Инфинитезимальные аффинные преобразования прямого произведения пространств аффинной связности

Актуальность темы

Понятие аффинной связности возникло в 1917 г. в римановой геометрии (в виде Леви-Чивита связности) — самостоятельный смысл оно обрело в 1918;24 гг. в работах Г. Вейля [51] и Э. Картана [50]. В 1927 году впервые поставлен вопрос о движениях в пространствах аффинной связности JI. П. Эйзенгардтом и М. С. Кнебельманом. Они получили систему дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, определяющую составляющие бесконечно малого движения в пространстве аффинной связности и доказали, что группа движений конечномерна и ее размерность не превосходит п2 + п. Ими же было установлено, что пространства, допускающие группу движений размерности п2 + п, являются локально плоскими. Начиная с 30-х годов^исследуются движения симметрических проективно-евклидовых пространств аффинной связности П. А. Широковым [45]. В это же время в теории симметрических пространств аффинной связности проводились исследования Э. Картаном [23], П. К. Рашевским [36]. Изучением симметрических пространств занимались также И. JI. Кантор, А. И. Сирота, А. С. Солодовников [22]. Начиная с 40-х годов, исследованием групп движений пространств аффинной связности занимались К. Яно, У. Муто, И. Левин, Г. Вранчаиу, Я. Л. Шапиро, В. Думитраш. Результаты, полученные вышеуказанными учеными приведены в обзоре И. П. Егорова [21]. Б. Л. Лаптев исследовал многообразия с объектами аффинной и проективной связностей, зависящими от точки и направления, им получены условия интегрируемости уравнений проективных и аффинных движений в инвариантной форме [29]. Дальнейшее развитие теории связностей, производной Ли было продолжено Б. Н. Шапуковым [43], [44], В. В. Шурыгиным [46].

Важные результаты в теории групп движений пространств аффинной связности были получены и И. П. Егоровым [14] - [21]. Внимание И. П. Егорова привлекла опубликованная в 1903 году теорема Фубини: не существует рима-новых пространств с полной группой движений порядка — 1, то есть на единицу меньше наивысшего порядка, который допускают лишь пространства постоянной кривизны и только они. И. П. Егоров впервые поставил аналогичный вопрос для пространств аффинной связности, а именно: существуют ли пространства аффинной связности, обладающие группами движений порядка г = п2 + п — 1? В 1945 году им установлено, что максимальная размерность группы движений пространств аффинной связности без кручения ненулевой кривизны равна точно п2, причем, как оказалось, такие группы движений необходимо транзитивны. Из этого следовало, что не существует пространств аффинной связности, группы движений которых имеют размерности г, где п2 < г < п2 + п (п > 2). Тем самым была выявлена первая лакуна, то есть интервал 'запрещенных' размерностей групп движений пространств аффинной связности. Им же найдена максимальная размерность интранзитивных групп движений не плоских пространств аффинной связности, которая равна тт.2 — 1. Все пространства, допускающие группы движений размерности п2, п2 — 17были названы пространствами второй лакунарности (пространства первой лакунарности —¦ локально плоские пространства). Пространства второй лакунарности имеют следующую тензорную характеристику: эти пространства просктивно-евклидовы ненулевой кривизны и тензорное поле Риччи — симметричное. Такие пространства называются эквипроек-тивными. Изучая группу аффинных преобразований проективно-евклидовых пространств с несимметричным тензорным полем Риччи, И. П. Егоров доказал, что максимальная размерность групп движений таких пространств равна точно п2 — п + 1. Таким образом, было доказано наличие еще одной лакуны. Пространства с группами движений размерности п2 — п — 2, п2 — п — 1, п2 — тт., п2 — п + 1 называются пространствами третей лакунарности. Далее И. П. Егоровым было установлено, что пространствам, максимальная размерность групп движений которых равна п2 — n +1, предшествуют пространства, допускающие группы движений максимальной размерности п2 — 2п + 5 {п > 3). Эти группы являются транзитивными. Пространства, размерности групп движений которых не превосходят п2 — 2п + 5, являются непроективпо-евклидовыми, то есть тензор Вейля таких пространств отличен от нуля. Непроективио-евклидовые пространства аффинной связности относятся к пространствам четвертой лакунарности. Максимальная размерность интранзитивных групп движений непроективно-евклидовых пространств аффинной связности была установлена в 2000 году А. Я. Султановым [39], она равна п2 — 2п + 3. В своих исследования И. П. Егоров применил метод, основанный на изучении условий интегрируемости уравнений движений, который в последствии нашел развитие и применение в работах А. В. Аминовой [1], [2], Н. С. Синюкова [38], А. 3. Петрова [35], А. Я. Султанова [39], [40] и других ученых.

В 1963 году в работе [33] А. П. Нордена введено понятие пространства декартовой композиции. В этой же работе А. П. Норден показал, что задание аффинной связности, по отношению к которой композиция является декартовой, равносильно заданию произвольной аффинной связности на любой позиции каждого базисного многообразия. Среди этих связностей можно выделить связности, являющиеся прямым произведением аффинных связностей. Исследованию групп движений пространств аффинной связности, представляющих собою прямое произведение двух пространств аффинной связности, посвящена данная диссертационная работа. Известно, что размерность групп движений пространства аффинной связности равна размерности алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований.

Целью диссертационной работы является исследование алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения пространств аффинной связности, инфинитезимальных аффинных преобразований вещественной реализации голоморфной линейной связности над алгеброй двойных чисел.

Методы исследования. В диссертации применяются результаты и методы локальной дифференциальной геометрии, теории групп Ли преобразований, используется аппарат тензорного анализа и производной Ли.

Научная новизна результатов. В диссертационной работе получены оценки размерностей алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения двух пространств аффинной связности в следующих случаях:

1) одно из пространств является неплоским проективно-евклидовым, а другое локально плоским;

2) оба сомножителя прямого произведения являются неплоскими проек-тивно-евклидовыми пространствами аффинной связности;

3) одно пространство — проективно-евклидовое, а другое пространство является непроективно-евклидовым;

4) оба пространства являются непроективно-евклидовыми.

Теоретическая и практическая значимость работы. Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при исследовании прямого произведения пространств аффинной связности, в теоретической и математической физике, а также в учебном процессе при чтении спецкурсов и факультативных курсов для студентов-математиков.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на всероссийских молодежных научных школах-конференциях «Лобачевские чтения» (Казань, КГУ, 2005, 2006, 2007), на международной летней школе-семинаре по современным проблемам теоретической и математической физики «Петровские чтения» (Казань, КГУ, 2007), на международном геометрическом семинаре им. Г. Ф. Лаптева (Пенза, ПГПУ, 2007), на геометрическом семинаре кафедр геометрии и алгебры ПГПУ (рук. проф. В. И. Папьженский и проф. А. Я. Султанов), на внутривузовских конференциях профессорско-преподавательского состава физико-математического факультета ПГПУ (2006, 2007, 2008), на геометрическом семинаре кафедры геометрии КГУ (2008).

Публикации по теме диссертации. Основные результаты диссертации отражены в 13 опубликованных работах автора, список которых приведен в конце диссертации.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, списка литературы и списка публикаций автора по теме.

1. Аминова, А. В. Группы проективных и аффинных движений в пространствах общей теории относительности / А. В. Аминова // Труды геометрического семинара. ВИНИТИ. — Т. 6. — М., 1974 — С. 317−346.

2. Аминова, А. В. Группы почти проективных движений пространств аффинной связности / А. В. Аминова // Известия вузов. Математика. — 1979. № 4. — С. 71−75.

3. Бишоп, Р. Геометрия многообразий / Р. Бишоп, Р. Криттенден. — М.: Мир, 1967. 335 с.

4. Бурбаки, Н. Алгебра. Алгебраические структуры, линейная и полилинейная алгебра / Н. Бурбаки. — М.: Физматгиз, 1962. — 516с.

5. Вольф, Дж. Пространства постоянной кривизны: Пер. с англ. / Дж. Вольф. М.: Наука. — 1982. — 480 с.

6. Винберг, Э. Б. Об инвариантных линейных связностях / Э. Б. Винберг // ДАН СССР. Т. 128. е 4. — 1959. — С. 653−654.

7. Винберг, Э. Б. Инвариантные линейные связности в однородном пространстве / Э. Б. Винберг // Тр. Московск. матем. о-ва. — Т. 9. — 1960. — С. 191 210.

8. Вишневский, В. В. О вещественных реализациях тензорных операций в пространствах над алгебрами / В. В. Вишневский // Известия вузов. Математика. 1974. — № 5. — С. 62−65.

9. Вишенвский, В. В. Интегрируемые аффинные структуры и их плюральные интерпретации / В. В. Вишневский // Итоги науки и техники / ВИНИТИ — Т. 73: Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. — М., 2002. С. 5−64.

10. Вишневский, В. В. Пространства над алгебрами / В. В. Вишневский, A. П. Широков, В. В. Шурыгин. — Казань.: Издательство Казанского университета, 1984. — 262 с.

11. Громол, Д. Риманова геометрия в целом / Д. Громол, В. Клингенберг, B. Мейер. М.: Мир, 1971. — 297 с.

12. Джекобсон, Н. Алгебры Ли / Н. Джекобсон. — М.: Мир. — 1964. — 355с.

13. Дубровин, Б. А. Современная геометрия. Методы и приложения / Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. — М.: Наука, 1979. — 760 с.

14. Егоров, И. П. О порядке групп движений пространств аффинной связности / И. П. Егоров // ДАН СССР. Т. 57, № 9. — 1947. — С. 867−870.

15. Егоров, И. П. О порядке групп движений пространств аффинной связности / И. П. Егоров // ДАН СССР. Т. 61, № 4. — 1948. — С. 605−608.

16. Егоров, И. П. О группах движений пространств несимметрической аффинной связности / И. П. Егоров // ДАН СССР. Т. 64, № 5. — 1949.C. 621−624.

17. Егоров, И. П. О группах движений пространств общей несимметрической аффинной связности / И. П. Егоров // ДАН СССР. Т. 73, № 2. — 1950. С. 265−267.

18. Егоров, И. П. Тензорная характеристика максимально подвижных Л. п ненулевой кривизны / И. П. Егоров // ДАН СССР. Т. 84, № 2. — 1952. С. 209−212.

19. Егоров, И. П. Движения в пространствах аффинной связности.: Дис. докт. физ-мат. наук: 01.01.04 / И. П. Егоров. — МГУ, 1955.

20. Егоров, И. П. Эквиаффинные пространства третьей лакунарности / И. П. Егоров // ДАН СССР. Т. 103, № 1. — 1956. — С. 151−152.

21. Егоров, И. П. Движения в обобщенных дифференциально-геометрических пространствах / И. П. Егоров // Итоги науки / ВИНИТИ: Алгебра, топология, геометрия. 1965. — М., 1967. — С. 375−428.

22. Кантор, И. JI. Один класс симметрических пространств с расширяемой группой движений и обобщений модели Пуанкаре / И. JI. Кантор, А. И. Сирота, А. С. Солодовников // Докл. АН СССР, 1967. — № 3 С. 511−514.

23. Картап, Э. Геометрия групп Ли и симметрические пространства / Э. Кар-тан. М.: ИЛ, 1949. — 384 с.

24. Келли, Дж. Общая топология / Дж. Келли. — М.: Наука, 1981. — 432 с.

25. Кобаяси, Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии / Ш. Кобаяси. — М.: Наука, 1986. 224 с.

26. Кобаяси, Ш. Основы дифференциальной геометрии. Т. 1 / Ш. Кобаяси, К. Номидзу. — М.: Наука, 1981. — 344 с.

27. Кобаяси, Ш. Основы дифференциальной геометрии. Т. 2 / Ш. Кобаяси, К. Номидзу. — М.: Наука, 1981. — 416 с.

28. Косневски, Ч. Начальный курс алгебраической топологии / Ч. Коснев-ски. М.: Мир, 1983. — 302 с.

29. Лаптев, Б. Л. Дифференцирования Ли / Б. Л. Лаптев // Итого науки / ВИНИТИ: Алгебра. Топология. Геометрия. 1965. М., 1967. — С. 429−465.

30. Малахальцев, М. А. Структуры многообразия над алгеброй дуальных чисел на торе / М. А. Малахальцев // Труды геом. семин. Казанск. ун-т, 1994. — № 22. — С. 47−62.

31. Мищенко, А. С. Дифференциальная геометрия и топология / А. С. Мищенко, А. Т. Фоменко. М.: Изд-во Моск. ун-та. — 1980. — 439 с.

32. Номидзу, К. Группы Ли и дифференциальная геометрия / К. Номидзу.- М.: ИЛ, 1960. 128 с.

33. Норден, А. П. Пространства декартовой композиции / А. П. Норден // Известия вузов. Математика. 1963. — № 4(35). — С. 117−128.

34. Норден, А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. М.: Наука, 1976. — 431 с.

35. Петров, А. 3. Классификация пространств, определяемых полями тяготения по группам движений / А. 3. Петров // Успехи матем. наук, 1956. — № 4. С. 181−182.

36. Рашевский, П. К. Симметрические пространства аффинной связности / П. К. Рашевский // Труды семин. по вект. и тенз. анализу. Вып. 8, 1950. С. 82−92.

37. Рашевский, П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ / П. К. Рашевский. — М.: Гос. изд-во технико-теорет. литер., 1953. 363 с.

38. Синюков. Н. С. Геодезические отображения римановых пространств / Н. С. Синюков. М.: Наука, 1979. — 256 с.

39. Султанов, А. Я. О максимальной размерности интранзитивных групп движений пространств аффинной связности / А. Я. Султанов // Движения в обобщенных пространствах: Межвузовский сборник научных трудов. -Пенза, 2000. С. 79−80.

40. Султанов, А. Я. Аффинные преобразования многообразий с линейной связностью и автоморфизмы линейных алгебр / А. Я. Султанов // Известия вузов. Математика. 2003. — № И. — С. 77−81.

41. Схоутен, И. А.

Введение

в новые методы дифференциальной геометрии / И. А. Схоутен, Д. Дж. Стройк. — М.: Гос. изд-во иност. лит-ры, 1948. -Т. 2. 348 с.

42. Фоменко, А. Т. Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы / А. Т. Фоменко. М.: МГУ, 1983. — 217 с.

43. Шапуков, Б. Н. Связности на дифференцируемых расслоениях./ Б. Н. Шапуков // Итоги науки и техники / ВИНИТИ. Т. 15: Проблемы геометрии. — М., 1983. — С. 61−93.

44. Шапуков, Б. Н. Производная Ли на расслоенных многообразиях / Б. Н. Шапуков // Итоги науки и техники / ВИНИТИ. Т. 73: Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. — М., 2002. -С. 103−134.

45. Широков, П. А. Избранные работы по геометрии / П. А. Широков. -Казань: изд-во Казанск. ун-та, 1966. 442 с.

46. Шурыгин, В. В. Многообразия над алгебрами и их применение в геометрии расслоений струй / В. В. Шурыгин // Успехи матем. наук. 1993. -Т. 48. — № 2(290). — С. 75−106.

47. Шурыгин, В. В. Гладкие многообразия над локальными алгебрами и многообразия Вейля / В. В. Шурыгин // Итоги науки и техники / ВИНИТИТ. 73: Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры.- М., 2002. С. 162−236.

48. Эйзенхарт, Л. П. Непрерывные группы преобразований / Л. П. Эйзен-харт. М.: ИЛ, 1947. — 359 с.

49. Эйзенхарт, Л. П. Риманова геометрия / Л. П. Эйзенхарт. М.: ИЛ, 1948 -316 с.

50. Cartan, Ann. scient. Ecole norm, super / E. Cartan, 1923 T. 40 — Pp. 325−412,.

51. Weyl, Raum, Zeit, Materie / H. Weyl // 5 Aufl., В., 1923,.

52. Yano, К. The theory of Lie derivatives and its applications / K. Yano // Amsterdam: North-Holland. 1957. — 299 pp. Публикации автора по теме диссертации.

53. Моргун, М. В. Некоторые свойства прямого произведения линейных связностей / М. В. Моргун // Движения в обобщенных пространствах: Межвуз. сб. научн. тр. — Пенза: ПГПУ, 2005, С. 84−90.

54. Моргун, М. В. О прямом произведении линейных связностей / М. В. Моргун // Труды Математического центра им. Н. И. Лобачевского. — Казань: Изд-во Казанского матем. общества, 2005. — Т. 31. — С. 104−106.

55. Моргун, М. В. О размерностях алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямых произведений пространств аффинной связности / М. В. Моргун // Вестник Чувашского гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева. — Чебоксары, 2006. — С. 112−117.

56. Моргун, М. В. Об алгебрах Ли аффинных векторных полей вещественных реализаций голоморфных линейных связностей / М. В. Моргун, А. Я. Султанов // Известия вузов. Математика. — 2008. — № 4. — С. 59−65.