Гомологические и геометрические свойства граф-многообразий

0.1. Теория римановых многообразий неположительной секционной кривизны является активно развивающейся областью современной геометрии. В части этой теории, относящейся к размерности три, особую роль играют граф-многообразия. Первое описание граф-многообразий появилось в 60-х годах в работах Ф. Вальдхаузена [28, 30]. После того, как У. Терстон сформулировал свою знаменитую гипотезу о геометризации [16, 3.45], а также инициировал изучение мультипликативных инвариантов трехмерных многообразий [16, 3.16], граф-многообразия стали предметом активного изучения и в этом контексте [17, 18, 31, 33]. Отметим также работы А. Фоменко с соавторами (см., напр., обзор [1]), в которых трехмерные граф-многообразия исследовались как изоэнергетические поверхности двумерных систем классической механики.

Классическими препятствиями к существованию метрики неположительной секционной кривизны (далее — МРС-метрики) на данном компактном многообразии М3 являются нетривиальность второй гомотопической группы 7Г2(М3) и конечность фундаментальной группы 7Г1(М3). Таким образом, если мы интересуемся КРС-метри-ками, то в области нашего внимания остаются неприводимые многообразия с бесконечной фундаментальной группой. Далее мы предполагаем, что все многообразия являются ориентируемыми и компактными, если не оговорено противное. Основываясь на результатах процитированных выше работ Ф. Вальдхаузена, В. Джейко и П. Шален [12], а также К. Йоханссон [13] показали, что в любом неприводимом многообразии с бесконечной фундаментальной группой существует минимальное семейство существенных торов (возможно пустое), расщепляющее это многообразие на части (называемые максимальными блоками, или просто блоками), которые либо являются пространствами слоений Зайферта, либо геометрически аторичны, то есть не содержат существенных торов, за исключением, возможно, торов, параллельных краю (существуют и геометрически аторичные многообразия, допускающие структуру слоения Зайферта). Такой набор торов называется ^^поверхностью и единственнен, с точностью до изотопии. Неприводимые многообразия, для которых все максимальные блоки допускают структуру слоений Зайферта, являются граф-многообразиями.

Все многообразия, рассматривающиеся в данной работе, являются трехмерными. Поэтому индекс, указывающий на размерность, в 3 дальнейшем опускается.

Пусть компактное неприводимое многообразие М допускает нетривиальное Л8Л-разложение. Если М не является граф-многообразием или край дМ не пуст, то, как показал Либ [17], многообразие М обладает NPC-мeтpикoй. Вопрос о существовании NPC-мeтpики на замкнутых неприводимых граф-многообразиях, которые склеены из пространств с тривиальной структурой слоения Зайферта (прямых произведений поверхности на окружность) был решен С. Бу-яло и В. Кобельским в работах [3, 4]. Необходимое и достаточное условие того, что такое граф-многообразие допускает NPC-мeтpикy, дано в цитированных работах сначала неявно, в терминах разрешимости некоторого уравнения (уравнения геометризации) над графом данного многообразия, а затем и в явном виде, в «спектральных» терминах некоторой матрицы, составленной из топологических инвариантов многообразия.

Неожиданно оказалось, что упомянутое уравнение геометризации управляет не только ИРС-метриками на данном граф-многообразии, но и оказывается ответственным за решение совершенно других, чисто топологических задач.

0.2. Известно, что любая ттинъективная поверхность (то есть поверхность рода д > 1, погруженная так, что индуцированное отображение фундаментальных групп инъективно) эйлеровой характеристики ноль в замкнутом хакеновом многообразии является виртуально вложенной (то есть гомотопна поверхности, поднимающейся до вложения в некотором конечнолистном накрывающем), поэтому погруженная 7Г1 -инъективная поверхность в таком многообразии, не являющаяся виртуально вложенной, должна иметь отрицательную эйлерову характеристику [23]. Первый пример многообразия, содержащего подобную поверхность, был дан в работе [26] и являлся граф-многообразием (заметим, что этот результат, полученный в начале 90-х годов, особо упомянут в сборнике проблем Кирби [16, стр. 101]). В 1998 году В. Нойманом был опубликован препринт (уже вышедший как статья — [23]), в котором решался вопрос «когда данное замкнутое неприводимое граф-многообразие содержит погруженную 7Г1 -инъективную поверхность отрицательной эйлеровой характеристики?» Существование такой поверхности оказалось равносильно разрешимости уравнения, совпадающего с уравнением геометризации. (Различие со случаем С. Буяло и В. Кобельского состоит в расширении класса решений.) В этой же работе В. Нойманом был 4 получен и явный критерий существования упомянутой поверхности в форме, сходной с явным критерием существования ИРС-метрики, то есть в «спектральных» терминах некоторой матрицы, также составленной из топологических инвариантов данного граф-многообразия.

Сравнивая работы [3, 4] и [23], можно выявить следующую схему: свойство граф-многообразия * разностное уравнение над графом данного многообразия спектральные" свойства некоторой матрицы, составленной из инвариантов данного многообразия.

Оказывается, в эту схему полностью укладываются еще несколько свойств неприводимых граф-многообразий.

А именно, скажем, что замкнутое неприводимое граф-многообразие М удовлетворяет свойству 1 т (соотв. Н1 — NPC), если.

1т) М содержитинъективно погруженную поверхность отрицательной эйлеровой характеристики.

Н1) М содержит горизонтально погруженную1 поверхность отрицательной эйлеровой характеристики.

УЕ) Существует такое конечнолистное накрытие М —>• М, что М содержит 7Г1 -инъективно вложенную поверхность отрицательной эйлеровой характеристики.

УЕ) Существует такое конечнолистное накрытие М —" М, что М является расслоением над окружностью с поверхностью отрицательной эйлеровой характеристики в качестве слоя.

Е) М содержит 7Г1 -инъективно вложенную поверхность отрицательной эйлеровой характеристики.

Е) М расслаивается над окружностью с поверхностью отрицательной эйлеровой характеристики в качестве слоя.

РС) М допускает №РС-метрику.

На протяжении последних десяти лет эти свойства изучались различными авторами.

Свойство УЕ. В работе Дж. Люкке и И. Ву [18] было сформулировано топологическое препятствие к тому, чтобы данное граф-мно.

1 Здесь под горизонтальной поверхностью понимается поверхность, трансвер-сальная слоям слоения Зайферта в каждом блоке граф-многообразия. гообразие удовлетворяло этому свойству (это препятствие заключается в положительности введенных в той же работе числовых инвариантов максимальных блоков данного многообразия). В работе [22].

B. Нойманом был доказан неявный критерий, позволяющий опреде-(лить удовлетворяет или нет данное граф-многообразие свойству Л/Т критерий заключается в существовании матрицы- «виртуализатора» с определенными свойствами). В недавней работе [33] также сформулировано простое препятствие к «УР и неявный критерий, подобный критерию В. Ноймана. К анализу этого свойства близко примыкает работа X. Рубинштейна и Ш. Ванга [26], которые дали критерий того, что данная поверхность в граф-многообразии М гомотопна поверхности, поднимающейся до слоя расслоения над окружностью в некотором конечнолистном накрывающем многообразия М (мы используем этот результат в доказательстве своего критерия).

Свойство NPC. Для неприводимых граф-многообразий исчезают все известные препятствия [11] к существованию NPC-мeтpик, то есть все разрешимые подгруппы фундаментальной группы виртуально абелевы и централизаторы виртуально расщепляются. Б. Либом [17] был построен пример замкнутого неприводимого граф-многообразия, которое не допускает NPC-мeтpики. Как уже упоминалось,.

C. Буяло и В. Кобельский в работе [3] получили уравнение геометризации, разрешимость которого над графом данного многообразия равносильна существованию на нем ИРС-метрики. В следующей работе [4] они сформулировали и явный критерий.

Свойства Г и Е. В. Нойман в своей работе [22] привел явные критерии для этих свойств. А именно, вопрос о том, расслаивается ли данное граф-многообразие М над окружностью дается в терминах матрицы формы пересечения во вторых гомологиях пламбингового многообразия для М (четырехмерного гомологического многообразия, ограничиваемого многообразием М).

Однако в формулировке критерия для свойства Е (в тех же терминах) в цитированной работе была допущена ошибка (см. доказательство теоремы IV, в котором приведен контрпример).

Свойство «УЕ. В той же работе [22] В. Нойман доказал сначала неявный критерий для этого свойства (в терминах «виртуализатора»), а затем и явный, в терминах «спектральных» свойств матрицы, составленной из числовых инвариантов многообразия.

Свойство 1 т. Как уже упоминалось, в работе [23] В. Нойманом был получено уравнение, разрешимость которого над графом данно6 го многообразия М равносильна существованию 7Ti—инъективного погружения S -> М поверхности с х (5) < 0. В этой же работе В. Нойман сформулировал и явный критерий.

Стоит отметить, что все указанные свойства многообразий кроме NPC могут быть переформулированы в терминах фундаментальной группы (для свойства F это известный критерий Столлингса, соответствующие ссылки можно найти в [23]).

При том, что техника доказательств в процитированных работах существенно различна, явные критерии для свойств NPC, F, VE, Im, то есть третий уровень предложенной схемы, формулируются в похожих терминах, а именно, в терминах «спектральных» свойств некоторых матриц, составленных из числовых инвариантов многообразий. Это обстоятельство нуждается в объяснении.

В данном контексте упомянутое разностное уравнение на графе (в оригинале — уравнение геометризации), управляющее погруженными поверхностями и NPC-метриками, представляет несомненный интерес. Мы называем это уравнение по имени математиков, независимо его открывших, уравнением Буяло-Кобельского-Ноймана, или БКН-уравнением (см. п. 1.5.2). Важность изучения этого уравнения мотивируется следующими обстоятельствами.

1) Это уравнение естественно возникает в различных топологических и геометрических задачах и, следовательно, имеет фундаментальную важность;

2) при некоторых значениях параметров это уравнение представляет собой уравнение Лапласа на графе, а значит — обобщает его. Более того, БКН-уравнение является дискретным аналогом уравнений Максвелла для заряженной массивной частицы в электромагнитном поле [2];

3) это уравнение имеет обобщение на старшие размерности [6], где оно почти никак не изучено.

0.3. Следуя [5] назовем трехмерное многообразие М без края бесконечным граф-многообразием, если выполняется следующее условие. Найдется бесконечный набор вложенных несжимаемых торов 7″ = |Ге С М} такой, что каждая компонента связности взрезания (splitting) МТ компактна, ориентируема и является пространством слоения Зайферта с ориентируемым орбиобразием слоев, имеющим отрицательную эйлерову характеристику. 7.

В отличии от компактного случая любое бесконечное неприводимое граф-многообразие М обладает метрикой неположительной защемленной кривизны — 1 < К < 0 [5]. Однако, как установлено в той же работе, не всякое бесконечное граф-многообразие допускает NPC-мeтpикy с конечным объемом.

Замечание Здесь и далее термин «КРС-метрика», применяемый к бесконечному граф-многообразию, всегда означает метрику неположительной защемленной кривизны — 1 < К < 0 .

Удобной величиной, характеризующей асимптотическое поведение КРС-метрики на бесконечном граф-многообразии, является функция длин регулярных зайфертовых слоев (см. п. 0.4.2). Если бесконечное граф-многообразие допускает КРС-метрику конечного объема, то, как показано в [5], на этом многообразии существует метрика указанного вида с функцией длин слоев, стремящейся к нулю на бесконечности с произвольной наперед заданной скоростью (в частности, функция длин слоев может быть выбрана квадратично суммируемой на множестве вершин бесконечного графа).

Наряду с многообразиями конечного объема, в теории многообразий неположительной кривизны важную роль играют многообразия, допускающие ИРС-метрику с радиусом инъективности, стремящимся к нулю на бесконечности (см., например, книгу [10]). В нашем контексте это условие означает, что 1У —" 0 при V —>• оо. Однако ни одного примера многообразия ограниченной неположительной кривизны со стремящимся к нулю радиусом инъективности, которое бы не допускало NPC-мeтpик с конечным объемом, до сих пор не было известно.

0.4 Формулировка основных результатов. Прежде чем сформулировать основные результаты работы мы вводим необходимые для этого обозначения.

Мы рассматриваем класс Ш (определение 1.1.2) неприводимых граф-многообразий, который характеризуется тем, что любое многообразие М Е Ш ориентируемо, не имеет края и может быть получено из некоторого (возможно — бесконечного) набора {Мг1 V Е V} компактных пространств слоений Зайферта с ориентируемыми орбиоб-разиями слоев отрицательной эйлеровой характеристики попарным отождествлением их граничных торов {Тш | ии Е И^} = {дМу V Е V}. (Любое неприводимое граф-многообразие имеет двулистное накрывающее класса Ш [3]). Приведенному описанию граф-многообразия М соответствует ориентированный граф Тм{У,?) (см. п. 1.2.1), 8 вершины которого соответствуют максимальным блокам многообразия М, а ориентированные ребра — краевым торам. Именно, ребро IV? соединяет вершину у с вершиной у', если Тш С дМу и Т-уо С дМуI. Множество ориентированных ребер, исходящих из вершины у, обозначается ду С, и если ш? ду, то мы пишем гп~ = V, (—и>)+ = V .

0.4.1 Замечание. Пространство слоения Зайферта с ориентируемым орбиобразием слоев отрицательной эйлеровой характеристики, допускает либо геометрию «по образцу» Н2 хМ, либо геометрию «по образцу» Р5Х2М [9]. Многообразия первого типа обладают всеми свойствами 1 т — NPC, тогда как многообразия второго не обладают ни одним из этих свойств. В дальнейшем по умолчанию предполагается, что все рассматриваемые многообразия имеют нетривиальное ЛБЛ-расщепление, то есть сами не допускают структуры слоения Зайферта.

0.4.2 Компактные граф-многообразия. Фиксируем ориентацию многообразия М и ориентации зайфертовых слоев в его максимальных блоках {Муу? V}, и пусть {/" Е Е V} — гомологические классы (ориентированных) регулярных слоев (регулярные слои в каждом зайфертовом блоке свободно гомотопны друг другу). Наконец, для каждого ги Е IV пусть Е Н (Т^- Ж) — класс слоения на торе, индуцированного из максимального блока МшЗдесь и далее через Т^ обозначается несжимаемый тор в многообразии М, являющийся результатом склеивания краевых торов Тгю и Т^ьи .

Для когомологического класса I Е Л1 (М&bdquo—((])) и ребра ии Е ду положим где ?4: Н1(МУ) —У Н1(Т|г1)|) есть отображение, индуцированное включением: Т^ С дМг —МХ1 .

Определение 1.5.1. Говорят, что набор {1 у.е. Н1 (Му-Щу Е V} когомологических классов согласован, если не все классы нулевые и для любого ребра ъи графа Тм{У, IV) выполняются следующие соотношения:

С1 | (1у>, | ^ IV (/-у)).

С2 равенства = ^(/и) и {1ь, Ъ')го = ?и'(/и') вле~ кут 1*Ш (1У>) = > где V — ии, и' = .

Суть этого определения в следующем. Рассмотрим несжимаемый тор Тш С М, разделяющий блоки Му и Мь>. Пусть 1Ь и 1У* — когомологические классы, в соответствующих блоках. По двойственности Пуанкаре им соответствует относительные классы? Н2(Мчг]дМь) и? V Е Н2(Мьг1дМ%).). Если = (соблюдается условие С2), то соответствующие относительные классы можно реализовать поверхностями, которые «склеятся» на торе Т^. Если же выполняется условие С1, то классы можно представить в виде сумм: = /+ +, ¿-и' = С' + К' так> чт0 паРы СС' И С' удовлетворяют С2. То есть мы можем реализовать соответствующие гомологические классы? V, и? V (погруженными, возможно несвязными) поверхностями, части краев которых на торе Х]^ склеятся между собой (см. доказательство предложения 2.1).

Теорема I. Компактное граф-многообразие М класса 9Л обладает свойством 1 т (соотв. Н1, УЕ, Е, Е, NPCy) если и только если найдется согласованный набор когомологических классов { | V Е V} на максимальных блоках многообразия М (соотв. согласованный и такой, что для любого ребра ни графа Тм{У^) имеем,.

НГ) (Г).

Е) С^) (УЕ) (ИРС) где V = ю~, у' = ъи+).

Доказательство. Утверждения пунктов 1 т, Н1, Е, Е, УЕ, УЕ и NPC следуют из предложений 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.6, 2.7 и 2.8 соответственно. ?

1у{/ь) > 0 и если | > fv^) и> | = (М, то = ±С (М / ф 0 > е: V —>¦ {±1} — некоторая функцияесли Ф, то /"/ = 0 ;

— V (/и) > О М, fv) — w ¦ К1 СМ = (I V 5 ' IV СМ / /и) — ьи «(/и') = 5 /у')&trade- '^ь (/и) — /г,)ш| < и (¿-г,/,/,) — ги «СМ) = (I V) /г/ / го ' Ш,.

Замечание. С. В. Буяло дал близкую формулировку для свойств 1 т, Е, NPC и для свойства «содержать вложенную горизонтальную •поверхность» (неопубликовано) для граф-многообразий класса ЭДТо, то есть склеенных из тривиальных зайфертовых блоков. Он рассматривал наборы гомологических классов на торах склейки и использовал одну из основных конструкций работ [3, 4] — базисы Вальдхау-зена. Теорема I возникла благодаря анализу этих результатов.

БКН-уравнение, вводимое ниже, представляет собой способ описания свойств граф-многообразий, пригодный для практических вычислений и уже требует знания топологических инвариантов. А именно, пусть Г— граф многообразия М. Каждой вершине V? V этого графа мы поставим в соответствие число кь Е (Ц), называемое зарядом, а каждому ребру ю € У/ — целое ненулевое число Ьш Е Ъ 0, называемое индексом пересечения (см. п. 1.3, а также [3, 18, 22]). Граф Тм (У^) вместе с рациональной функцией К: V (К (у) = ку) и целочисленной В: IV Ъ {0} (В (и)) = Ъю =) называется раскрашенным графом и обозначается Х (ГМ', К] В), или Х (М). В этом графе закодирована вся информация о свойствах 1 т — NPC данного граф-многообразия, и любой такой граф отвечает некоторому граф-многообразию [23].

Определение 1.5.2. Пусть М — граф-многообразие класса Ш и Х (Гм{У, Ш) КВ) — его раскрашенный граф. Уравнение.

V—^^Уш (БКН) Кау =.

— я ю 1и Е <?гнад графом Гм{У,]У) с неизвестными {а, у, | V? V, и) Е ]?} называется уравнением Буяло-Кобельского-Ноймана или БКН-уравне-нием.

Нас будут интересовать нетривиальные (не все равны нулю) решения БКН-уравнения, удовлетворяющие следующим двум условиям:

Р1 > 0, < 1 для всех V Е V, ио Е IV и Р2 7″, • 7-ш ^ -1 для всех и)? IV.

Решение {а, 7} БКН-уравнения называется правилънным, если оно нетривиально, удовлетворяет условиям Р1,2 и равенство ау = 0 влечет = 7-^ = 0 для всех из? ди .

Пункты 1 т и NPC следующей теоремы были доказаны в [23] и [3] соответственно.

Теорема II. Компактное многообразие М класса ЯЛ удовлетворяет свойству 1 т (соотв. Н1, УТ, УЕ, Е, Г, NPCy) если и только если БКН-уравнение над графом Гм (V, ]?) имеет правильное решение (соотв. имеет правильное решение {а, 7} - такое, что:

Н1) ау > 0 и = 1 влечет г)1и = 7;

Е) ау > 0 и 7^ = > где е V {±1} — некоторая функция;

Е) если > 0, то = 1 /.

УЕ) > 0 и 7И= 7-ю — (УЕ) = 7ад — (ИРС) ау > 0 и 7″, = 7ги Е (-1- I).

Ллл. есеж и е V, ъи € 1У).

Доказательство. В лемме 1.5.3 доказана равносильность условий 1ш—МРС теоремы I и соответствующих условий теоремы II. Таким образом теорема II следует из теоремы I. ?

Пусть М — компактное многообразие класса Ш1 и X — его раскрашенный граф. В пункте 1.6.1 определены квадратные матрицы Ах, Ау-, Их) состоящие из топологических инвариантов этого многообразия (там же указано авторство). Пункт 1 т следующей теоремы был доказан в работе [23] для граф-многообразий, графы которых не имеют петель. Пункты Е, УЕ также принадлежат В. Нойману [22], а пункт МРС — С. Буяло и В. Кобельскому [4], которые доказали его для граф-многообразий, склеенных из пространств тривиальных слоений Зайферта.

Теорема III. Компактное многообразие М класса с раскрашенным графом X удовлетворяет свойству 1 т (соотв. Н1, УЕ, УЕ, Е, Е, NPCJ тогда и только тогда, когда:

1 т, Н1) либо заряды всех максимальных блоков многообразия М имеют один знак и матрица Аположительно полуопределена и сингулярна, либо матрица имеет отрицательное собственное значение;

Г) матрица Ах суперсингулярна;

Е) раскрашенный граф X имеет такой соизмеримый раскрашенный граф X', что матрица Ах* обладает сингулярной главной подматрицей;

УР) либо матрица Нх положительно полу определена и суперсингулярна, либо она имеет отрицательное собственное значение;

УЕ) либо в многообразии М найдется блок с нулевым зарядом, либо все блоки имеют ненулевые заряды и матрица Нх имеет неположительное собственное значение- (КРС) либо матрица Нх тождественно нулевая, либо она имеет отрицательное собственное значение.

Доказательство. Эта теорема доказана в предложениях 3.1.4, 3.2 — 3.6 (кроме пункта NPC, на доказательство которого дана прямая ссылка). ?

Замечания. Определение положительной полуопределенности, суперсингулярности и соизмеримости см. п. 1.6.3. Условия типа либо — либо в этой теореме являются взаимоисключающими. В работе [22] содержится ошибочное утверждение о свойстве Е — требуется сингулярность самой матрицы Ах ¦

Еще раз отметим, что теорема III полностью оригинальна только в пунктах Е и Л/Т (предложения 3.3 и 3.5 соответственно). Для утверждений пунктов 1 т, Е и УЕ доказательства, данные нами (предложения 3.1.2, 3.2 и 3.6 соответственно) отличаются от оригинальных.

Из теоремы III (как и из теорем I и II) немедленно следует, что соотношения между введенными семью свойствами граф-многообразий можно проиллюстрировать следующей диаграммой импликаций: А.

Е — ^ УЕ — 1 т.

1 Г г.

Р — =>• 1ЛР — => Н1 й.

ИРС.

Следующая теорема показывает нетривиальность и полноту построенной теории.

Теорема IV. Класс граф-многообразий, обладающих свойством 1ш нетривиален и не совпадает с классом всех компактных многообра.

13 зий из Ш. Более того, ни одну из односторонних стрелок в диаграмме импликаций (А) нельзя обратить.

Замечание. Первое утверждение теоремы доказано В. Нойманом в.

23].

Импликация КРС => Т, как нам кажется, заслуживает особого внимания. Прежде всего отметим, что любое неприводимое граф-многообразие с краем допускает КРС-метрику [17] и виртуально расслоено над окружностью [32], то есть для граф-многообразий с краем эта импликация истинна тривиальным образом. Далее, пространства слоений Зайферта, допускающие геометрию по образцу КРС-геометрий Е3 и Н2 х Е накрываются прямыми произведениями (препятствием к чему является число Эйлера е слоения Зайферта.

24], в данном случае — нулевое). Эти результаты вызывают ассоциации с одной из самых привлекательных, на наш взгляд, гипотез маломерной топологии (У. Терстон, [16, гипотеза 3.51]), которая утверждает, что гиперболическое многообразие конечного объема с конечной степенью накрывается многообразием, расслоенным над окружностью.

0.4.3 Бесконечные граф-многообразия. Через ЭДТоо мы обозначим класс бесконечных граф-многообразий из ЯЯо, (то есть граф-многообразий, склеенных из прямых произведений) не допускающих КРС-метрик с конечным объемом (напомним, что под термином '^РС-метрика" в данном случае подразумевается метрика неположительной защемленной кривизны — 1 < К < 0).

Многообразия класса 25 С ШТо — торы скручиваний Дена (определение см. в п. 1.1.4), являются базовым примером граф-многообразий. Поэтому исследование решений БКН-уравнений для бесконечных граф-многообразий мы начали именно с класса 1). Рассмотрим бесконечные торы скручиваний Дена с простейшей комбинаторной структурой, то есть с линейными подлежащими графами. Даже в этой ситуации, теория содержательна и нетривиальна. Именно, теорема 4.2.2 дает в явном виде необходимые и достаточные условия которым должно удовлетворять бесконечное многообразие класса 5) П ЯЛоо с линейным (гомеоморфным прямой или лучу) графом. Здесь мы приводим вытекающую из нее теорему V, перечисляющую такие многообразия.

Теорема V. Пусть М — тор скручиваний Дена с линейным графом.

Многообразие М не допускает ЫРС-метрики с конечным объемом тогда и только тогда, когда не все заряды блоков в М равны нулю и граф знаковых компонент 0(1/, Ец) многообразия М входит в следующий список:

1) Г| (луч или прямая),.

2) /С0 — Г1! — Г2 —. — Гп — Г| (луч или прямая),.

3) /Со — — Г2 —. — Гп — Г+ — Гп+1 —. — Гп+т —)С'0 (прямая),.

4) /Со — ГЧ — Г2 —. — Гга —. (прямая), где Г+? 7+, 6 Т±и К. о С 0(1/, Ео) — луч, все вершины которого соответствуют компонентам с sgnГг^ = 0 .

Определение графа знаковых компонент см. в п. 1.2.4, классы 7+, 7± определены в п. 4.2.1.

С. Буяло и В. Кобельским была доказана теорема, характеризующая компактные многообразия класса ?), не допускающие NPC-мe-трик, тремя условиями [4]. Теорема 4.2.2 позволяет обнаружить, что при переходе к бесконечным граф-многообразиям ни одно из этих условий не является необходимым для того, чтобы данное многообразие класса ?) принадлежало классу 2) П ЭДТоо (более сильный результат содержится в следствии 4.2.6).

Пусть М — бесконечное граф-многообразие класса ШТо • Решение {/, 7} БКН-уравнения.

7 у ТЕ/.

ПуСц — / J 7 + г О чи над графом многообразия М такое, что 7^ =? (—1- 1) и 0 для всех и? И7 и V Е V называется изометрическим состоянием на данном раскрашенном графе Х (ТмК- В). Изометрическое состояние соответствует NPC-мeтpикe на граф-многообразии, в которой длины всех регулярных слоев в максимальном блоке М^ равны 1У, а косинусы углов между слоями соседних слоений на торе Т|ш| С М равны 7ад [5].

Функция длин I: V М>о любого изометрического состояния на раскрашенном графе многообразия класса ЯЯоо обладает тем свойством, что I 0 Ь2(V), где.

Ц>(У) = {I: V -> Е| < +00} — пространство функций суммируемых с рой степенью (здесь degv — валентность вершины v в графе Гд^) [5]. Следующая теорема говорит о том, что свойство I 0 L2(V) в некотором смысле нельзя усилить.

Теорема VI. Для любого вещественного р > 2 найдется граф-многообразие М G Ш не допускающее NPC-метрики конечного объема и допускающее NPC-метрику с функцией длин 1 (Е LP (V), где V — множество вершин графа многообразия М .

Как уже было упомянуто, условие lv —у 0 на бесконечности для некоторой NPC-метрики на данном бесконечном граф-многообразии равносильно тому, что стремится к нулю ее радиус инъективности. Этому условию могут удовлетворять и граф-многообразия класса Жоо, то есть многообразия, не допускающие NPC-метрик с конечным объемом. Более того, имеет место.

Теорема VII. Существует бесконечный тор скручиваний Дена Тв класса ЭДТоо > который допускает NPC-метрику с экспоненциально стремящейся к нулю функцией длин слоев.

Более того, для любого р > 2 многообразие Тв и NPС-метрика могут быть выбраны так, что функция длин слоев I лежит в LP (V). Здесь V — множество вершин графа многообразия Тв ¦

В следующих теоремах сформулированы условия, при которых некоторые виды многообразий класса SDIqo все-таки обладают более сильным свойством, чем I 0 L2(V) для любой NPC-метрики, а именно lv 0 по некоторым направлениям в бесконечном графе.

T (V, W) .

Теорема VIII. Пусть? 6 0 — бесконечный тор скручиваний Дена и все скручивания происходят в одном направлении. Тогда М не допускает NPC-метрики конечного объема. Более того, для любой NPC-метрики на М функция длин слоев не имеет даже локальных максимумов.

Теорема IX. Пусть М 6 ШТоо — граф-многообразие, блоки которого имеют положительный заряд, а граф гомеоморфен лучу. Если многообразие М обладает периодической граф-структурой, то для любой NPC-метрики на М длины слоев не могут стремиться к нулю на бесконечности.

Определение периодической граф-структуры дано в п. 4.4.2.

0.5 Структура работы. В первой главе введены основные обозначения, даны необходимые определения и доказаны (или точно процитированы) вспомогательные результаты. Еще раз отметим, что в лемме 1.5.3 (о соответствии) доказана равносильность теорем I и II.

Во второй главе доказаны предложения 2.1—2.4 и 2.6—2.8, из которых следует теорема I.

В третьей главе доказаны п.п. Е и УТ теоремы III (предложения 3.3, 3.5 соответственно), а также дано собственное доказательство п. п. 1 т, Е и УЕ теоремы III (предложения 3.1.2, 3.2 3.6 соответственно). Глава завершается доказательством теоремы IV.

В четвертой главе доказаны теоремы У-1Х, относящиеся к бесконечным граф-многообразиям класса Ш .

0.6 Соглашение. Мы работаем в кусочно-линейной категории.

1. А. В. Болсинов, С. В. Матвеев, А. Т. Фоменко, Топологическая классификация интегрируемых гамилътоновых систем с двумя степенями свободы. Список систем малой сложности., УМН 45 (1990), по. 2, 49−77.

2. С. В. Буяло, Метрики неположительной кривизны на граф-многообразиях и электромагнитные поля на графах, Записки научных семинаров ПОМИ 280 (2001).

3. С. В. Буяло, В. Л. Кобельский, Геометризация граф-многообразий I: конформная геометризация, Алгебра и анализ 7 (1995), по. 2, 3—45.

4. С. В. Буяло, В. Л. Кобельский, Геометризация граф-многообразий II: изометрическая геометризация, Алгебра и анализ 7 (1995), по. 3, 96−117.

5. С. В. Буяло, В. Л. Кобельский, Геометризация бесконечных граф-многообразий, Алгебра и анализ 8 (1996), по. 3, 56−77.

6. С. В. Буяло, В. Л. Кобельский, Обобщенные граф-многообразия неположительной кривизны, Алгебра и анализ 11 (1999), по. 2, 64−87.

7. Э. Б. Винберг, Дискретные линейные группы, порожденные отражениями, Изв. АН СССР, сер. мат. 35 (1971), 1072−1112.

8. С. В. Матвеев, Обобщенные граф-многообразия и их эффективное распознавание, Мат. Сборник 189 (1998), по. 10, 89−104.

9. П. Скотт, Геометрии на трехмерных многообразиях, -М., Мир (1986), 168 с.

10. W. Ballman, М. Gromov, Y. Schroeder, Manifolds of Nonpositive Curvature, Birkhauser, Prog, in Math. 61 (1985).

11. D. Gromoll, J. A. Wolf, Some relations between the metric structure of the fundamental group in manifolds of nonpositive curvature, Bulletin of AMS 77 (1971), no. 4, 545−551.

12. W. H. Jaco, P. B. Shalen, Seifert fibered spaces in 3-manifolds, Memoirs of the Amer. Math. Soc. 220 (1979).

13. K. Johansson, Homotopy equivalence of 3-manifolds with boundary, SpringerVerlag, Lect. Notes in Math. 761 (1978).

14. M. Kapovich, B. Leeb, Actions of discrete groups on Hadamard spaces, Math. Annalen, Bd. 306 (1996), 341−352.

15. H. Kneser, Geschlossene Flashen in dreidimensionale Mannigfaltigkeiten, Jahres-ber, Deutsch. Math.-Verein 38 (1929), 248−260.

16. R. Kirby, Problems in Low-dimensional Topology, second edition, available in www.math.berkeley.edu/kirby, Berkeley (1995), 380 pp.

17. B. Leeb, Manifolds with (out) metrics of non-positive curvature, Invent. Math. 122 (1995), 277−289.

18. J. Luecke, Y. Wu, Relative Euler number and finite covers of graph-manifolds, Proc. of the 1993 Georgia Topology conference, AMS/IP, Studies in Adv. Math. 2 (1997), no. 1, 80−103.

19. J. Milnor, A unique factorisation theorem for 3-manifolds, Amer. J. Math. 84 (1962), 1−7.

20. B. Mohar, W. Woess, A survey on spectra of infinite graphs, Bull. London Math. Soc. 21 (1989), 209−234.

21. W. D. Neumann, A calculus for plumbing applied to the topology of complex surface singularities and degenerating complex curves, Transactions of the AMS 2 681 981), 299−344.

22. W. D. Neumann, Commensurability and virtual fibration for graph manifolds, Topology 39 (1996), 355−378.

23. W. D. Neumann, Immersed and virtually embedded surfaces in graph manifolds, Algebraic and Geometric Topology 1 (2001), 411−426.

24. W. D. Neumann, F. Raymond, Seifert manifolds, plumbing, цinvariant and orientation reversing maps, Springer, Berlin, Lect. Notes in Math. 664 (1978), 162−195.

25. W. D. Neumann, G. A. Swarup, Canonical decompositions of 3-manifolds, Geometry and Topology 1 (1997), 21−40.

26. J. H. Rubinstein, Sh. Wang, -кinjective surfaces in graph-manifolds, Comment. Math. Helv. 73 (1998), 499−515.

27. W. Thurston, Hyperbolic structures on 3-manifolds, II: surface groups and 3-rnanifolds which fiber over the circle, lanl-preprint math. arXiv GT/9 801 045 (1998), 32 p.

28. F. Waldhausen, Eine classe von 3-dimensionalen Mannigfaltigkeiten, I, Invent. Math3 (1967), 308−333.

29. F. Waldhausen, Eine classe von 3-dimensionalen Mannigfaltigkeiten, II, Invent. Math4 (1967), 501−504.

30. F. Waldhausen, On irreducible 3-manifolds which are sufficiently large, Ann. Math 87 (1968), 56−88.

31. F. Yu, Sh. Wang, Covering degrees are determinated by graph manifolds involved, Comm. Math. Helv. 74 (1999), 238−247.

32. S.C.Wang, F.C.Yu, Graph-manifold with non-empty boundary are covered by a surface bundle over the circle, Math. Proc. Camb. Phol. Soc. 122 (1997), 447 455.

33. Y. Wang, F. Yu, When closed graph-manifolds are finitely covered by surface bundles over S1, Acta Math. Sin., Engl. Ser. 15 (1999), no. 1, 11−20.ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.