7,*8,*9,tn) 6.(tt6,tt9)

4.3 Кривые кратности 6 i.^V7,*8,*9,*10,*11) 2 .(t6,t7,t8,i9,t10) 3.(i6,i7,i8,t9,in)

C. G. Gibson и С. A. Hobbs в своей работе [11] получили кривые этого списка, которые могут содержаться в трехмерном пространстве. Авторы пришли к этой задаче, изучая движение твердого тела в трехмерном пространстве. При движении тела каждая его точка движется по какой-то кривой. У авторов возник вопрос, какие особенности могут иметь такие кривые в случае общего положения.

При рассмотрении ростков приводимых кривых естественным образом щ возникает понятие мультиростка.

Определение 1. Мулътиросток в (С&trade-, 0) — это набор .Р = (Л,.,/*-) ростков аналитических отображений: (С, 0) —> (С^О), где lm. fi П lшfj = {0} для г ф у (Д,., /}. называются компонентами мулъти-ростка).

На пространстве мультиростков действует группа Ь х х. х Щщ: где — экземпляр с номером г группы правых координатных замен, по формуле д, /1Ь ., Нк) (/ъ, /*) = (9°/1° ¿Г1* ¦¦.Р0Л° 1).

Определение 2. Два мулътиростка Р и Р' в (С^О) называются Я, Ь-эквивалентными, если они лежат в одной орбите определенного выше действия.

Определение 3. Мулътиросток Р = (/х,.,/*-) называется простым, если существует окрестность в пространстве мультиростков, содержащая Р п пересекающая только конечное число орбит. Мулътиросток называется стабильно простым, если он остается простым после вложения (О1,0) <ч> (С*, 0).

Стабильно простые особенности мультиростков в комплексном пространстве произвольной размерности были классифицированы автором совместно с Р. Р. Садыковым в [12], [13].

Рассмотрим обобщение понятия Неэквивалентности мультиростков.

Пусть С С Ь — некоторая подгруппа группы Ь левых координатных замен. Тогда положим = (7 х х. х, где — экземпляр с номером г группы правых координатных замен. Группа .КС? (право-левых координатных замен) действует на пространстве мультиростков по формуле

Л"1).

Определение 4. Два мулътиростка Р и Р' в (Сп, 0) называются КС-эквивалентными, если они лежат в одной орбите действия группы 1Ю.

Определение 5. Мулътиросток Р = (Д,., /&) называется КС-простым, если существует окрестность в пространстве мультиростков, содержащая Р и пересекающая только конечное число КС-орбит.

Теперь предположим, что в комплексном пространстве задана какая-то дополнительная структура, например симплектическая или контактная. В качестве группы С мы можем рассмотреть подгруппу группы Ь, состоящую из локальных диффеоморфизмов, сохраняющих эту структуру.

Допустим, что наше пространство имеет четную размерность 2п и снабжено симплектической структурой, т. е. в нем задана замкнутая невырожденная 2-форма ш. По известной теореме Дарбу существуют такие координаты (#1,., <7п-Ръ ¦ -Рп) (они называются симплектическими), в КО

71 торых локально форма ш = ]Г) ¿р1 Л В качестве группы (7 мы теперь рассматриваем группу локальных симплектоморфизмов нашего пространства, т. е. локальных диффеоморфизмов, сохраняющих симплектическую форму ш. В этой ситуации мы будем называть ^^-эквивалентность симплектической эквивалентностью.

Мультиросток называется симплектически стабильно простым, если он остается простым после вложения г: (С2п, 0) (С2ДГ, 0), причем если — росток симплектической формы в (С2п, 0), а — росток симплектической формы в (С2ЛГ, 0), то г*а>2 = шх. Мультиростки, которые после таких вложений становятся симплектически эквивалентными, называются симплектически стабильно эквивалентными.

Пусть в этом пространстве задан росток кривой, эквивалентный (г2, ¿2т+1) (особенность

А2т) в смысле обычной ЛЬ-эквивалентности (т.е. если рассматривать все локальные диффеоморфизмы). Возникает естественный вопрос: на какие орбиты действия группы симплектических замен распадется ИЬ-орбита этого ростка? Ответ на этот вопрос был дан В. И. Арнольдом в работе [5]. Вот как он выглядит. Здесь и далее координаты (^1,., , Рп) считаются симплектическими, если не оговорено противное.

Теорема 2. Пусть есть росток кривой, который ИЬ-эквивалентен (?2, ¿2т+1). Тогда он симплектически эквивалентен одному и только одному ростку из следующего списка.

А2т, о: (<71 = ,Р1 = ?2т+1,Р>1 = q>l = 0)

А2т, г: Ы = ?2,42 = 12т+Р1 = ?т+2г+1,Р>1 = д>2 = 0), 0 < г < 2т

Замечание. При г = 2 т моном ?2т+2г+1 в координате р можно заменить нулем.

Из этой теоремы, в частности, вытекает, что мультиросток, ИЬ-эквивалентный (¿2,£2тп+1), остается симплектически простым.

Мы классифицируем остальные симплектически простые ростки неприводимых кривых, а также все симплектически простые ростки приводимых кривых (мультиростки). Основным результатом является следующая

Теорема 3. Вслкий симплектически стабильно простой мультиросток с точностью до перестановки компонент симплектически стабильно эквивалентен одному и только одному мулътиростку из следующего списка.

1. Ростки неприводимых кривых

Здесь мы не указываем

список В. И. Арнольда, приведенный выше.

1.(г3, г5- г4, о) 2.03- г4) з.03, г4- г5, о)

4.(г3, г4- о, /) 5.03, г4, ?7, о, о) 6.03, ?4, г5- г8, о, о) 7.(г3, г4, г5- о, о, о) 8.03, г7- г5, а) 9.03- г5)

2. Мультиростки, состоящие двух компонент

2.1 Обе компоненты неособые. Здесь, а > 1 и Ъ — натуральные числа.

1.(0-О),(О-*)) 2.(0,0- 0,0), (0,*- 0,0))

3.(0-О), 0-*а)) 4.(0,О-О, О), 0, Г-О, О)

5.(0, 0- 0,0), 0, Г- 0)) а < Ъ < За — 1

2.2 Одна из компонент особая. Здесь т и к — натуральные числа.

I.(02,*2т+^2т+О),(О, О-*, О))

2 .((V2, ¿2т+1- *2А:+1, 0), (0,0- 0)), т<�к< 3 т 3-(02, £2т+1- 0,0), (0,0- 0))

5-(02,0- ?3, ?3), (0, 0,0))

6.(02,О-*3,О),(О,*-О, О))

7.(02,*3-*5,О),(О, О-О, О)

8.(02,*3-О, О),(О, О-О, г))

9.(02,*3,О-*5,0,0), (0,0,*- 0,0,0))

10.(02,*3,О- 0,0,0), (0,0,*- 0,0,0))

II.(02,*4-г3,О), 0, О-О, О)) 12.(02-*3), 0-О))

3. Мультиростки, состоящие из трех компонент

Здесь, а > 1 и Ь — натуральные числа.

1.(0,0- 0,0), (0,0- 4, 0),(М-*, 0))

2.((*, 0−0,0),(0,0-г, 0),(М-0,0))

3.(0,0−0,0),(0,0-*, 0),(0,*- 0,0))

4.(0,0, 0- 0,0, 0), (0, 0- 0, 0, 0), (0,0, ?- 0,0, 0))

5.((*-0),(0- *),(*-*))

6.(0-О),(О-*), 0-Г))

7.(0,0- 0, 0),(0,0-г, 0),(Ма-*а, 0))

8.(0,0-О, О),(О, О-г, О), 0,*а- 0,0))

9.(0,0- 0,0), (0,0- 0), 0, ¿а- 0)), а < Ь < За — 1

Доказательство этой теоремы изложено в главе I.

Теперь предположим, что наше пространство имеет нечетную размерность 2n + 1 и в нем задана контактная структура, т. е. распределение гиперплоскостей в касательном расслоении, удовлетворяющее условию «максимальной неинтегрируемости». Пусть теперь G = С ont — подгруппа группы L, состоящая из ростков контактных диффеоморфизмов, т. е. диффеоморфизмов, сохраняющих контактную структуру. В этом случае мы будем называть .RG-эквивалентность контактной эквивалентностью. По теореме Дарбу о контактных структурах в пространстве (C2n+1, 0) существует система координат (z, qi,., qn, Pi, , Рп), в которых 1-форма, задающая контактную структуру, имеет вид dz + Pjdqj.

Пусть в этом пространстве дан росток кривой, ДЬ-эквивалентный особенности А2 (полукубическая парабола). В. И. Арнольд в работе [4] описал эту особенность в контактном пространстве в тех случаях, когда она является простой. А именно, в упомянутой работе была доказана следующая теорема.

Теорема 4. С точностью до контактной эквивалентности существует ровно пять простых особенностей в контактном пространстве C2n+1, RL-эквивалентных ростку полукубической параболы (t2, i3, 0,., 0): a0: {z = t2, qi = tz, q>l=p = $), bl: {z = t3, qi = t2, q>1 = p = 0), с2: (z = t4, qi = t2, pi = i3, q>i = p>i = 0), e3: (z = t4, qi = i2, q2 = *3,.Pl = t5, q>2 = p>i = 0),

4: (Z = t4, qi = t2, q2 = t3, q>2=p = 0).

Однако, как мы покажем в дальнейшем, две последние нормальные формы (е3 и /4) контактно эквивалентны, поэтому одну из них, например е3, можно из приведенного списка исключить.

Также в работе [4] был указан росток непростой (с контактной точки зрения) кривой, iî-L-эквивалентный А2, к которому примыкают все остальные особенности, -RL-эквивалентные А2: z = at5, qi = t2, pi = t3, q>2 = p>2 = 0). (1)

Мы классифицируем остальные стабильно простые особенности муль-тиростков в контактном пространстве относительно формальной стабильной эквивалентности (т.е. в качестве координатных замен мы рассматриваем преобразования, которые задаются формальными степенными рядами). Разумеется, при определении (контактной) стабильной эквивалентности и простоты надо потребовать, чтобы вложение i: (С2п+1,0) <�— т

С2ЛГ+1,0) было согласовано с контактными структурами на этих пространствах.

Предположим, что в пространстве С2п+1 задана система координат (рх,., рп, дх,., г) в которых форма, задающая контактную струкп туру, имеет стандартный вид + Точку с такими координа1 тами мы будем обозначать (^|дх>? ЯпРъ , Рп) Если координаты р{ и qi равны нулю для всех г > ¿о, то иногда при записи эти координаты мы будем опускать. Основным результатом является следующая теорема.

Теорема 5. Всякий (контактно) стабильно простой мулътиросток с точностью до перестановки компонент стабильно формально эквивалентен одному и только одному мультиростку из следующего списка.

1 Особенности неприводимых кривых

1.1 Регулярные кривые

1.(г|0−0) 2.(*т|*-0), т > 1

1.2 Кривые кратности 2

Здесь мы не приводим

список, принадлежащий В. И. Арнольду.

1.(г3|*2- 0) 2.(£2|£2т+1- 0) 3.(*4 + ¿2т+1|¿2- 0) 4.(*4| 12−12т+1) 5.(?4|?2, ¿2т+1- 0,0)

1.3 Кривые кратности 3

1.(*3|*4- 2.(*3|*4, 0,0) 3.(^|*4 + 0)

4.(?3|?4- 0) 5.(*3|*5- ?7) 6.(*3|*5, *7- 0,0) *7- 0) 8.(*3|*5- 0) 9.(г3|*7- ?8)

10.(?3|?7, ?8- 0) 11.(*3|*7,г8−0,0) 12.(г4|*3- *5)

13.(*4|г3, ?5- 0,0) 14. fi4 + ?6|?3- 0) 15.(*4|г3- 0)

2 Особенности приводимых кривых

2.1 Мультростки, состоящие из неособых компонент

2.1.1 Мультиростки, состоящие из двух неособых компонент

Первая компонента имеет вид (?|0−0). Мы указываем только вторую компоненту

1.(*0) 2.(Г|£- 0), т > 1 З.(фт] 0)

2.1.2 Мультиростки, состоящие из трех неособых компонент

Первые две компоненты имеют вид ((?|0, 0- 0, 0), (?|0- 0,0)). Мы указываем только третью компоненту.

1.(*|0-*) 2.(*|0,*-0,0) З.(гт|0-?), т >1 4.(*т|0,0,0), т > 1

2.2 Мультиростки, содержащие одну неособую и одну особую компоненту

Здесь неособая компонента имеет вид (?|0, 0- 0, 0). Мы указываем только особую компоненту.

1.(£2|£2-¿2т+1) 2.(*2|*2,*2т+1−0,0) 3.(*2|*2 + ¿2т+1- 0)

4.(г3|г2-*3) 5.(*3|г2,г3−0,0) 6.(*3|*2-И3- 0)

7.(*3|г2- 0) 8.(г2|*3- ?4) 9.(*2|*3, *4- 0,0)

10.(*2|*3 + ?4- 0) 11.(?2|?3- 0) 12.(^4, 0- ?5,0)

13.(*2|г4, 0) 14.0, 0)

Доказательство этой теоремы содержится в главе II.

Доказательства теорем 3 и 5 проводятся с помощью гомотопического метода, который был предложен Р. Томом, см. [7]. Опишем основные идеи этого метода. Пусть нам даны отображения / и /: М —> N гладких многообразий М и N. Мы хотим построить такие диффеоморфизмы Н и К, чтобы следующая диаграмма была коммутативной:

М N н к

М -Ц N

Чтобы это сделать, мы соединяем отображения / и / кривой так что /о = / и /х — f. Искомая коммутативная диаграмма распадается в произведение диаграмм соответственно разбиению коммутативного квадрата на прямоугольники с малой высотой А. Каждому такому прямоугольнику отвечает диаграмма

М -А" N яд кА

М ^ N

Если нам удастся для всех? от 0 до 1 построить Яд и в первом приближении по, А (с погрешностью порядка о (Д)), то, «интегрируя полученные инфинитезимальные коммутативные диаграммы», мы получим искомую диаграмму.

Проиллюстрируем гомотопический метод с помощью следующей леммы, # которой мы будем пользоваться в дальнейшем.

Лемма 1. Пусть на гладком многообразии М гладко действует группа Ли С. Пусть также на М задана гладкая кривая х: [0,1] -" М. Предположим, что в алгебре Ли ТеС группы С? выбрано такое однопараметри-ческое семейство векторов ^? ТеС, гладко зависящее от параметра что

-х ({) = -х ({) для всех? 6 [0,1]. Тогда найдется такой элемент д 6 <7, что д ж (1) = *(0).

Доказательство. Достаточно показать, что для каждой точки to? [0,1] найдется такое положительное число е > О, что при всех ¿о —? < t

Итак, зафиксируем произвольную точку ¿о отрезка [0,1]. Рассмотрим для каждого Ь? [0,1] левоинвариантное векторное поле vt (¦) на группе (7: уг{д) = (1Ьдуи где Ьд — левый сдвиг на элемент д. Рассмотрим на группе С? систему уравнений $ =

I 910 = е

По теореме существования и единственности решения задачи Коши на гладком многообразии найдется такое число? > 0, что в^{-окрестности} точки ¿о существует решение д1 рассматриваемой системы. Проверим, что имеет место равенство дг х^) = х{Ц). Действительно, во-первых 9го я (¿о) = поскольку д^ = е. Во-вторых,

9%--^-= 9t = (<ЛЫ) ¦ Ф) + ® М = -¿И + ?(0 = о

Отсюда вытекает, что д% = ж (¿о) и поэтому все точки х (1-) при —? < ¿о +? лежат в одной орбите действия группы С. ?

Это рассуждение, в целом, аналогично доказательству известной леммы Мазера в [14].

Также в доказательствах теорем 3 и 5 использовались методы сим-плектической и контактной геометрии (в частности, теоремы Дарбу-Гивенталя), которые будут изложены в соответствующих главах. Результаты диссертации опубликованы в работах [15], [16].