Связности на оснащенных многомерных поверхностях в конформном пространстве

1. Исторический обзор

Конформным гс-мерным пространством Сп называется /2-мерное евклидово пространство Еп, дополненное одной бесконечно удаленной точкой, в котором группа? конформных преобразований является фундаментальной. Образующими элементами конформного пространства являются гиперсферы евклидова пространства Еп, в частности, точки как гиперсферы нулевого радиуса и гиперплоскости как гиперсферы, проходящие через несобственную точку.

Конформно-дифференциальная геометрия трехмерного пространства зародилась внутри классической дифференциальной геометрии в конце XIX века в работах Дарбу, Рибокура и других геометров. В начале XX века появился ряд работ, в которых рассматривался вопрос о том, как преобразуются важнейшие дифференциальные инварианты и инвариантные квадратичные формы при конформных преобразованиях пространства. К работам этого направления относятся исследования Фосса, Роте, Огура, Фубини и других геометров. Обзор работ этого направления содержится в статье Бер-вальда [94] в математической энциклопедии (1927 г.).

В отличие от аффинной и проективной дифференциальных геометрий конформная дифференциальная геометрия несколько отстала в своем развитии. Это объясняется тем, что в работах по аффинной и проективной дифференциальным геометриям с самого начала использовались естественные для этих геометрий координаты — аффиниые и проективные, а при изучении вопросов конформной дифференциальной геометрии исследования велись в прямоугольной декартовой системе координат.

В 1924 г. появляется работа Томсена [109], в которой для изучения конформно-дифференциальной геометрии поверхностей применяются пен-тасферические координаты и тензорное исчислениек этому направлению относится также работа Вессио [110]. В 1929 г. выходит книга Бляшке [95], написанная им совместно с Томсеном, в которой дифференциальная геометрия трехмерного конформного пространства рассматривается одновременно с дифференциальной геометрией пространства Лагерра и пространства, фундаментальной группой которого служит группа сферических преобразований С. Ли. К этому направлению исследований относятся также работы Т. Такасусвои результаты в области дифференциальной геометрии сфер Такасу изложил в трехтомной монографии, первый том которой, вышедший в 1938 г. [108], посвящен конформной геометрии.

В работе [98] Э. Картан вводит понятие «-мерного пространства конформной связности. В это же время теория многомерных пространств конформной связности разрабатывается в работах Т. И. Томаса, И. М. Томаса и ряда других геометров. В работах С. Сасаки [106], [107] в 1939;40 гг. развивается теория кривых и гиперповерхностей в пространстве конформной связности.

К. Яно в работах [112], [ИЗ] изучает конформную геометрию тмерной поверхности в лмерном римановом пространстве, строит инвариантные тензоры, связанные с ее окрестностью второго порядка. А. Фиал-ков [103] в 1944 г. построил полную систему конформно-инвариантных тензоров тмерной поверхности пмерного риманова пространства.

Однако в большинстве перечисленных работ конформно-дифференциальная геометрия многомерных поверхностей строится средствами евклидовой и римановой геометрий. Это сильно осложняет геометрическое истолкование полученных результатов.

Новый этап в развитии конформно-дифференциальной геометрии связан с работами отечественных геометров. Здесь можно выделить три основных направления. Первое из них связано с применением к конформной геометрии общей теории образов симметрии в однородных пространствах, развитой Б. А. Розенфельдом в работах [66], [67], второе — с применением к конформной геометрии общей теории нормализованных поверхностей, развитой А. П. Норденом в работах [55]—[59], третье — с применением к конформной геометрии общей теории многообразий в однородных пространствах и в пространствах со связностями, развитой Г. Ф. Лаптевым в работах [40], [42].

Метод Г. Ф. Лаптева был применен М. А. Акивисом [1], [2], [93] к построению основ инвариантной теории гиперповерхностей, /"-мерных поверхностей «-мерного конформного и псевдоконформного пространств.

В работах [55], [56], [58], [59], а также в совместной с Г. В. Бушмано-вой работе [8] А. П. Норденом получены существенные результаты по конформно-дифференциальной геометрии различных подмногообразий.

В работах А. В. Столярова [70], [72], [73], [75]—[81], научные результаты в которых вошли в его монографии [71], [74], изучается внутренняя геометрия ряда подмногообразий конформного пространства Сп и пространства конформной связности Сщт оснащенных в том или ином смысле.

В работе [84] В. Д. Третьяков в псевдоконформном пространстве 1Сп рассматривает поверхность Ут, нормализованную гармонически (по А. П. Нордену [55]) — приводятся деривационные уравнения для этой поверхности, изучаются частные типы таких поверхностей.

И. В. Парнасский [62] в полуконформном пространстве [68] рассматривает т-мерную поверхность Утпоказано, что при соответствующем оснащении на поверхности Ут индуцируется полуконформная связность в смысле [61].

Л. Ф. Филоненко в своих работах [85], [86], исходя из геометрии квадратичной гиперполосы в /7-мерном проективном пространстве Р, г, рассматривает распределение ш-мерных линейных элементов в (и-1)-мерном конформном пространстве, используя, в основном, его проективную интерпретацию. Значительное внимание уделяется возникающим при этом связно-стям.

Исследования А. Н. Михайловой [53], [54] посвящены изучению некоторых вопросов линейных связностей на оснащенной гиперполосе конформного пространства.

Т. Н. Глухова (Андреева) [14]—[21], [71, гл. IV] рассматривает линейные связности (аффинные, конформные, нормальные), индуцируемые различными оснащениями гиперповерхности в конформном пространстве, а также находит приложение аффинных связностей к изучению сетей на гиперповерхности в конформном пространстве.

В работах [49], [50] А. М. Матвеевой вводится понятие сферического распределения гиперплоскостных элементов (А0,Ьп{) в конформном пространстве Сп. Статьи [47],[51] А. М. Матвеевой посвящены изучению пространств Ап пх, Ап 1 аффинных связностей, индуцируемых полным оснащением соответственно распределений гиперплоскостных элементов Ьпх и^{одномерных} линейных элементов, ортогональных Ьп. В работах [48], [52] разработаны основы теории гиперполосного распределения т-мерных линейных элементов (то есть неголономной гиперполосы) в конформном пространстве Сп и указаны пути ее приложения.

В статье М. А. Акивиса [5] приведен обстоятельный обзор большого числа работ по конформно-дифференциальной геометрии различных подмногообразий, вышедших в свет до 1964 г. В 1996 г. в США вышла монография М. А. Акивиса и В. В. Гольдберга «Конформно-дифференциальная геометрия и ее обобщения» [93], где приводится систематическое изложение вопросов дифференциальной геометрии различных подмногообразий в конформных и псевдоконформных пространствах, дифференцируемых многообразий конформной структуры и т. д.- по этой теме в монографии приведена обширная библиография.

В 2008 г. А. В. Столяров в работе [82] приводит обзор материалов, освещенных в РЖМат за 40 лет (1969—2008 гг.) и относящихся к теории подмногообразий в конформном пространстве Сп (псевдоконформном !С&bdquoиндекса 0 или собственно конформном, / = 0).

В дифференциальной геометрии важное место занимает теория связностей в расслоенных пространствах, а также ее применение при исследовании оснащенных подмногообразий, погруженных в различные пространства.

История теории связностей начинается с 1917 г. с работы Т. Леви-Чивита [105] о параллельном перенесении вектора в римановой геометрии.

В 1918 г. Г. Вейль [111] для построения единой теории поля ввел понятие пространства аффинной связности. Дальнейшее обобщение дал в 1920 г. Р. Кэниг [104], рассматривая линейную связность в векторном расслоении над областью числового пространства.

Новый этап в развитии теории связностей открыли работы Э. Картана [39] в 20-х годах XX века, в которых касательные векторные пространства заменялись аффинными, проективными или конформными пространствами.

Следующий этап в развитии теории связностей начался в 1950 г., когда В. В. Вагнер [10], [И] и Ш. Эресман [101] независимо друг от друга ввели общее понятие связности в расслоенном пространстве. Изложение Вагнера является локальным и выполнено классическими методами. Обзор дальнейшего развития теории связностей излагается в работе Ю. Г. Лумисте [43].

Для изучения геометрии многомерных поверхностей проективного пространства и других однородных пространств, фундаментальная группа которых является подгруппой проективной группы, А. П. Норден разработал метод нормализации[55], [56], [58], [59]. Метод нормализации позволил в касательных расслоениях подмногообразий проективного пространства индуцировать аффинные связности без кручения. П. А. Широков и А. П. Широков исследовали локальное строение подмногообразия в аффинном пространстве с помощью аффинной связности в касательном расслоении [92].

Новый инвариантный аналитический метод дифференциально-геометрических исследований многообразий, вложенных в однородные пространства и в пространства с фундаментально-групповой связностью, был развит Г. Ф. Лаптевым [40]. При этом задача сводится к изучению геометрии подмногообразия посредством исследования дифференциально-геометрических структур, индуцированных полями фундаментальных, охваченных и оснащающих объектов подмногообразия. Г. Ф. Лаптев [40], следуя идеям Э. Картана [39], линейные связности определяет как множества отображений бесконечно близких слоев расслоения, соответствующих касательным векторам базисного многообразияэти отображения должны быть согласованы с действием структурной группы на расслоении (теорема Картана — Лаптева).

Связность, определяемую в нормальном расслоении подмногообразия евклидова пространства или пространства постоянной кривизны, ввел Э. Картан в 1926;1927 гг. Подмногообразия с нулевым кручением (то есть с плоской нормальной связностью) исследовали почти одновременно Д. И. Перепелкин [63] и Фабрициус-Бьерре [102], а также Э. Картан в 1936 г. Нормальная связность привлекла внимание в связи с исследованиями подмногообразий с параллельным полем вектора средней кривизны в пространстве постоянной кривизны. Одним из дополнительных условий, которое часто ставили при этом, являлось условие, чтобы нормальная связность была плоская. Получены далеко идущие результаты об изучаемых подмногообразиях. Обзор исследований этого направления дан в [44], [45].

Понятие нормальной связности нормализованного подмногообразия в проективном пространстве ввели А. П. Норден в работе [55] (внешняя связность) и А. В. Чакмазян [91]. Большой вклад в развитие теории нормальных связностей внес А. В. Чакмазян [88]- в указанной работе он изучает локальное строение подмногообразия в одном из классических однородных пространств (именно, в проективном, аффинном и проективно-метрическом пространствах) с привлечением связностей в нормальных расслоениях.

В отечественной и зарубежной математической литературе появилось много работ, в которых изучаются вопросы теории связностей в нормальных расслоениях подмногообразий в пространствах постоянной кривизныобзор исследований подмногообразий с плоской нормальной связностью в пространствах постоянной кривизны дан в работах Чена [99] и Ю. Г. Лумисте [44]. В работах [45], [46] дается сводное изложение результатов Ю. Г. Лумисте и А. В. Чакмазяна, относящихся к изучению строения подмногообразия пространства постоянной кривизны, допускающего поле нормальных^{-направлений,} параллельное в нормальной связности подмногообразия. Чен и Яно [100] изучают подмногообразия ¥-т риманова пространства Уп с параллельным /7-мерным подрасслоением нормального расслоенияМ. А. Аки-вис и А. В. Чакмазян [4] исследуют геометрию Ут с плоской нормальной связностью в евклидовом пространстве Еп.

1. Акивис М. А. Инвариантное построение геометрии гиперповерхности конформного пространства / М. А. Акивис // Матем. сб. -М., 1952.-Т. 31.-№ 1.-С. 43−75.

2. Акивис М. А. К конформно-дифференциальной геометрии многомерных поверхностей / М. А. Акивис // Матем. сб. — М., 1961. -Т. 53.-№ 1.-С. 53−72.

3. Акивис М. А. О гиперполосах кривизны в евклидовом пространстве/ М. А. Акивис, М. А. Василян // Ткани и квазигруппы. -Калинин: Калининский госун-т, 1980. С. 104−109.

4. Акивис М. А. О подмногообразиях евклидова пространства с плоской нормальной связностью / М. А. Акивис, А. В. Чакмазян // Докл. АН АрмССР. 1976. — Т. 62. — № 2. — С. 75−81.

5. Акивис М. А. Конформно дифференциальная геометрия / М. А. Акивис // Итоги науки. Геометрия (1963) / ВИНИТИ АН СССР. — М., 1965.-С. 108−137.

6. Базылев В. Т. К геометрии плоских многомерных сетей / В. Т. Базылев // Уч. зап. Моск. гос. пед. ин-та им. В. И. Ленина, 1965. — JVb 243. — С. 29−37.

7. Базылев В. Т. О сетях на многомерных поверхностях проективного пространства / В. Т. Базылев // Изв. вузов. Математика.1966.-№ 2.-С. 9−19.

8. Бушманова Г. В. Элементы конформной геометрии / Г. В. Бушманова, А. П. Норден. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1972. -178 с.

9. Вагнер В. В. Теория поля локальных гиперполос / В. В. Вагнер // Тр. семин. по векторн. и тензорн. анализу. МГУ, 1950. — Вып. 8. -С. 197−272.

10. Вагнер В. В. Обобщенные тождества Риччи и Бианки для связности в составном многообразии / В. В. Вагнер // ДАН СССР. 1945. -№> 8.-С. 335−338.

11. Вагнер В. В. Теория составного многообразия / В. В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. — М.: МГУ, 1950. — Вып. 8.-С. 11−72.

12. Василян М. А. Об инвариантном оснащении гиперполосы / М. А. Василян 11 Докл. АН АрмССР. 1970. — Т. 50. — № 2. — С. 65−70.

13. Василян М. А. Проективная теория многомерных гиперполос / М. А. Василян // Изв. АН Арм. ССР. Матем. 1971. — Т. 6. — № 6. -С. 477−481.

14. Глухова (Андреева) Т. Н. Аффинные связности на нормально оснащенной гиперповерхности конформного пространства / Т. Н. Глухова (Андреева) // Вестник Чувашек, гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева. -Чебоксары, 2004. № 1. — С. 3−9.н.

15. Глухова (Андреева) Т. Н. Конформно-дифференциальная геометрия сетей на гиперповерхности / Т. Н. Глухова (Андреева) // ВИНИТИ РАН. М., 2004. — № 744. — В2004. — 18 с.

16. Глухова (Андреева) Т. Н. Конформные и аффинные связности, индуцируемые полным оснащением гиперповерхности конформного пространства / Т. Н. Глухова (Андреева) // ВИНИТИ РАН. М., 2004. -№ 1369. — В2004. — 18 с.

17. Глухова (Андреева) Т. Н. Нормальные связности на гиперповерхности конформного пространства / Т. Н. Глухова (Андреева) // ВИНИТИ РАН. М., 2005. — № 379. — В2005. — 23 с.

18. Глухова (Андреева) Т. Н. Внутренняя геометрия сетей на гиперповерхности конформного пространства / Т. Н. Глухова (Андреева) // Изв. вузов. Математика. -2005. № 10. — С. 78−82.

19. Глухова Т. Н. Линейные связности, индуцируемые полным оснащением гиперповерхности конформного пространства / Т. Н. Глухова // Изв. вузов. Математика. 2005. — № 11. — С. 74−77.

20. Глухова (Андреева) Т. Н. Нормальные связности, индуцируемые оснащенной гиперповерхностью конформного пространства / Т. Н. Глухова // Изв. вузов. Математика. 2008. — № 6. — С. 84−87.

21. Евтушик Л. Е. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / Л. Е. Евтушик и др. // Итоги науки и техн. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1979. — Т. 9. — 246 с.

22. Зверева Т. В. Аффинные связности, индуцируемые нормальным оснащением гиперповерхности пространства конформной связности / Т. В. Зверева // ВИНИТИ РАН. М., 2009. — 14 с. — № 144 — В2009Деп.

23. Зверева Т. В. Конформные связности, индуцируемые касательным оснащением гиперповерхности пространства конформной связности / Т. В. Зверева // ВИНИТИ РАН. М., 2009. — 12 с. — № 231 — В2009Деп.

24. Зверева Т. В. Нормальные связности на гиперповерхности в пространстве конформной связности / Т. В. Зверева // ВИНИТИ РАН. М., 2009.-10 с.-№ 331 — В2009Деп.

25. Зверева Т. В. Аффинные связности на гиперповерхности пространства конформной связности / Т. В. Зверева // Материалы XLVII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика. — Новосибирск, 2009. С. 96−97.

26. Зверева Т. В. Нормальные связности, индуцируемые нормальным оснащением гиперповерхности F", cz Спм / Т. В. Зверева // Научноинформационный вестник докторантов, аспирантов, студентов. — Чебоксары: ЧГПУ им. И. Я. Яковлева. 2009. — № 1(13). — С. 8−15.

27. Зверева Т. В. Сети на поверхностях в конформном пространстве / Т. В. Зверева // ВИНИТИ РАН. М., 2009. — 24 с. — № 722 — В2009Деп.

28. Зверева Т. В. Внутренняя геометрия сетей на многомерной поверхности конформного пространства / Т. В. Зверева // Известия вузов. Матем. Казань, 2010. — № 5. — С. 83−87.

29. Зверева Т. В. Нормальные связности, индуцируемые оснащением поверхности конформного пространства / Т. В. Зверева // ВИНИТИ РАН. -М., 2010. 22 с. — № 236 — В2010Деп.

30. Картан Э. Пространства аффинной, проективной и конформной связности / Э. Картан. — Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1962. 210 с.

31. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий / Г. Ф. Лаптев // Труды Моск. матем. о-ва. 1953. — Т. 2. -С. 275−382.

32. Лаптев Г. Ф. Многообразия, погруженные в обобщенные пространства / Г. Ф. Лаптев // Труды 4-го Всес. матем. съезда (1961). -Ленинград, 1964. Т. 2. — С. 226−233.

33. Лаптев Г. Ф. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований / Г. Ф. Лаптев // Труды 3-го Всес. матем. съезда. М., 1958. — Т. 3. — С. 409¹¹⁸.

34. Лумисте Ю. Г. Теория связностей в расслоенных пространствах / Ю. Г. Лумисте // Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия / ВИНИТИ АН СССР. — М., 1971.-С. 123−168.

35. Лумисте Ю. Г. Подмногообразия с параллельным нормальным векторным полем / Ю. Г. Лумисте, А. В. Чакмазян // Известия вузов. Матем. Казань, 1974. — № 5. — С. 148−157.

36. Матвеева А. М. Линейные связности на оснащенном распределении гиперплоскостных элементов в конформном пространстве / А. М. Матвеева // Известия вузов. Матем. Казань, 2008. — № 7. — С. 79−84.

37. Матвеева А. М. Поля фундаментальных геометрических объектов и аффинные связности на гиперполосном распределении конформногопространства / A. M. Матвеева // ВИНИТИ РАН. М., 2007. — № 972. -В2007. —17 с.

38. Матвеева А. М. Аффинные связности, индуцируемые полным оснащением взаимно ортогональных распределений конформного пространства / А. М. Матвеева // ВИНИТИ РАН. М., 2006. — 16 с. -№ 395. — В2006Деп.

39. Матвеева А. М. Линейные связности на оснащенной неголономной гиперполосе конформного пространства / А. М. Матвеева // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Чебоксары, 2007. — Т. 1. — № 3 (55). — С. 48−55.

40. Михайлова А. Н. Аффинные связности и сети на нормально оснащенной гиперполосе конформного пространства / А. Н. Михайлова // ВИНИТИ РАН. -М., 2001. -№ 1950.-В2001. 14 с.

41. Михайлова А. Н. Линейные связности на частично оснащенной гиперполосе конформного пространства / А. Н. Михайлова // ВИНИТИ РАН. М, 2001. — № 719. — В2001. — 19 с.

42. Норден А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. — М.: Наука, 1976.-432 с.

43. Норден А. П. О нормализованных поверхностях конформного пространства / А. П. Норден // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1950. -Т. 14.-№ 2.-С. 105−122." .

44. Норден А. П. Аффинная связность на поверхностях проективного пространства / А. П. Норден // Матем. сб. М., 1947. — Т. 20. — № 2. -С. 263−280.

45. Норден А. П. О нормализованных поверхностях пространства Мебиуса / А. П. Норден // ДАН СССР. 1948. — Т. 61. — № 2. — С. 207−210.

46. Норден А. П. Конформная интерпретация пространства Вейля / А. П. Норден // Матем. сб. М., 1949. — Т. 24. — № 1. — С. 75−85.

47. Остиану H. М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия / H. М. Остиану // Rev. math, pures et appl. (RPR). — 1962. -T. 7. — № 2. C. 231−240.

48. Парнасский И. В. Об одном аналоге пространства конформной связности / И. В. Парнасский // Изв. вузов. Математика. — 1971. — № 12. — С. 109−114.

49. Парнасский И. В. Связность на /"-поверхностях полуконформного пространства / И. В. Парнасский // В сб. «Геометрия». —Л., 1976. — Вып. 5 — С. 95−100.

50. Перепелкин Д. И. О параллельных подмногообразиях в евклидовом (или римановом) пространстве / Д. И. Перепелкин // ДАН СССР. 1935. — С. 593−598.

51. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ / П. К. Рашевский. М.: Наука, 1967. — 664 с.

52. Розенфельд Б. А. Многомерные пространства / Б. А. Розенфельд — М.: Наука, 1966.-648 с.

53. Розенфельд Б. А. Дифференциальная геометрия образов симметрии / Б. А. Розенфельд // ДАН СССР. 1948. — Т. 59. — № 6. -С. 1057−1060.

54. Розенфельд Б. А. Метрика и аффинная связность в пространствах плоскостей, сфер и квадрик / Б. А. Розенфельд // ДАН СССР. 1947." -Т. 57.-№ 6.-С. 543−546.

55. Розенфельд Б. А. Неевклидовы пространства / Б. А. Розенфельд. — М.: Наука, 1969.-549 с.

56. Смирнов Р. В. Преобразования Лапласа р-сопряженных систем / Р. В. Смирнов // ДАН АН СССР. 1950. — Т. 71. -№ 3. — С. 437−439.

57. Столяров А. В. Пространство проективной связности Р"/г+1,снабженное полем локальных гиперквадрик Дарбу / А. В. Столяров // Тр. Калинингр. ун-та «Дифф. геом. многообразий фигур». — 2005. Вып. 36. -С. 79−84.

58. Столяров А. В. Конформно-дифференциальная геометрия оснащенных многообразий / А. В. Столяров, Т. Н. Глухова. — Чебоксары: Чувашек, гос. пед. ун-т, 2007. — 180 с.

59. Столяров А. В. Пространство конформной связности / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. Казань, 2006. — № 11. -С. 42−54.

60. Столяров А. В. Внутренняя геометрия нормализованного конформного пространства / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. -Казань, 2002. № 11. — С. 61−70.

61. Столяров А. В. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований и его приложения / А. В. Столяров — Чебоксары: Чувашский гос. пед. ун-т, 2002. — 204 с.

62. Столяров А. В. Линейные связности на распределениях конформного пространства / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. — Казань, 2001. № 3. — С. 60−72.

63. Столяров А. В. Оснащения и аффинные связности на распределениях конформного пространства / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. Казань, 2002. — № 5. — С. 52−60.

64. Столяров А. В. Нормализованное конформное пространство / А. В. Столяров // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. — Калининград: Калинингр. гос. ун-т, 2002. Вып. 33. — С. 93−99.

65. Столяров А. В. Линейные связности, индуцируемые нормализацией конформного пространства / А. В. Столяров // Вестник Чувашек, гос. пед. ун-та. 2002. — № 6. — С.3−10.

66. Столяров А. В. Конформно дифференциальная геометрия плоских ортогональных сетей / А. В. Столяров // Изв. вузов. Математика. — 2004.-№ 10.-С. 61−70.

67. Столяров А. В. Внутренняя геометрия плоских сетей в конформном пространстве / А. В. Столяров // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград: Калинингр. гос. ун-т, 2004. — Вып. 35. — С. 129−136.

68. Столяров А. В. Внутренняя геометрия нормализованного пространства конформной связности / А. В. Столяров // Вестник. Чуваше к. гос. пед. ун-та. 2005. — № 2. — С.55−62.

69. Столяров А. В. Исследования по конформно-дифференциальной геометрии за 40 лет (1969;2008 гг.) / А. В. Столяров // ВИНИТИ РАН. М., 2008. — 54 с. — № 855. — В2008Деп.

70. Схоутен И. А.

Введение

в новые методы дифференциальной геометрии / И. А. Схоутен, Д. Дж. Стройк. Т. 2. (Геометрия). — М.: ИЛ., 1948.-348 с.

71. Третьяков В. Д. К вопросу о гармонических нормализациях поверхностей в конформно-евклидовых пространствах / В. Д. Третьяков // Волжск, матем. сб. 1968. — Вып. 6. — С. 247−253.

72. Филоненко Л. Ф. Квадратичная гиперполоса и нормальные связности подмногообразия конформного пространства: Ученые записки Тарт. ун-та/Л. Ф. Филоненко. 1988. — № 803.-С. 115−131.

73. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии / С. П. Фиников // ГИТТЛ. — 1948. 432 с.

74. Чакмазян А. В. Нормальная связность в геометрии подмногообразий: Монография / А. В. Чакмазян. — Ереван: Армянск. пед. ин-т, 1990.-116 с.

75. Чакмазян А. В. Двойственная нормализация / А. В. Чакмазян // ДАН Арм. ССР. 1959. — Т. 28. — № 4. — С. 151−157.

76. Чакмазян А. В. Связность в нормальных расслоениях нормализованного подмногообразия Vm в Р&bdquo- / А. В. Чакмазян // Пробл. геом.: Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР. М., 1978. — Т. 10. -С. 55−74.

77. Чакмазян А. В. Подмногообразия проективного пространства с параллельным подрасслоением нормального расслоения / А. В. Чакмазян / Казанское мат. об-во. 150 лет неевклидовой геометрии // Материалы Всес. геометр, конференции. — Казань, 1976. С. 209.

78. Широков П. А. Аффинная дифференциальная геометрия / П. А. Широков, А. П. Широков. М.: ГИФ-МЛ, 1959. — 320 с.

79. Akivis М. A. Conformal differential geometry and its generalizations / M. A. Akivis, V. V. Goldberg. USA, 1996. — 384 p.

80. Bervald L. Differential invarianten in der Geometrie. Enzuclopadie der Mathematischen Wissenschaften / L. Bervald. 1927. — Bd. III. — Heft 7. -S. 73−121.

81. Blaschke W. Vorlesungen uber Differentialgeometrie. III / W. Blaschke // Differential-geometrie der Kriese und Kugeln. Berlin, 1929.

82. Bortolotti E. Connessioni nelle varieta luogo di spaziapplicazione alia geometria metrica differenziale delle congruanze di rette / E. Bortolotti // Rond. Semin. Fac. Sei Univ. Cagliari. 1933. — V. 3. — P. 81−89.

83. Cartan E. Les espases a connexion projective / E. Cartan // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. — М.: МГУ- 1937. — Вып. 4.-С. 147−159.

84. Cartan Е. Les espaces a connexion conforme / Е. Cartan // Ann. Soc. Polon.math.- 1923.-2.-P. 171−211.

85. Chen Bang Yen. Geometry of submanifolds / Chen Bang — Yen. — New york, Marseille, Dakar, 1973. — X. — 308 p.

86. Chen Bang Yen. Submanifolds umbilical with respect to a nonparallel normal subbundle / Chen Bang — Yen, Yano Kentaro // Kodai Math. Semin. Repts. — 1973. — 25. — № 3. — P. 289−296.

87. Ehresmann С. Les connections infinitesimales dans un espace fibre differentiable / C. Ehresmann // Collque de Topologie. — Bruxelles, 1950. — P. 29−55.

88. Fabricius-Bierre F. Sur varietes a torsion nulle / F. Fabricius-Bierre // Acta math. 1936. — S. 49−77.

89. Fialkov A. Conformal differential geometry of a subspace / A. Fialkov // Trans, Amer. Math. Soc. 1944. — 56. — 309³³.

90. Konig R Beitrage zu einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehr / R. Konig // Jahresb. D. Deutsch. Math. Ver. 1920. — 28. — 28. — P. 213−228.

91. Levi-Civita T. Nozioni di parallelismo in una varieta qualunque e conseguente speeifieazione geometrica della curvature Riemanniana / T. Levi-Civita // Rend. circ. Matern. Palermo, 1917. — P. 173−205.

92. Sasaki S. On the theory of curves in a curved conformal space / S. Sasaki 11 Sei. Repts. Tohoku-Univ. -1939. 27. — P. 392−409.

93. Sasaki S. On the theory of surfaces in a curved conformal space / S. Sasaki // Sei. Repts. Tohoku Univ. 1940. — 28. — P. 261−285.

94. Takasu T. Differentialgeometrien in der Kugelraumen. I. / Т. Takasu // Konforme Differentialgeometrie von Lioville und Mobius. Tokyo, 1938.tr.

95. Thomsen G. Uber konforme Geometrie I. Grundlagen der konformen Flachentheorie / G. Thomsen //Abhandl math. Semin. Univ. Humburg, 1924. — 3.-P. 31−56.

96. Vessiot E. Contribution a la geometrie conforme. Theorie des surfaces / E. Vessiot // Buii. Soc. Math. France. 1926. — 54. — P. 139−179- - 1927. — 55. -P. 39−79.

97. Weyl H. Raum. Zeit, Materie. Berlin: Springer, 1923.

98. Yano K. Sur les equation de Gauss dans la geometrie conforme des espaces de Riemann / K. Yano // Proc. Imp. Akad. Japan. 1939. — 15. — 247−252.

99. Yano K. Sur les equation de Codazzi dans la geometrie conforme des espaces de Riemann / K. Yano // Proc. Imp. Akad. Japan. 1939. — 15. — 340—344.

100. Zvereva T. Translated directions in the normal connection on the surface of the conformal space / T. Zvereva // Тезисы докладов международной конференции «Геометрия в Одессе 2010». — Одесса. — 2010.-С. 95.