Теория (n-I) — мерных распределений на многообразии всех прямых n-мерного аффинного пространства

Актуальность темы

Современная локальная дифференциальная геометрия и теория дифференцируемых многообразий берут своё начало, как известно, от классической теории поверхностей, имеющей широкое применение как в самой математике, так и в её приложениях. Среди многих направлений обобщения этой теории важное место занимают такие два из них, как линейчатая геометрия и теория распределений.

Линейчатая дифференциальная геометрия трёхмерного пространства, имеющая большое прикладное значение (например, в механике сплошной среды и геометрической оптике), разрабатывается уже более столетия, получив монографическое оформление в книгах С. П. Финикова [b?], Н. И. Кованцова [30], Р. Н. Щероакова [63]. Ей посвящены также исследования многих других авторов, как в нашей стране, так и за рубежом (см., например, обзор [62]). На основе этих исследований широкое развитие получила теория многообразий cL-мерных плоскостей П-мерного пространства, т. е. подмногообразий грассманова многообразия CrV (1, 1Ъ) [59], которой посвящены уже многие сотни работ (см., например, обзоры [16, 39], а также [зь]). Дальнейшая разработка этой теории вызывает необходимость более глубокого изучения дифференциальной геометрии грассманова многообразия GV (d, И) плоскостей произвольной размерности (например, в работе [5]), и особенно, случая cL=l, т. е. многомерной линейчатой геометрии.

Другим обобщением классической теории поверхностей является теория распределений [40] на дифференцируемых многообразиях. Произвольному распределению А. на многообразии я локально сопоставляется система уравнений Пфаффа, аннулирующая все векторные поля, принадлежащие этому распределению. В силу этого теория распределений тесно связана с неголономной геометрией (т.е. геометрией систем Пфаффа общего вида), являясь поэтому составной частью теории дифференциальных уравнений [49]. Указанная теория имеет такжа приложение в теоретической механике (неголономная механика [44]). Особенно интенсивно теория распределений развивается в последние десятилетия (см. обзор [371).

Таким образом, изучение многообразий прямых многомерного пространства является актуальным для современной дифференциальной геометрии и её приложений.

История вопроса. Рассмотрение конгруэнции прямых в 11-мерном евклидовом пространстве как (12−1)-параметрического семейства прямых было начато в 30-х годах нашего века средствами тензорного исчисления в работах П. К. Рашевского [47, 48]. Проективной теорией этого многообразия с помощью метода подвижного репера занимались Р. М. Гейдельман и его ученики (см. обзор [16]). К этому же направлению надо отнести работы Т. О. Измайловой [" 20−21]. Кроме того, имеется ряд работ, посвященных исследован нию семейств прямых в аффинном пространстве А^, а также в пространствах конкретной размерности (например, [53−55, 42]). Б указанных работах были обобщены на П-мерный случай такие основные понятия теории конруэнций прямых трёхмерного пространства, как фокусы и фокальные плоскости. Результаты этих работ были использованы для развития как теории комплексов прямых в многомерном пространстве (например, [46, 12]), так и геометрии семейств А-мерных плоскостей при cL> 1 (26, 27, 35].

При изучении многообразий методом подвижного репера их задают обычно с помощью систем Пфаффа. Отсюда естественно встаёт задача исследования геометрии систем Пфаффа общего вида (получившей название неголономной геометрии).

Рассмотрение множества интегральных кривых уравнения Пфаффа общего вида имеется уже в работе А. Фосса [58]. С конца прошлого века возникает необходимость систематического изучения невполне-интегрируемых дифференциальных уравнений в связи с исследованием в механике дифференциальных связей, накладываемых на координаты движущегося объекта и не сводящихся к конечным уравнениям (получивших название неголономных связей). Особенно интенсивно исследование таких уравнений и порождаемых ими геометрических конструкций стало проводиться с 20-х годов нашего столетия, когда, благодаря созданию Э. Картаном метода внешних форм, локальная дифференциальная геометрия стала ассоциироваться главным образом с системами Пфаффа. Фундаментом этих исследований явились работы Э. Картана [28], Г. Врэнчану [15], И. Схоутена и ван Кампена [52]. Значительный вклад в развитие неголономной геометрии внёс советский геометр Д. М. Синцов, посвятивший ей большинство своих работ [51]. В этих работах он произвёл подробное исследование системы интегральных кривых уравнений Пфаффа в Е3, а также в Е*. Большое признание получили работы В. В. Вагнера (например, [14]), из которых вытекает тесная связь неголономной геометрии с теорией распределений на дифференцируемых многообразиях, В последние десятилетия неголономная геометрия развивается как в направлении непосредственного исследования интегральных многообразий систем Пфаффа общего вида (например, [31, 6з]и др.), так и в направлении изучения соответствующих распределений на дифференцируемых многообразиях и геометрических конструкций, порождаемых этими распределениями (например, [II, 23]). Важное место занимают здесь работы Г. Ф. Лаптева [38] и Ю. Г. Лумисте [40], посвященные общим вопросам теории распределений, а также диссертация В. В. Кайзера [24], в которой приведён подробный обзор исследований в этом направлении.

Вслед за изучением распределений на точечных многообразиях представляет интерес рассмотрение распределений на грассмановом многообразии Gr (Vп) всех прямых Kl-мерного пространства. В случае lt=3 исследованию этих распределений и порождаемых ими геометрических конструкций (неголономных конгруэнции и комплексов в различном понимании этих терминов) посвящены работы [8−9, 12−13, 42−43, 25] и ряд других. Имеются также исследования, в которых рассматриваются некоторые распределения на грассмановых многообразиях fl-мерного пространства (например, [22]).

Настоящая диссертация посвящена изучению (Г£ -I)-мерных распределений, А на грассмановом многообразии Ст-Г О, П-) всех прямых в It-мерном аффинномпространстве, А п .

Целью данной работы является: а) построение общей теории распределений Д^ на GrG, П.) в Ап, б) исследование семейств многомерных плоскостей, ассоциированных с данным распределением, в) выяснение особенностей строения распределений на G-r U, ft) при П^ 5.

Работа выполнена методом подвижного репера. Исследование носит локальный характер, т. е. грассманово многообразие G-rп) рассматривается всегда в окрестности некоторого своего элемента (прямой L1), где сохраняется аналитичность всех встречающихся функций.

Краткое содешание. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка цитируемой литературы.

1. Агафонова T.I. Некоторые пары конгруэнций и псевдоконгруэн-ций в пространстве Рц .-В кн.: ГеометрияУченые записки Ярославского гос.пед.института. — Ярославль, 1971, с.3−6.

2. Агафонова Т. Л. Классификация двупараметрических семейств двумерных плоскостей в .- В кн.: Геометрия. Сборник науч. трудов, вып.109. Ярославль, 1973, с. 3−8.

3. Агафонова Т. Л. Классификация четырехпараметрических семейств 3-плоскостей в Р5. Там же, с.9−15.

4. Агафонова T.I. Классификация (11- I)-параметрических семейств (И 2)-плоскостей в Там же, с.16−22.

5. Акивис М. А. К дифференциальной геометрии грассманова многообразия. Tensor, А/ $., Vol.38 (1982), с.273−282.

6. Акивис М. А. Многомерная дифференциальная геометрия: Учебное пособие. Калинин. Изд-во Калининского ун-та, 1977, 82 с.

7. Еишоп Р. Л., Криттенден Р. Д. Геометрия многообразий. Перевод с англ. М. Мир, 1967, 336 с.

8. Барыктабасов Э. Д. Неголономные конгруэнции в трехмерном эквиаффинном пространстве. В кн.: Труды Кирг. ун-та, сер. Математика, вып. 8. — Фрунзе, 1974, с.15−23.

9. Барыктабасов Э. Д. К аффинной геометрии неголономных комплексов. Геометрический сборник, вып. 15, (Труды Томского унта, 255).- Томск, 1975. с.122−144.

10. Елизникас В. И., Гринцевичюс К. И. 0 неголономной линейчатой геометрии. В кн.: Третья Прибалтийская геом. конф. Тезисы докладов. — Паланга, 1968, с.21−25.

11. Елизникене И. В. Некоторые вопросы геометрии полунеголоном-ных и неголономных конгруэнций. В кн.: Труды Геометрического семинара, вып. 5. — М., ВИНИТИ, 1974, с.97−121.

12. Вагнер В. В. Дифференциальная геометрия неголономных многообразий. В кн.: «УШ-ой Международный конкурс на соискание премии им. Н. И. Лобачевского (1937). Отчет» .- Казань, 1939, 195−262.

13. Врэнчану Г. (Vranceanu G-.) Vorlesungen йЬег Differentialqeomefrie, A’cad-emce-Verfag, Berlin, 161. I-37I е., П-405 c.

14. Гейдельман P.M. Дифференциальная геометрия семейств подпространств многомерных однородных пространствах. В кн.: Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1965 -М., ВИНИТИ, 1967, с.323−374.

15. Гейдельман P.M., Кругляков Л. З. О плоскостных поверхностях. Доклады АН СССР, 1974, т. 219, Ш I, с.19−22.

16. Гербсоммер Л. Э., Кругляков Л. З., Мизин А. Г. О комплексах многомерных плоскостей.- Докл. АН СССР, т.255, В 5, 1980, с.1039−1042.

17. Гринцевичюс К. И. О неголономном комплексе, Литовский математический сборник, IX, вып. I, 1969, с.85−99.

18. Измайлова Т. С. О конгруэнции прямых в Рп. В кн.: Труды Моск. ин-та ж.-д. транспорта. — М., 1970, т.361, с .4148.21 ¦ Измайлова Т. С. О кпараболической конгруэнции прямых в Р,. В кн.: Современная геометрия. — Л., 1978, с.61−66.

19. Кайзер В. В., Кругляков Л. З, 0 касательных подпространствах и характеристиках высших порядков пфаффовых многообразий многомерных плоскостей.: Геометрический сб., вып. 14 (Труды Томского ун-та, т.255). — Томск, 1974, с.47−81.

20. Кайзер В. В. Расширения, сужения и сопряженные направления дифференцируемых распределений в многомерных проективных пространствах. Геометрический сб., вып. 15 (Труды Томского ун-та, т.258). — Томск, 1975, с.20−49.

21. Кайзер В. В. Расширения и сужения дифференцируемых распределений в многомерных проективных пространствах.-Кандидатская диссертация. Томск, 1976, 143 с.

22. Кайзер В. В. Неголономная линейчатая геометрия как теория распределений на грассмановом многообразии. Труды геометрического семинара, вып. 15. — Казань, Изд-во Казанского ун-та, 1983, с.34−50.

23. Карапетян С. Е. Проективно-дифференциальная геометрия семейств многомерных плоскостей (I). Изв. АН Арм. ССР, 1963. т. 16, № 3, с.3−22.

24. Карапетян С. Е. Проективно-дифференциальная геометрия семейств многомерных плоскостей (П).- Изв. АН Арм. ССР, 1963, т. 16, № 5, с.3−22.

25. Картан Э. Внешние дифференциальные системы и их геометрические приложения. М., 1962, 237 с.

26. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии (в 2-х томах). Перевод с англ., Наука, М., 1981, т. I.-344 е., т. П 414 с.

27. Кованцов Н. ИТеория комплексов.- Киев. Изд-во Киевскогоун-та, 1963, 292 с.

28. Кованцов Н. И. Геометрия неинтегрируемых систем, Труды П респ.конф. математиков Белоруссии, — Минск, 1969, с, 79−86,.

29. Кругляков 1,3, К дифференциальной геометрии семейств подпространств в проективном пространстве. Геометрический сборник, вып. 16, — (Труды Томского ун-та, 263), — Томск, 1975, с.44−57.

30. Кругляков Л. З., Мизин А. Г., Никитина Е. С. Комплексы индек-, оа, один плоскостей в пространстве Р5 .- Геометрическийсборник, вып. 18. Томск, Изд-во Томского ун-та, 1977, с.47−58.

31. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований.- Труды Моск. матем. об-ва.- М., 1953, В 2, с.275−382.

32. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия многомерных поверхностей, В кн.: Итоги наукиГеометрия: 1963. — М., ВИНИТИ, 1965, с.5−64.

33. Лаптев Г. Ф. Распределения касательных элементов.- В кн.: Труды геометрического семинара, т.З.- М., ВИНИТИ, 1971, с.29−48.

34. Лумисте Ю. Г. Дифференциальная геометрия подмногообразий.-В кн.: Итоги науки и техники. Алгебра, Топология. Геометрият. 13. М., ВИНИТИ, 1975, с.273−340.

35. Лумисте Ю. Г. Распределения на однородных пространствах.-В кн.: Итоги науки и техники. Проблемы геометрии, т. 8.-М., ВИНИТИ, 1977, с.5−24.

36. Мизин А. Г. О комплексах индекса один плоскостей в fs. -Геометрический сборник, вып. 21 .-Томск, Изд-во Томского унта, 1980, с.94−95.

37. Навицкис К. В. Внутренние оснащения неголономных гиперкомплексов четырехмерного аффинного пространства. Литовский матем. сб., XX (I), 1980, с.119−123.

38. Навицкис К. В. Внутренние оснащения распределения гиперплоскостей на грассмановом многообразии. Литовский матем. сб., Ш (2), 1981, с.153−161.

39. Неймарк Ю. И., Г^уфаев Н. А. Динамика неголономных систем. -М., Наука, 1967, 520 с.

40. Норден А. П. Теория композиций. В кн.: Итоги науки и техники. Проблемы геометрии, т.10. — М., ВИНИТИ, 1978, с. П7−145.

41. Орленко Г. И. К метрической теории семейств прямых и плоскостей в многомерном евклидовом пространстве. В кн.: Труды Рижского ин-та инженеров авиации, вып.97. Рига, 1966, с.3−37.

42. Рашевский П. К. (Rachevsky R) Sup ies congruences 3 plusieurs dimensions. С. R. Лсас/. $ 61-^1931, c.137−138.

43. Рашевский П. К. Congruence nectihgne dans 1'espace euciidien a ft dimensions. В кн.: Труды семинара по вект, и тензорн. анализу при МГУ, т. 2−3. М., Изд-во МГУ, 1935, с.212−226.

44. Рашевский П. К. Тензорная дифференциальная геометрия. Вкн.: Математика в СССР за тридцать лет 1917;1947. М.-Л., 1948, с.883−918.50. ?рк Т. (Room Т£.) The geomeinу of deiermiпакЫ loci Cambridge, 1938, 483 c.

45. Синцов Д. Ф. Работы по неголономной геометрии.- Киев, Издво «Вища школа», 294 с.

46. Схоутен И. А., ван Кампен Е. Р. (5clzouietz J. Д., van.1.ampefi E.R.) 2ur EinbeUu-^jen tttid Krummungs-Угеоп'е nicWkobnomer Gebifde, — Matliema-tistie Attnalen, Band Heft 5, 1930, c.752−783.

47. Сычева В. Г. 0 каноническом репере конгруэнций прямых в? н. В кн.: Ученые записки Орехово-Зуевского пед. инта, вып. 22(3). — 1964, с.64−72.

48. Сычева В. Г. 0 некоторых специальных классах конгруэнций прямых в четырехмерном проективном пространстве Рц. -Там же, с.73−78.

49. Сычева В, Г. Канонические реперы конгруэнции прямых в четырехмерном проективном пространстве.- В кн.: Труды Моск. ин-та инженеров железнодор. транспорта, вып. 190. М., 1965, с.69−89.

50. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. М.-Л., ОГИЗ, 1948, 436 с.

51. Фиников С. П. Теория конгруэнций.- М.-Л., ГИТТЛ, 1950,528 с.

52. Фосс А. (Vo ss A.) G-eomeirische Ihierpr-eiat i on der DitferenltziqieichurKj Pdec + Q Rdz = O. -Maibemaifshe Annalcn, k 46, 1880, c.556−559.

53. Хода В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии (в 2-х томах) ИЛ, -М.: 1954, 1 т.-461 е., П т. 431 с.

54. Хасин Г. Б. Однофокусные псевдоконгруэнции 2-пяоскостей вРц v В кн.: Геометрия. Сборник науч. трудов, вып. 169-Ярославль, 1973, с.212−215.

55. Щербаков Р. Н. Некоторые вопросы аффинной теории прямолинейных конгруэнции. -Математический сборник (Новая серия), т. 37(79), 3, 1955, с.527−556.

56. Щербаков Р. Н. Линейчатая дифференциальная геометрия трехмерного пространства. В кн.: Итоги науки. Алгебра. Геометрия. 1965. -М., ВИНИТИ, 1967, с.265−321.

57. Щербаков Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой геометрии. Томск, Изд-во Томского ун-та, 1973, 236 с. Работы автора, выполненные по теме диссертации:

58. Печников И. А. Репера®сопряженных пар пфаффовых многообразий и подмногообразий. Геометрический сборник, вып. 19. — Томск, Изд-во Томского ун-та, 1978, с.122−126.