Алгебры Кричевера-Новикова, их представления и приложения в геометрии и математической физике

0.1 Алгебры Кричевера-Новикова и их место в теории алгебр Ли, геометрии и топологии пространств модулей, теории интегрируемых систем и конформной квантовой теории поля.

Алгебры Кричевера-Новикова введены шпорами, имена коюрых они нося г, в 1987 юду, в связи с исследованиями в юории солит онов [2G, 27, 28]. Следует сразу уючнигь, чю под чтим названием и шестно два класса алюбр Ли: алгебры аффинного типа и ал1ебры типа Вираео-ро. Первые являкмея алюбрами токов, а вюрые — алгебрами векторных полей (точнее, в обоих случаях, их центральными расширениями) на римановой поверхносш с комплексной структурой и некоторыми дополни 1ельными данными. Эю хорошо и шестые в теории солит о-нов данные, включающие в себя отмеченные точки на римановой по-верхност и выбор (струй) локальных координат в окрестности этих точек. По н рос юте эти алгебры сюят вслед за аффинными алгебрами Каца-Муди и алiоброй Вирасоро соотвекмвенно. Среди других алгебр токов и векторных полой алгебры Кричевера-Новикова выде-ляюк'я важным свойством — почти градуированной структурой, которое слабее градуировки, но сильное фильтрации, и ведет к многим важным последствиям, в частости, позволяет рассматривать аналоги представлений старшего веса. Применительно к центральным расширениям почти градуированноеп> эквивалентна свойству локальности соопзек-твующих коциклов, которое в важнейших случаях определяет последние однозначно. Аффинные (не скрученные) алгебры Каца-Муди и алгебра Вирасоро содержатся в соопимспзующих классах алгебр Кричевера-Новикова, и с этой точки зрения соответствуют римановой сфере с двумя отмеченными точками.

Алюбры Кричевера-Новикова имеют многочисленные связи с фуи-дамешальными проблемами юомотрии, анали м и маюмашческой физики.

Будучи введены как алюбры рядов Фурье-Лорана на римановой поверхности, они являю юя частью гармонического анализа.

Теория предеlaHJieiniii алгебр Кричевера-Новикова тесно связана с 'Iсорной голоморфных расслоений на римановых новсрхносмях. В частности, голоморфные расслоения играют основную роль в парамефи-зации иродетвлоний основного изисчм 1101ч" в насюящее время (введенного авюром в [56]) класса фермиоппы г пред (тавл (пий.

Конарукция фермионных предотвлений домонсмрируог и другую важную связь с шпегрируомыми сисюмами: в конструкции существенно иепользуююя обьскты 'юории комму ттивных колен, разностных операторов, нос (роенной в [31, 32, 33].

Имсеюя фундамешальная связь, основанная на 'юории Кодаиры-Сиснссра, между алгебрами векчорных полей Кричсвсра-Новикова и пространствами модулой римановых поверхносюй с отмеченными точками. Эту связь можно сформулировать следующим образом [50]: касательное просграпепк) к пространству модулой римановых поверхносюй с произвольным числом отмеченных точек и произвольными порядками фиксированных струй локальных координат в них изоморфно прямой сумме некоюрых однородных подпросгранегв алюбры векторных полой Кричевера-Новикова. Эют факт находится в одном ряду с классическим описанием касательного пространства к пространству модулей замкну шх римановых поверхностей в терминах тензоров на римановой поверхности (дифференциалов Белы рами, квадратичных дифференциалов), восходящим к Тейхмюллеру, Альфорсу, Борсу. Ситуация с одной 01 моченной точкой впервые paccwoipona Концевпчем [22| с привлечением алгебры Вирасоро. Двухточечная сшуация раосмафивалась в [26, 14] уже средствами алгебр Кричевера-Новикова. Продвижение, свя занное с этими алп’брами, основано на гюм, чю оказываемся возможным указать базис касательного простражчва к пространству модулей в терминах базисов Кричевера-Новикова.

Свя зь между алгебрами Кричевера-Новикова и пространствами модулей римановых поверхностей лежит в основе приложений этих ал-ie6p в двумерной конформной кванювой теории поля (2D CFT) [49, 50]. Понимание двумерной конформной теории ноля как проективно плоской связности на проетраппве модулей римановых поверхностей, заданной тензором энергии-импульса, восходит к рабсме А. Полякова [35] и шчегливо сформулировано в рабсме Фридапа и Шенкера [10].

Среди двумершлх конформных теорий поля теории Века-Зцмипо-Новикова-Виттепа (WZNW) выдел я ioi си наличием дополнительных первичных нолей — токов, образующих преде твл ей ие аффинной алгебры Ли, и условием, что тензор энергии-импульса связан с ними конструкцией Сугавары. В теориях эюю класса существенную роль играют а-иериоды тока, которые физики называют нулевыми модами. Как подчеркивает в [2] один из основателей теории Д. Бериар, «нулевые моды несут в себе почти всю нетривиальную информацию, касающуюся модели WZW». Точнее, это означает, чю через нулевые моды операторов тока выражаюiси основные корреляционные функции, например, среднее тензора энергии-импульса. В связи со сказанным возникает важная проблема явного определения действия нулевых мод. Для решения этой проблемы Д. Бернар [2, 3] ввел дополнительные параметры — наборы групповых элемешов («твисты» в физической терминологии), и определил нулевые моды как инфинитезимальные сдвиги по ним, что является дополнительным соглашением, не предусмотренным основами теории. Первый математически строгий подход к построению двумерных конформных теорий поля [GG| вообще игнорировал эгу проблему.

Испсш/ювание аффинных алгебр Кричевера-Новикова в качесчве шпебры 'юков решает проблему нулевых мод, поскольку последние являюIсн коэффициентами разложения тока по базису Кричевера-Новикова, 'Ю ее lb фурье-модами в точном смысле слова. Если 'кж принимает значения в операторах представления аффинной ал1ебры Кричевера-Повикова, то эш моды естественно действуют в npocipan-стве предаавления без всяких дополниюльных соглашений.

0.2 Постановка основных задач диссертации.

Основными задачами теории алгебр Ли являек’я описание структуры шпебры, ее инвариашов и предсчавлений.

Из определения аффинных алгебр Кричевера-Повикова непосред-счвенно вьпекают свойства почти градуированности и, как следствие, наличие треугольного разложения (аналог разложения Ивасаоы по-лупросгых алгебр Ли). Эю делает структуру аффинных шнебр Криче-вера-Новикова похожей па таковую для аффинных алгебр Каца-Муди. В отличие от них, в алгебрах Кричевера-Повикова кроме верхней и нижней треугольных подалгебр и каршювекой подалгебры имеется не являющееся подалгеброй дополнительное подпространство. Перечисленные факты эю все, что было известно о структуре алгебр Кричевера-Новикова к началу настоящего исследования. Они найдены для случая двух отмеченных точек Кричевером и Новиковым в [26], а для многих отмеченных точек Шлихенмайером в [43] и последующих работах. Об аналогах более глубоких факюв сфуктурной теории алгебр Каца-Муди, таких как наличие системы корней, корневого разложения и группы Вейля ничего не известно и в насюящее время.

Основным методом в теории представлений алгебр Каца-Муди являемся теория счаршего веса. Ее главный вывод — неприводимые предствлеиия ал i обры Каца-Муди находя юн по взаимно однозначном со-отвеппвии о чломечлами неотрицательною конуса двоГктвенного проем ране! ва к картновской подалгебре — старшими весами. Однако, картновская иодшпебра у аффинной алгебры Кричевера-Новикова точно такая же как у алгебры Каца-Муди (с той же конечномерной ajn оброй Ли). По-) I ому и пространство преде твлений счаршею веса, построенное по классической схеме, точно такое же. Однако, ясно, чю в отличие от алi обр Каца-Муди, представления аффинных алюбр Кричевера-Новикова должны зависеть от комплексной структуры на римановой поверхности. Нет никаких оснований счшать, чю зависимое п> от чтих дополнительных параметров должна принял" форму оаршего веса.

В связи с 41 им была поставлена задача о разработке новой конструкции представлении, в ко юрой сохранялся бы имеющий глубокие1 фичичеекие основы принцип порождения проем ранета представления старшим вектором, по вечбыл бы заменен другим обьектом (зависящим от аналитической структуры поверхности).

Решение этой задачи привело к конструкции фермиоиных нред-счавлений. Представления чюго класса параметризуююя («в существенном») юломорфными векторными расслоениями на римановой иоверхносчи. Эю приводит к выводу о том, что теория представлений аффинных алгебр Кричевера-Новикова далеко выходит ча рамки классической теории сшршего веса, и в ней весьма существенна роль ajn ебро-геомегричееких явлений.

Помимо нового ингредиент, которым являемся использование ю-ломорфных расслоений, в конструкции фермионного представления важную роль играет хорошо известное понятие иолубееконечных ко-еосиммефичеких форм, введенное Б. Л. Фейгиным и Д. Б. Фуксом в [7]. К началу настоящего исследования уже существовали пример!"! предчавлоний алiобр Кричевера-Новикова, посч роенные о использованием э 1 их обьок Iон [20, 27, 28, 43].

Один из центральных вопросов теории иродетвлоний алюбр Ли описание1 операторов Казимира (казимиров, лапласианов). Казимиры могут бып> охарактеризованы как эндоморфизмы представлений ал-юбры Ли, коюрыо определенным образом прояюя по самим опора-торам продсчавлония. Казимиры обьокт исключительной важносчи в теории и приложениях. Теория специальных функций, конечрукции гамильтонианов и исследование свойств квашовых сисюм, обладающих симмефиями, теория вполне1 интегрируемых систем — далеко не полный список их приложений. Наиболее важны казимиры второго порядка.

Для конечномерных полуиросгых алгебр Ли описание казимиров основано, главным образом, на теореме И. М. Гольфанда о центре универсальной обертывающей алгебры [12]. Эюг подход не рабошог в бесконечномерном случае. Для алгебр Каца-Муди определение казимира второго порядка использует либо корневую структуру (как в [17]), либо наличие оператора градуировки (выделенного векторного поля zj^ на римановой сфере) — как в [18]. Для аффинных алюбр Кричевера-Новикова не известно ни корневой структуры (как отмечалось выше), ни какою бы то ни было выделенного векторного ноля, пи градуировки. Поэюму определение казимира второго порядка т робу от какого-то нового подхода. В наеюящем исследовании мы славим и решаем задачу полного описания казимиров второго порядка аффинных алгебр Кричевера-Новикова.

Перечисленные выше основные задачи теории преде явлений примени юльно к аффинным алгебрам Кричевера-Новикова впервые по-счавлоны, и в той или иной степени решены, в ходе насчоящего исследования.

Параллельно с разработкой теории представлений алгебр Кричевера-Новикова выяснялись ее возможные приложения.

13 теории представлений алгебр Каца-Муди имеется специфическое и очень интересное явление1, названное В. Кацем в [17| «одним из самых мощных инструментов конформной теории поля» конструкция Cyia-вары. 3ia конструкция позволяет при очень общих предположениях посчрошь по предешвлению аффинной hjiio6pi>i иредс1авление центральною расширения соответствующей шпебры векюрных нолей. Эю последнее называемся представлением Сугавары. Конструкция восходит к рабон4 Сугавар1>1 [64]. Общепринятое изложение для аффинных алгебр Каца-Муди дано в [18]. Основы обобщения конструкции на римановы поверхности положительного рода заложены в [27|. В 41 ой работе, впрочем, рассматривался случай алi обры токов со значениями в коммутативной (конечномерной) алгебре Ли (по-другому эю называемся алгеброй типа Гейзеиберта). Возникает1 естественная задача нагождеиия некоммутативного аналога конструкции [27J.

В настоящей рабою представлен совместный результат автора и М. Шлихенмайера обобщение конструкции Сугавары на случай токов на римановой поверхности с произвольным числом отмеченных точек и со значениями в произвольной конечномерной редуктивной алгебре Ли. Случай некоммутативных токов па римановых поверхностях с двумя отмеченными точками впервые рассмотрен в физической литературе [4[. В этой работе, в основном решающей задачу, имеююя значительные математические пробелы (анализ коюрых дан в разделе 3.2). Совместная работа автора и М. Шлихенмайера [48] для случая токов со значениями в полупростой алгебре Ли появилась независимо, но позднее. В ней использованы другие методы доказательства, позволившие уст рани I ь пробелы рабош [4[, а также рассмотрен случай римановых поверхностей с многими отмеченными точками. Несложное обобщение конструкции на редуктивный случай проделано автором |С1|.

Отметим особо, чю хорошо известно [18] использование конструкции Сугавары в описании казимиров вюрого порядка аффинных алгебр Каца-Муди. Мы также используем полученные нами результаты по конструкции Cyiавары на римановых поверхностях в упомянутом выше описании операторов Казимира.

Полученное нами обобщение конструкции Сугавары позволило ио-реГии к дальнейшим приложениям теории npt дспииш пик алгебр Кри-чев (ра-Новикова о конформной теории поля.

В основе приложений аффинных алюбр Ли в конформной теории поля лежит toi факт, чю дейепзие Весса-Зумино-Новикова инвариантно othochi ельно группы токов на римановой поверхности, и, следовательно, ею кванювание связано с представлениями алгебры токов, то есть алгебры Кричевера-Новикова. Ограничивая токи на римановой поверхности на малые контуры вокруг отмеченных точек, можно получи п> вложение алюбры Кричевера-Новикова в прямую сумму алгебр Каца-Муди, причем каждое представление второй задаст иред-сишление первой. Метрически был выбран именно эют путь [21, 66|, причем насчоящая алгебра симметрии была забыта. Возникает еею-ственная задача: построить двумерную конформную теорию поля г аффинной алгеброй Кричевера-Новикова в качестве алгебры токов. При этом увеличивайся число параметров, от которых зависит теория, и получает решение проблема нулевых мод, обсуждавшаяся выше (раздел 0.1).

Результат, полученные в направлении реализации эюй программы, предешвлены в главе 4 диссертации (см. также следующий раздел). Эю нос 1 роение расслоения конформных блоков и проективно плоской связности на нем, нахождение4 аналога уравнений Книжника.

Замолодчикона для положительного рода. В целомни результат получены и соавюрспзе с М.Шлихенмайером. Bee посчановки задач и результаты, евя занные с деформациями (при изменении модулей) фер-миопных представлений, преде твления Сугавары, регулярных функций и векторных нолей Кричевера-Новикова, имеющие принципиальное значение, а также окончательный вывод аналога уравнений Книжника-Замолодчикова для родов 0 и 1 принадлежат исключительно авюру.

0.3 Основные результаты диссертации.

Основные результаты диссертции относятся к теории иредсчавлений бесконечномерных алгебр Ли, геометрии upocipaiiciB модулей римановых поверхностей и 2-мерной кон (1юрмной теории ноля. В теории представлений:

• найдена конарукция фермионных представлений аффинных алгебр Кричевера-Новикова и алгебр типа Вираеоро;

• дано строгое обоснование конпрукции Сугавары для алгебр Кричевера-Новикова;

• дано описание казимиров вюрого порядка аффинных алгебр Кри-чевера-Новикова;

• введено поня1ие полуказимиров и дано их описание.

В геометрии пространств модулей:

• дано описание касательно! о проем ранспза в ючке общею положения иросгране 1ва модулей римановых поверхности с произволь-ш>1м числом отмеченных точек и (фиксированными до некоторого порядка емруями локальных координат в них в терминах базисов Кричевера-Повикова в шиебре Ли векторных полей;

• найдены формулы инфиншезимальных деформации регулярных функций и векторных полей Кричевера-Новикова при деформации модулей, согласованные с теорией Кодаиры-Сненсера;

• найдены отображения касательных ирос i panci в к проем ране i вам модулей в проем рансгво операторов, индуцированных иолу казимирами на коне{)ормных блокахисследованы условия корректной определенное^ '-них оюбражений.

В конформной теории поля:

• введены расслоения конформных блоков, отвечающие алгебрам Кричевера-Новикова;

• для указанных расслоечшй решена задача построения проективно плоской связности;

• дано обобщение уравнений Книжника-Замолодчикова на римано-вы поверхности положительного рода с несколькими отмеченными точкаминайденные4 уравнения явно записаны в терминах базисов Кричевера-Новикова.

0.4 Структура и содержание диссертации.

Диесерхация сосюит из введения и пяти глав. Нумерация всех утверждений и определений сквозная в пределах главыкаждый номер colt сiон 1' in двух часчей номер главы и номер утверждения (cooiношения).

В главе 1 вводяк-я основные определения, относящиеся к алгебрам Кричевера-Новикова, и даемся обзор их основных cbohcib. Введены алгебры 'юков, векторных нолей и дифференциальных операторов Кричевера-Новикова, пространства тензоров Кричевера-Новикова на римановых поверхностях. Определена двойственноеп> Кричевера-Но-викова между тензорами дополнительных весов (вален тносч ей). Ввс1-деШ)1 базисы Кричевера-Новикова и еоспвектвующая поч1и градуированная счруктура, играющие основную роль в дальнейшем и сложении. Дано описание цешральных расширений и 2-когомологий введенных алгебр. Даны определения обьектов, составляющих предмет настоящей работы — аффинной алгебры Кричевера-Новикова и алюбры тина Вирасоро.

Глава 2 главным образом посвящена конструкции фермионных представлений аффинных алгебр Кричевера-Новикова. Сначала, следуя [29, 32, 30, 33], мы даем описание голоморфных расслоений на римановых поверхностях в терминах параметров Тюрина и вводим базисы Кричевера-Новикова в сечениях голоморфных расслоений с полюсами в двух 01 меченных точках. Затем мы даем аналогичное описание базисов для случая многих отмеченных точек. Центральный результат главы нос 1 роение класса представлений аффинных алгебр Кричевера-Новикова, получивших название фермионных представлений. Мы даем описание классов эквивалентности этих представлений. В заключение мы даем более традиционную (но обладающую меньшей степенью общности для данного класса алюбр Ли) конструкцию модулей Верма в случае многих точек. Основные результаты главы опубликованы в [5G, 57, 58, 61].

Глава 3 посвящена представлениям алюбр типа Вирасоро. Развивая результаты предыдущей главы, мы рассматриваем фермионные пред-счавлеипя этих алюбр. Вслед за этим мы переходим к конструкции Сугавары, позволяющей по каждому допустимому ироде твлению аффинной ал i обры liociponi’b в том же пространстве представление алгебры типа Вираеоро. Значительную часть главы занимают подробные докачаюльства сделанных в ней утверждений, которые весьма обьем-ны. Основные резулыаты главы опубликованы в [48, 49, 50, 58, Glj.

В главе4 рассматриваются приложения алгебр Кричевера-Новикова к геомофии нросчрансчв модулей и уравнениям Книжника-Замолодчи-кова. Мы формулируем в терминах алiобр типа Вираеоро и базисов Кричевера-Новикова в них описание касательною просфашчва Ку-раниши к пространству модулей римановых поверхносюй с отмоченными точками и фиксированными до определенного порядка счру-ями локальных координат в этих точках. Польчуясч" чтим описанием, мы находим формулы для деформаций функций и векюрных полей Кричевера-Новикова при деформации модулей. Далее мы определяем конформные блоки, вводим обобщенную связность Книжника-Замолодчикова на них и доказываем проективную плоскостность этой связности (используя при 41 ом полученные выше результаты по деформациям). Мы определяем уравнения Книжиика-Замолодчикова для положительного рода как уравнения горичон тльных сечений чюй связности. В заключение главы мы показываем, что для рода 0 наш подход дает обычные уравнения Книжиика-Замолодчикова, и получаем явный вид чтих уравнений для рода 1. Основные результаты главы опубликованы в [49, 50].

В главе 5 мы вводим и описываем операторы Казимира второго порядка аффинных алгебр Кричевера-Новикова. Мы вводим, также, более общие операторы, названные нами полуказимирами, и усчаиав-ливаом их связь с касательными пространствами к пространствам модулей римаиовых поверхностей, рассмотренными выше. Основные результаты главы опубликованы в [58, 60, G1, 48].

0.5 Аиробация работы и публикации.

Результаты диссертационной работы докладывались автором па.

• международной конференции «Geometric (Quantization and Related Asymptotic Analysis», Нагоя, Япония, 16−19 ноября 2005 г. (приглашенный 60-минушый доклад);

• 24 Скандинавском и 1 Франко-Скандинавском математическом конгрессе, Рейкьявик, 6−9 января 2005 г. (доклады на секциях «Теория представлений и гармонический анализ» и «Пространства модулей»);

• XXIV международной конференции «Geometric Methods in Physics», Беловежа, Польша, 26 июня — 2 июля 2005 г.;

• сателлитной конференции Европейского математического конгресса «Noncommutative geometry and representation theory in mathematical physics», Карлштадт, Швеция, 4−11 июля 2004 г.;

• международной конференции, посвященной ЮО-лепш со дня рождения А. Н. Колмогорова, Москва, июнь 2003 г.;

• международной конференции, посвященной Ю-jiei ию Независимого московского университета, Москва, ПМУ, 26−29 декабря 2001 г.;

• семинаре под руководством С. П. Новикова отдела 1еометрии и топологии Математическою института РАН им. В. А. Стеклова, 29 декабря 2004 г. и 12 января 2005 г.

• семинаре под руководством А. А. Славнова отдела теоретической физики Математического института РАН им. В. А. Стеклова, 2 и 9 февраля 2005 г.

• семинаре под руководством Э. Б. Винберга кафедры алгебры мечанико-матемашческого факульте! а МГУ им. М. В. Ломооеона;

• матемашческом семинаре Университета Люксембурга, 19 октября и 8 ноября 2004 г., 18 оюября 2005 года;

• общем семинаре по геометрии (Obeiseminar Geometric) и Иистшу-те Макса Планка, Лейпциг, Германия, 21 апреля 2005 г.

• заседании Сонеiа, но нелинейной динамике Президиума РАН, декабрь 2003 I'.

• семинаре «Глобус» и других семинарах Независимого московскою универсикча;

• семинаре математического отдела Институт Науки Университета Исландии, Рейкьявик, сешябрь 2003 г.

Результат диссертции опубликованы авюром в 13 самоеiояiсильных и 3 совмесшых работх.

1. Aibarollo Е., Dp Concini С., Kac V.G., Pioeesi С. Moduli spaces of curves and representation theory. Comm.Math.Phys. 1 (117), 1988, 1−3G.

2. Bernard D. On the Wess-Zumino-Witteri models on the torus. Nucl. Phys. B303 (1988), 77−93.

3. Bernard D. On the Wess-Zumino-Witten models on Riemann surfaces. Nucl. Phys. B309 (1988), 145 174.

4. Bonora L., Rinaldi M., Rusbo J., Wn K. The Sugawara construction on genus g Riemann surfaces. Phys. Lett. B208 (1988), 440−446.

5. Enriquez В., Folder G. Solutions of the KZB equations in genus > 1. math. QA/9 912 198.

6. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Москва, Наука, 1979.

7. Фейгин Б. Л., Фукс Д. Б. Кососимметрические инвариантные дифференциальные операторы на прямой и модули Верма над алгеброй Вирасоро. Функциональный анализ и его приложения, 16 (1982), № 2, 47−63.

8. Folder С., Wieczerkowski Ch. Conformal blocks on elliptic curves and the Knizhmk-Zamolodchikov-Bernard equation. Coinmim. Math. Phys. 176 (1996), 133−161.

9. Frenkel I. Orbital theory of the affine Lie algebras. Invent. Math. 77 (1984), № 2, 301 352.1()| Friedan D., Sheriker S. The analitic geometry of the two-dimensional conformal field theory. Nuclear Phys. B281 (1987), 509−545.

10. Guillemiii V., Stornboig S. The Gelfand-Cethn system and quantization of the complex flag manifolds. J.Fnne.Anal. 52 (1983), 10G-128.

11. Гельфанд И. М. Центр иифииите. тмальиого группового кольца. Матом, (б. 26 (1950), 103−112.

12. Goldman W.M. Invariant functions on Lie groups and Hamiltoman flows of surgacc group representations. Invent. Math. 85 (198G), 263 302.

13. Harris Л., Morrison I. Moduli of Curves. Springer 1998, New York, Berlin, Heidelberg.16| Hitohin N. Flat connections and geometric quantization. Coinmun. Math. Phys. 131 (1990), 347−380.

14. Кап, В. Г. Бесконечномерные алгебры JIu. Москва, «МИР», 1993.

15. Као V.G., Raina А.К. Highest Weight Representations of Infinite Dimensional Lie Algebras. Adv. Ser. in Math. Physios Vol.2, World Scientific, 1987.

16. Kac V.G., Peterson D.H. Spin and wedge representations of infinite-dimensional Lie algebras and groups. Proc. Natl. Acad. Soi. USA, 1981, 3308−33 1220j Кириллов А. А. Элементы теории представлений. Москва, «Наука», 1972, 336 о.

17. Knizhnik V.G., Zaiiiolodchikov А.В. Curicnt algebra and Wes. s-Ziimino model in two dimensions. Nncl. Phys. B247 (1984), 83−103.

18. Концсинч М. Л. Алгебра Вирасоро и пространство Тейхмюллсра. Функциональный анализ и ого приложения, 21 (1987), N° 2, 78−79.

19. Кричевер И. М. Алгебраические кривые и нелинейные разностные уравнения. Успехи математических наук, 33 (1978), N° 4, 215−21G.

20. Kiichever I.M. Vector bundles and bar equations on algebraic curves. Hep-th/108 110.

21. Kriehcvor I.M. Isomonodromy equation on algebraic curves, canonical transformations and Witharn equations. Hep-th/112 096.

22. Кричевер И. М., Новиков С. П. Алгебры типа Вирасоро, римановы поверхности и структуры теории солитонов, Функциональный анализ и ею приложения, 21 (1987), № 2, 46 63.

23. Кричевер И. М., Новиков С. П. Алгебры типа Вирасоро, римановы поверхности и струны в пространстве Минковского, Функциональный анализ и его приложения, 21 (1987), N2 4, 47−61.

24. Кричевер И. М., Новиков С. П. Алгебры типа Вирасоро, тензор энергии-импулыа и операторные разложения на римаиовых повертостях, Функциональный анализ и его приложения, 23 (1989), № 1, 24−40.

25. Кричевер И. М., Новиков С. П. Голоморфные расслоения над ри-мановыми поверхностями и уравнение Кадомцева-Петвиашвили (КП). I. Функциональный анализ и его приложения, 12 (1978), № 4, 41−52.

26. Кричевер И. М., Новиков С. П. Голоморфные расслоения и коммутирующие разностные операторы. Двухточечные конструкции, Успехи математических паук, 55 (2000), № 3, 181 182.

27. Кричевер И. М., Новиков С. П. Двумерная цепочка Тода, коммутирующие разностные операторы и голоморфные векторные расслоения. Успехи математических наук, 58 (2003), № 3, 51−88.

28. Kodaira К. Complex manifolds and deformation of complex structures. Springer-Verlag, 1985.

29. Polyakov A. Phys.Lett. 103B (1981), 207.

30. Прессли Э., Сегал Г. Группы шмель. Москва, «МИР», 1990, 456 с.

31. Ruffing A., Deck Th., Schlichenmaier М. String branchings on complex tori and algebraic representations of geneiahzed Krichever-Novikov algebras. Lett. Math. Phys. 26 (1992), 23−32.

32. Sadov V.A. Bases on multipunctured Riemann surfaces and interacting strings amplitudes. Comniun. Math. Phys. 136 (1991), 585−597.

33. Schlichenmaier M. Knchever-Novikov algebras for more than two points: e. rplidt generators. Letters in Mathematical Physics, 19 (1990), 327−336.

34. Schlichenmaier M. Caitial extensions and semi-infinite wedge representations of Krichcver-Novikov algebras for more than two points. Letteis in Mathematical Physics, 20 (1990), 33−46.

35. Schlichenmaier M. Verallgemeinerte Knchever Novikov Algebren und deren Darstellungen. Ph.D. thesis, Univeisitat Mannheim, 1990.

36. Schlichenmaier M. Degenerations of generalized Knchever-Novikov algebras on tori. Journal of Mathematical Physics, 34 (1993), 38 093 824.

37. Schlichenmaier M. Differential operator algebras on compact Riemann surfaces. Generalized Symmetries in Physics (Clausthal 1993, Germany) (H.-D. Doebner, V.K. Dobrev, and A.G. Ushveiidze, eds.), World Scientific, 1994, pp. 425−434.

38. Schlichenmaier M. Local cocycles and central extensions for multipoint algebras of Knchever-Novikov type., J. Reine und Angewandte Mathematik, 559 (2003), 53−94.

39. Schlichenmaier M. Higher genus affine algebras of Knchever-Novikov type. Moscow Math. J., 4 (2003), № 3,1395−1427 (math. QA/210 360).

40. Schlichenmaier M., Sheirmian O.K. Sugawara construction and Casimir operators for Krichever-Novikov algebras. Journ. of Math. Science 92 (1998), 3807−3834 (math.QA/9 512 016).

41. Шлихенмайер М., Шейнман O.K. Теория Вссса-Зумипо-Виттепа-Новикова, уравнения Книжника-Замолодчикова и алгебры Кричевера-Новикова. Успехи математических иаук, 54 (1999), N° 1, 213−250.

42. Шлихеимайер М., Шейимаи O.K. Уравнения Книжника-Замолодчикова для положительного рода и алгебры Кричевера-Новикова. Успехи математических наук, 59 (2004), № 4, 147−180.

43. Шейнман O.K. Эллиптические аффинные алгебры JIu. Функциональный анализ и его приложения, 24 (1990), N° 3, 51−61.

44. Шейнман O.K. Модули старшего веса над некоторыми ква, шгра-дуироваппыми алгебрами Ли на эллиптических кривых. Функциональный анализ и ею приложения, 26 (1992), JV2 3, 65−71.

45. Шейнман O.K. Аффинные алгебры Ли на римановых поверхностях. Функциональный анализ и его приложения, 27 (1993), № 4, 54 62.

46. Шейнман O.K. Модули со старшим весом для аффинных алгебр Ли па римановых поверхностях. Функциональный анализ и его приложения, 29 (1995), № 1, 56−71.

47. Sheirmian O.K. Representations of Krichever-Nomkov algebras. Topics in topology and mathematical physics, Novikov, S.P. (ed.), Amer. Math. Soc., Providence, R.I., U.S.A., 1995, p.185−197.

48. Sheirmian O.K. Second ouhr (avium's for the affine KricheverS /SNovikov algebra,> glg2 and sMoscow Math.Journ., 1 (2001), № 4, 605−628 (rnath.RT/109 001).

49. Шсйимап O.K. Казимиры второго порядка аффиппыг алгебр Кричевера-Новикова gl (/2 us Фундаментальная математика се-Iодня (к десятилетию Независимою московского универсинма). Под ред. С. К. Ландо и О. К. Шейнмана. М., МЦНМО, 2003, пр. 372−404.

50. Шейнман O.K. Казимиры второго порядка для аффинных алгебр Кричевера-Новикова gtr/2 и si, h2- Успехи математических наук, 56 (2001), № 5, 189−190.

51. Шейнман O.K. Проективно-плоские связности на пространстве модулей римановыг поверхностей и уравнения Кпиэ1спика-Замолодчикова. Труды МИАН, Нелинейная динамика, 251 (2005), 307−319.

52. Sheinman O.K. Krichever-Novikov algebras and their representations. Contemporary Mathematics, 391 (2005), 313−321.

53. Sugawara H. A field theory of currents. Phys.Rev. 176 (1968), 20 192 025.

54. Тюрин A.H. Классификация векторных расслоений над алгебраической кривой произвольного рода. Изв. АН СССР, 29 (1965), 657−688.

55. Tbiichiya A., Ueno K., Yamada Y. Confoima I field fhtory on universal family of stable curves with gauge symmetries. Adv. Stud. Pure Math. 19 (1989), 459−566.

56. Ueno K. Intwduction to confoi mal field th (ory with gauge.symmetries. Geometry and Physics, Proceed. Aarhus conference 1995 (Andersen J.E. et. al, ed.), Marcel Dekker, 1997, pp. 603 745.