Топологические свойства типа нормальности и счетной паракомпактности в произведениях и экспоненциальных пространствах

Класс нормальных пространств, занимающий одно из центральных мест в общей топологии, был определен в 1923 году Титце [140] и в 1924 году П. С. Александровым и П. С. Урысоном в работе [54]. Свойство нормальности появлялось также и у Вьеториса [144]. В своем знаменитом «Мемуаре о компактных топологических пространствах» П. С. Александров и П. С. Урысон пишут [1]: «Пространство называется нормальным, если всякие два лежащих в нем непересекающихся замкнутых множества имеют непересекающиеся окрестности.» Условие нормальности топологического пространства является некоторым естественным ограничением на топологию пространства. Такого рода ограничения принято называть аксиомами отделимости. Возникновение аксиом отделимости связано с именами Ф. Хаусдорфа, Ф. Рисса, Л. Вьеториса, Г. Титце, П. С. Александрова, П. С. Урысона, А. Н. Колмогорова, А. Н. Тихонова. Напомним аксиомы отделимости.

Аксиома То: пространство называется То-пространством, если для каждой пары различных точек ?1,0:2 € X существует открытое множество, содержащее ровно одну из этих точек (А Н. Колмогоров). Аксиома Т: пространство называется Т-пространством, если для каждой пары различных точек Х, Х2 € X существует открытое множество II С X, такое, что х € II и Х2 и (Ф. Рисс). Аксиома пространство X называется Тг-пространством или хаус-дорфовым, если для каждой пары различных точек Х, Х2 € X существуют открытые множества 11, ?/2 С X, такие, что х € Щ, Х2 € С/2 и и П и2 = 0 (Ф. Хаусдорф).

Аксиома Т3: пространство X называется Тз-пространством или регулярным, если пространство X является^{-пространством} и для любой точки х (Е X и каждого замкнутого множества Г С X, такого, что х 0 .Р, существуют открытые множества /7]., ?/2 С X, такие, что х € 11ъ ^ С и2 и П и2 = 0 (Л. Въеторис).

Как хорошо известно, всякое нормальное пространство является тихоновским, тихоновское пространство регулярно, а регулярное пространство является хаусдорфовым [52], [2]. Все пространства в диссертации предполагаются хаусдорфовыми. Далее, под ординалом понимается множество всех меньших ординалов, кардинальное число — это начальный ординал. Если ш — бесконечное кардинальное число, то ш+ — следующее за ним кардинальное число. Иногда начальное порядковое число мощности ш обозначается через о-(ш). Прочие обозначения и терминология, не разъясняемые ниже, такие же, как в книгах [52], [9].

Аксиома Т31 существенно выделяется в ряду других аксиом. Определение тихоновских пространств является «внешним» определением, в котором предполагается существование некоторых внешних объектов относительно рассматриваемого пространства. Хорошо известно, что свойство нормальности может быть сформулировано «внешним» образом, поскольку важнейшим характеристическим свойством нормальных пространств является то, что для них справедлива фундаментальная лемма Урысона [142] (см. [52], 1.5.10) о возможности функционального разделения непересекающихся замкнутых множеств в нормальном пространстве. Лемма Урысона и дает «внешнее» определение нормальности и эквивалентна так называемой теореме Титпце-Урысона ([52], 2.1.8) о возможности непрерывного продолжения действительнозначной непрерывной функции, определенной на некотором замкнутом подпространстве нормального пространства, на все это пространство. Хорошо известно, что Титце доказал теорему о продолжении только для метрических пространств [139], иными словами, Титце доказал нормальность метрических пространств, а до Титце частный случай теоремы Титце-Урысона для плоскости В? был получен Лебегом [112], занимавшимся задачей Дирихле и в связи с этой задачей рассматривавшим продолжения непрерывных функций, определенных на границе так называемой «замкнутой области». Метод доказательства Титце предполагал существенное использование метрики метрического пространства, и сам Титце указывал [139] на некоторое несовершенство своего доказательства, которое «работает» лишь в случае, когда продолжаемая функция ограничена на каждом ограниченном подмножестве метрического пространства. В 1925 году П. С. Урысон [142] доказал теорему о продолжении в максимальной общности для нормальных пространств, причем метод доказательства Урысона отличался от всех предыдущих доказательств и состоял, как ныне хорошо известно, в представлении продолжения в виде суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций. Заметим, что теорема Титце-Урысона не может быть доказана методом Титце, но в силу причин исторического характера эта теорема называется теоремой Титце-Урысона.

Класс счетно паракомпактных пространств был независимо введен в 1951 году Даукером [79] и Катетовым [103]. Топологическое пространство называется счетно паракомпактным, если в каждое его счетное открытое покрытие можно вписать локально конечное покрытие. Даукер доказал, что топологическое пространство X нормально и счетно паракомпактно в том и только в том случае, когда произведение X х I пространства X на отрезок I = [0- 1] нормально. Нормальные пространства, не являющиеся счетно паракомпактными, получили название даукеровских. Задача построения даукеровского пространства двадцать лет была известной задачей общей топологии. Эта задача была решена в 1971 году М. Э. Рудин [131], построившей пример даукеровского пространства X, то есть такого нормального пространства.

X, что произведение X х I пространства X на отрезок I не является нормальным пространством. В теории гомотопий нормальные счетно паракомпактные пространства называют бинормальными [43]. Важность бинормальных пространств определялась тем фактом, что для таких пространств выполняется теорема Борсука о продолжении го-мотопии [43] (см. также [52], 5.5.21). Пример даукеровского пространства, построенный М. Э. Рудин, мотивировал работы Морита и Стар-берда. В 1975 году Морита [122] и Старберд [132] независимо доказали, что теорема Борсука выполняется и для любого нормального пространства.

Еще один пример — проблема метризуемости нормального моровского пространства. Хорошо известно, что существование сепарабельного неметризуемого нормального моровского пространства совместимо с и не зависит от [135].

Понятие нормального пространства появилось в прошлом веке на начальном этапе развития общей топологии, возникновение которой оказалось следствием перестройки оснований математического анализа, происходившей в течение девятнадцатого века. По образному выражению известнейшего американского тополога М. Э. Рудин «понятие нормальности находится на границе, где теоретико-множественная топология переходит от математического анализа к теории множеств» (см. [89]). Таким образом, естественной задачей общей топологии является задача выяснения границ действия многих результатов, вовлекающих свойства нормальности и счетной паракомпактности, в случае, когда эти свойства заменяются на более специальные топологические свойства, близкие к нормальности или счетной паракомпактности. Рассмотрим возможные способы обобщения свойства нормальности.

Во-первых, можно уменьшить каким-либо образом класс замкнутых множеств, разделяемых открытыми множествами. Например, рассмотрим определение ¿—нормальности, которое содержится в работе Мака 1970 года [114]. Пространство называется ¿—нормальным [114], если любые два непересекающихся замкнутых множества, одно из которых является регулярным (^-множеством, содержатся в непересекающихся окрестностях. При этом подмножество (3 топологического пространства называется регулярным (^-множеством, если оно является пересечением счетного числа замкнутых множеств, внутренности которых содержат множество 6?. Мак [114] доказал, что каждое счетно паракомпактное пространство является ¿—нормальным и получил следующий аналог теоремы Даукера: пространство X счетно па-ракомпактно в том и только в том случае, когда произведение пространства X на отрезок I = [0- 1] является 8-нормальным пространством. Всякое нормальное пространство, очевидно, ¿—нормально. Таким образом свойство ¿—нормальности является одновременным обобщением нормальности и счетной паракомпактности. Гуд и Три [88], отвечая на вопрос Никоша, построили «наивный» пример ¿—нормального моровского пространства, которое не является счетно паракомпакт-ным и, в частности, не метризуемо. Заметим здесь, что всякое нормальное моровское пространство счетно паракомпактно. Другой пример: Е. В. Щепин [48] ввел класс х-нормальных пространств. Пространство называется х-нормальным, если в нем любые два непересекающиеся канонически замкнутые множества имеют непересекающиеся окрестности. Оказалось, что для х-нормальных пространств справедлив аналог теоремы Титце-Урысона, а именно, Е. В. Щепин доказал, что топологическое пространство х-нормально в том и только в том случае, когда всякая ограниченная непрерывная вещественная функция, определенная на канонически замкнутом множестве, допускает непрерывное продолжение на все пространство. Произведение метризуемых пространств в любом количестве является совершенно х-нормальным пространством, то есть всякое канонически замкнутое в нем множество является множеством нулей некоторой непрерывной вещественной функции [49]. Для совершенно х-нормальных пространств оказался справедлив аналог теоремы Катетова о совершенно нормальных произведениях: произведение счетного числа пространств будет совершенно х-нормальным, если таковым будет каждое его конечное подпроизведение [50].

Разумеется, возможны также различные способы обобщения свойства счетной паракомпактности. Во-первых, обобщение стандартной характеристики счетно паракомпактных пространств ([52], теорема 5.2.1). Во-вторых, обобщение характеристики, предложенной Мансфилдом (см. [52], 5.5.17), который доказал, что пространство X счетно паракомпактно в том и только в том случае, если для каждой счетной локально конечной системы: г < и} замкнутых подмножеств пространства X найдется локально конечная система: г < и} открытых подмножеств пространства X, такая, что Fi С для каждого натурального г < и. Оба эти способа, а также связь свойств типа счетной паракомпактности с упомянутыми выше обобщениями нормальности, будут рассмотрены в диссертации.

Общеизвестно, что аксиомы, г ^ 3|, сохраняются тихоновскими произведениями. Простейшие примеры показывают, что свойство нормальности разрушается даже при возведении пространства в квадрат. Квадрат прямой Зоргенфрея не является ни нормальным ни счетно па-ракомпактным пространством. Э. Майкл [117] привел замечательный пример ненормального произведения наследственно паракомпактного пространства и сепарабельного метрического пространства. Пример произведения двух нормальных счетно компактных пространств, топология которого даже не содержит в себе топологию нормального пространства, построен Бузяковой в работе [13]. Таким образом среди общих проблем в этом направлении естественно выделить следующие:

I) Нахождение достаточных условий, при выполнении которых подпространство произведения или само произведение обладает каким-либо свойством типа нормальности или счетной паракомпактности.

II) Выяснение характера ограничений на сомножители, которые накладывает условие типа нормальности или счетной паракомпактности, выполняющееся в подмножествах произведения.

III) Выяснение характера ограничений на пространство X, которые накладывает условие того, что пространство Т{Х) обладает каким-либо свойством типа нормальности или счетной паракомпактности, если Т — некоторый нормальный функтор.

Проблемы I, II и III, а также проблема выяснения границ, внутри которых остаются справедливыми аналоги классических теорем о произведениях и экспоненциальных пространствах, вместе с вышеприведенной проблемой одновременного обобщения теорем Катетова и Зенора, поставленной Ван Дауэном [77], и послужили отправными моментами диссертационной работы. Переходим к краткому изложению основного содержания диссертации.

1. Александров П. С., Урысон П. С. Мемуар о компактных топологических пространствах. — М.: Наука, 1971.

2. Александров П. С., Пасынков Б. А.

Введение

в теорию размерности. — М.: Наука, 1973.

3. Архангельский А. В. Об одном классе пространств, содержащем все метрические и все локально бикомпактные пространства // Матем. сб. — 1965. — Т. 67. — С. 55−85.

4. Архангельский А. В. Бикомпактные множества и топология пространств// Труды Московского Математического общества — 1965. — Т. 13. — С. 3−55.

5. Архангельский А. В. О совершенных отображениях и уплотнениях //ДАН СССР. — 1967. — Т. 176. — С. 983−986.

6. Архангельский А. В. О бикомпактах, которые удовлетворяют условию Суслина наследственно. Теснота и свободные последовательности // ДАН СССР. — 1971. — Т. 199. — С. 1227−1230.

7. Архангельский А. В. Строение и классификация топологических пространств и кардинальные инварианты //Успехи матем. наук — 1978. — Т. 33. — С. 29−84.

8. Архангельский А. В. Топологические пространства функций. — М.: Издательство Московского университета, 1989.

9. Архангельский А. В., Пономарев В. И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. — М.: Наука, 1974.

10. Болжиев Б. А. Секвенциальность топологических и равномерных пространств: Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. — Фрунзе, 1987.

11. Бузякова Р. 3. О произведении нормальных пространств// Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ — 1994. № 5.— С. 81−82.

12. Величко Н. В. О пространстве замкнутых подмножеств// Сиб. матем. ж.— 1975.—Т. 16.— С.627−629.

13. Гулько С. П. О свойствах множеств, лежащих в Е-произведениях // ДАН СССР. — 1977. — Т. 237. — С. 505−508.

14. Ефимов Б. А. Метризуемость и Е-произведение бикомпактов // ДАН СССР. — 1963. — Т. 152. — С. 794−797.

15. Ефимов Б. А., Чертанов Г. И. О подпространствах Е-произведений прямых //Comm. Math. Univ. Carolinae — 1978. — V. 19. — P. 569−592.

16. Жураев Т. Ф. Нормальные функторы и метризуемость бикомпактов // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ.— 2000. № 4.— С. 811.

17. Иванов А. В. О функторах конечной степени и х-метризуемых бикомпактах// Сибирский математический журнал. — 2001. — Т. 42. — С. 60−68.

18. Иванова В. М. К теории пространств подмножеств// ДАН СССР.— 1955.— Т.101— С.601−603.

19. Клебанов Б. С. Непрерывные образы тихоновских произведений метрических пространств: Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. — Москва: МГУ, 1980.

20. Клебанов Б. С. О факторизации отображений произведений топологических пространств// ДАН СССР. — 1982. — Т. 262. — С. 1059−1064.

21. Комбаров А. П. О произведении нормальных пространств. Равномерности на £-произведениях // ДАН СССР. — 1972. —Т. 205. — С. 1033−1035.

22. Комбаров А. П., Малыхин В. И. О Е-произведениях // ДАН СССР. — 1973. — Т. 213. — С. 774−776.

23. Комбаров А. П. Об одной теореме Корсона // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ — 1978. № 6.— С. 33−35.

24. Кюнен К. Комбинаторика // Справочная книга по математической логике. Ч. II. Теория множеств. — М.: «Наука», 1982.

25. Малыхин В. И. О тесноте и числе Суслина в ехрХ и в произведении пространств // ДАН СССР. — 1972. — Т. 203. — С. 10 011 003.

26. Малыхин В. И. Топология и форсинг // Успехи математических наук — 1983. — Т.38. — С.69−118.

27. Малыхин В. И., Шапировский Б. Э. Аксиома Мартина и свойства топологических пространств// ДАН СССР— 1973.—Т.213.— С.532−535.

28. Малыхин Д. В. Счетно компактное V-нормальное пространство имеет счетный характер// Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ.— 1997. № 5.— С. 31−33.

29. Малыхин Д. В. Некоторые свойства топологических произведений: Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. — Москва: МГУ, 1999.

30. Понтрягин JI. С. Непрерывные группы. — M.-JL, 1938.

31. Попов В. В. О пространстве замкнутых подмножеств // ДАН СССР. — 1976. — Т. 229. — С. 1051−1054.

32. Резниченко Е. А. Однородные произведения пространств // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ.— 1996. № 3.— С. 10−12.

33. Рудин М. Э. Аксиома Мартина // Справочная книга по математической логике. Ч. И. Теория множеств. — М.: «Наука», 1982.

34. Савченко И. А. О пространствах, близких к секвенциальным: Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. — Москва: МГУ, 1990.

35. Ткачук В. В. Методы теории кардинальных инвариантов и теории отображений в применении к пространствам функций// Сибирский математический журнал. — 1991. — Т. 32. — С. 116−130.

36. Федорчук В. В. Вполне замкнутые отображения и совместимость некоторых теорем общей топологии с аксиомами теории множеств// Матем. сб. — 1976.—Т.99. — С. 3−33.

37. Федорчук В. В. О некоторых геометрических свойствах кова-риантных функторов// Успехи математических наук — 1984. — Т.39. — С. 169−208.

38. Федорчук В. В. К теореме Катетова о кубе // Вестн. Моск. унта. Матем. Механ.— 1989. № 4, — С. 93−96.

39. Федорчук В. В., Филиппов В. В. Общая топология. — Издательство Московского университета, 1988.

40. Филиппов В. В. Об обыкновенных дифференциальных уравнениях с особенностями в правой части// Матем. заметки — 1985. — Т. 38.— С. 832−851.

41. Ху Сы-цзян. Теория гомотопий. — М.: Мир: 1964.

42. Чобан М. М. Многозначные отображения и их приложения: Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. — Тбилиси, 1979.

43. Шапиро JI. Б. Пространство замкнутых подмножеств D² не является диадическим бикомпактом// ДАН СССР. — 1976. — Т. 228. — С. 1302−1305.

44. Шапиро JI. Б. Об однородности диадических бикомпактов// Ма-тем. заметки. — 1993. — Т. 54, № 4. — С. 117−139.

45. Шапировский Б. Э. О пространствах с условием Суслина и Шанина // Матем. заметки. — 1974. — Т. 15. — С. 281−288.

46. Щепин Е. В. Действительные функции и пространства, близкие к нормальным// Сиб. матем. ж.— 1972.—Т.13.— С.1182−1195.

47. Щепин Е. В. О топологических произведениях, группах и новом классе пространств более общих, чем метрические// ДАН СССР. — 1976. — Т. 226. — С. 527−529.

48. Щепин Е. В. Вещественные функции и канонические множества в тихоновских произведениях и топологических группах// Успехи математических наук — 1976. — Т.31. — С. 17−27.

49. Щепин Е. В. Функторы и несчетные степени компактов// Успехи математических наук — 1981. — Т.36. — С.3−62.

50. Энгелькинг Р. Общая топология. — М.: Мир: 1986.

51. Якивчик А. Н. О диагональном числе топологических пространств // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ.— 1990. № 6.— С. 84−86.

52. Alexandroff Р., Urysohn P. Zur Theorie der topologischen Raume// Math.Ann. — 1924. — V.92. — P.258−266.

53. Alster K., Engelking R. Subparacompactness and product spaces// Bull.Acad.Polon.Sci. — 1972. — V.20. — P. 763−767.

54. Arhangel’skii A. V. Divisibility and cleavability of spaces.// Recent Developments of General Topology and its Applications. — Math. Research 67.— Berlin: Academie-Verlag, 1992.—P. 13−26.

55. Arhangel’skii А. V. A survey of cleavability // Topology Appl. — 1993. — V. 54. — P. 141−163.

56. Arhangel’skiiA. V., Kombarov A. P. On normality of X2 Д // Baku International Topological Conference. — Baku, 1987. — P.20.

57. Arhangel’skii A. V., Kombarov A. P. On V-normal spaces // Topology Appl. — 1990. — V. 35. — P. 121−126.

58. Balogh Z., Dow A., Fremlin D. H., Nyikos P. J. Countable tightness and proper forcing // Bull. Amer. Math. Soc. — 1988. — V. 19. —P. 295−298.

59. Bennett H., Lutzer D. Off-diagonal metrization theorems// Topol. Proc. — 1997. — V. 22. — P.37−58.

60. Bernstein A.R. A new kind of compactness for topological spaces// Fund. Math. — 1970. — V. 66. — P.185−193.

61. Brandenburg H. Separating closed sets by continuous mappings into developable spaces // Can. J. Math. — 1981. — V. 33. — P. 14 201 431.

62. ChaberJ. Conditions which imply compactness in countably compact spaces // Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math. Astronom. Phys. — 1976. — V.24. — P. 993−998.

63. Chiba K. On the weak Б-property of (j-products// Math. Japonica1982. — V.27 — P.737−746.

64. Chiba K. On the D-property of cr-products// Math. Japonica — 1987.V.32 — P.5−10.

65. Chiba K. The submetacompactness of cr-products// Math. Japonica1991. — V.36 — P.711−715.

66. Chiba K. Normality of a-products// Proc. Amer. Math. Soc. — 1993.V.119 — P.999−1003.

67. Chiba К. Covering properties of cr-products// Math. Japonica — 1994. — V.39 — P.343−352.

68. Chiba K. The strong paracompactness of cr-products // Scientiae Math. — 1999. — V. 2. — P. 285−292.

69. Corson H. H. Normality in subsets of product spaces // Amer. J. Math. — 1959. — V. 81. — P. 785−796.

70. Dieudonne J. Un critere de normalite pour les espaces produits// Coll. Math. — 1958. — V. 6. — P. 29−32.

71. Dowker C.H. On countably paracompact spaces // Canad. Journ. of Math. — 1951. — V. 3. — P. 219−224.

72. Eda K., Gruenhage G., Koszmider P., Tamano K., Todorcevic S. Sequential fans in topology // Topology Appl. — 1995. — V. 67. — P. 189−220.

73. Engelking R. On functions defined on Cartesian products // Fund. Math. — 1966. — V. 59. — P. 221−231.

74. Fedorchuk V., Todorcevic S. Cellularity of covariant functors// Topology Appl. — 1997. — V.76. — P. 125−150.

75. Garcia-Ferreira S. On FU (p)~spaces and p-sequemtial spaces// Comment. Math. Univ.Carolinae. — 1991. — V. 32 — P. 161−171.

76. Garcia-Ferreira S. Quasi M-compact spaces// Czch. Math. Journ. — 1996. — V. 40 — P. 161−177.

77. Garcia-Ferreira S., Kocinac Lj. Convergence with respect to ultrafil-ters// Filomat (Nis) — 1996. — V. 10 — P. 1−32.

78. Garcia-Ferreira S., Malykhin V.I. p-Sequentiality and p-Frechet-Urysohn property of Franklin compact spaces// Proc. Amer. Math. Soc. — 1996. — V. 124. — P. 2267−2273.

79. Glicksberg I. Stone-Cech compactifications of products // Trans. Amer. Math. Soc. — 1959. — V. 90. — P. 369−382.

80. Good C., Tree I.J. On ^normality// Topol. Appl. — 1994. — V. 56 — P. 117−127.

81. Grunberg R., Junqueira L.R., Tall F.D. Forcing and normality// Topol. Appl. — 1998. — V. 84 — P. 145−174.

82. Gruenhage G. Covering properties on X2 Д, W-sets, and compact subsets of E-products// Topol. Appl. — 1984. — V. 17 — P. 287−304.

83. Gruenhage G. Generalized metric spces and metrization // Recent Progress in General Topology / M. Husek, Jan van Mill, editors. — Elsevier Science Publishers B.V., 1992. — P. 239−274.

84. Gruenhage G., Pelant J. Analytic spaces and paracompactness of X2 Д // Topology Appl. — 1988. — V. 28. — P. 11−15.

85. Gruenhage G., Nyikos P.J. Normality in X2 for compact X// Trans. Amer. Math. Soc. — 1993. — V. 340. — P. 563−586.

86. Hanai S. Inverse images of closed mappings// Proc. Japan. Acad.— 1961.— V.37. — P. 298−301.

87. Hanaoka J., Tanaka H. E-products of paracompact VC-like spaces// Topology Proc. — 2002. — V. 26. — P. 199−212.

88. Handbook of Set-Theoretic Topology / Kunen K. and Vaughan J. E., eds. — Amsterdam: North-Holland, 1984.

89. Hansard J.D. Function space topologies// Pacific J. Math. — 1970.V.35 — P. 381−388.

90. Harley P.W. On countably paracompact spaces and closed maps// Portug. Math. — 1989. — V. 46 — P. 115−119.

91. Husek M., Pelant J. Extensions and restrictions in products of metric spaces// Topology Appl. — 1987. — V. 25 — P. 245−252.

92. Isiwata T. On closed countably-compactifications// General Topology Appl. — 1974. — V.4 — P. 143−167.

93. Jones F.B. Concerning normal and completely normal spaces// Bull.Amer.Math.Soc. — 1937. — V. 43. — P.671−677.

94. Katetov M. Complete normality of Cartesian products // Fund. Math. — 1948. — V. 35. — P.271−274.

95. Katetov M. Measures in fully normal spaces // Fund. Math. — 1951.V. 38. — P.73−84.

96. Keesling J. Normality and properties related to compactness in hy-perspaces// Proc. Amer. Math. Soc. — 1970. — V.24 — P.760−766.

97. Keesling J. On the equivalence of normality and compactness in hy-perspaces // Pacific Journal of Math.— 1970.—V.33.—P.657−667.

98. Kemoto N., Szeptycki P.J. Countable paracompactness of u-products// Topology Appl. — 2005. — V. 149. — P. 259−271.

99. Kister J.M. Uniform continuity and compactness in topological groups // Proc. Amer. Math. Soc. — 1962. — V. 13. — P. 37−40.

100. Kocinac Lj. p-Sequential spaces and cleavability// Serdica Math. J.1998. — V. 24. — P. 89−94.

101. Kramer T.R. A note on countably subparacompact spaces // Pacific J. Math. — 1973. — V. 46. — P. 209−213.

102. Kunen K. Weak P-points in N*// Colloquia Mathmatica Societatis Janos Bolyaj — 1978. — V. 23 — P. 741−749.

103. Larson P., Todorcevic S. Katetov’s problem// Trans. Amer. Math. Soc. — 2002. — V. 354 — P. 1783−1791.

104. Lebesgue H. Sur le probleme de Dirichlet// Rend, del Circ. Mat. di Palermo — 1907. — V. 24 — P. 371−402.

105. Le Donne A. Shrinking property in E-products of paracompact p-spaces// Topology Appl. — 1985. — V. 19 — P. 95−101.

106. Mack J. Countable paracompactness and weak normality properties// Trans. Amer. Math. Soc. — 1970. — V. 148 — P. 265−272.

107. Meyer P. R. Sequential space methods in general topological spaces //Coll. Math.— 1971—V.22 — P.223−228.

108. Michael E. Topologies on spaces of subsets// Trans. Amer. Math. Soc.1951. — V. 71 — P. 152−182.

109. Michael E. The product of a normal space and a metric space need not be normal// Bull. Amer. Math. Soc. — 1963. — V. 69 — P. 375−376.

110. Michael E. A note on closed maps and compact sets// Israel J. Math.1964. — V.2 — P. 173−176.

111. Michael E., Rudin M.E. A note on Eberlein compacts// Pacific J. Math. — 1977. — V. 72 — P. 487−495.

112. Morita К. Paracompactness and product spaces // Fund.Math. — 1962. — V. 50. — P.223−236.

113. Morita K. Products of normal spaces with metric spaces // Math. Ann. — 1964. — V. 154. — P.365−382.

114. Morita K. On generalizations of Borsuk’s homotopy extension theorem // Fund. Math. — 1975. — V. 88. — P. 1−6.

115. Noble N. The continuity of functions on Cartesian products // Trans. Amer. Math. Soc. — 1970. — V. 149 — P. 187−198.

116. Noble N. Products with closed projections II// Trans. Amer. Math. Soc. — 1971. — V. 160 — P. 169−183.

117. Nogura T. Tightness of compact Hausdorff spaces and normality of product spaces // Journal of Math. Soc. Japan. — 1976. — V. 28. — P. 360−362.

118. Nyikos P. A compact nonmetrizable space P such that P2 is completely normal// Topology Proc. — 1977. — V. 2. — P. 359−363.

119. Ostaszewski A. J. On countably compact, perfectly normal spaces// J. London Math. Soc. — 1976. — V. 14. — P. 501−516.

120. Pareek С. M. Characterizations of p-spaces // Canad. Math. Bull. — 1971. — V. 14. — P. 459−460.

121. Proctor C. W. A separable pseudonormal nonmetrizable Moore space // Bull. Acad. Pol. Sci. Ser. sci. math., astron. et phys. — 1970. — V. 18. — P. 179−181.

122. Rosenthal H.P. The heredity problem for weakly compactly generated Banach spaces// Compos, math. — 1974. — V. 28. — P.83−111.

123. Rudin M.E. A normal space X for which X x I is not normal// Fund. Math. — 1971. — V. 73. — P. 179−176.

124. Starbird М. The Borsuk homotopy extension theorem without the binormality condition // Fund. Math. — 1975. — V. 87. — P.207−211.

125. Stone A. H. Paracompactness and product spaces // Bull. Amer. Math. Soc. — 1948. — V. 54. — P. 977−982.

126. Szeptycki P. J. Weak normality in Dowker spaces // Topology Proceedings — 1995. — V. 20. — P. 289−296.

127. Tall F.D. Set-theoretic consistency results and topological theorems concerning the normal Moor space conjecture and related problems. Thesis, University of Wisconsin. — Madison: 1969. — Dissertations Math. — 1977 — V. 148. — P. 1−53.

128. Tanaka H., Yajima Y. E-products of paracompact C-scattered spaces// Topology Appl. — 2002. — V. 124 — P. 39−46.

129. Tanaka H. E-products of paracompact Cech-scattered spaces//Comment. Math. Univ. Carolinae — 2006. — V. 47. — P. 127−140.

130. Teng H. On (7-product spaces// Math. Japonica — 1991. — V.36 — P.515−522.

131. Tietze H. Uber Funktionen, die auf einer abgeschlossenen Menge stetig sind // Journ. fur die reine und angew. Math. — 1915. — V. 145. — P. 9−14.

132. Tietze H. Beitrage zur allgemeinen Topologie Iff Math. Ann. — 1923. — V. 88. — P. 290−312.

133. Tychonoff A. Uber die topologisch Erweiterung von Raumen // Math. Ann. — 1930. — V. 102. — P. 544−561.

134. Urysohn P. Uber die Machtigkeit der zusammenhangenden Mengen // Math.Ann. — 1925. — V.94. — P.262−295.

135. Vaughan J. E. A countably compact spaces and its products // Proc. Amer. Math. Soc. — 1978. — V. 71. — P. 133−137.

136. Vietoris L. Stetige Mengen// Monatsh. fiir Math, und Phys. — 1921 — V.31 — P. 173−204.

137. Vietoris L. Bereiche zweiter Ordnung// Monatsh. fiir Math, und Phys.1922.— V.32.— P.258−280.

138. Walker R.C. The Stone-Cech compactification. — Berlin: 1978.

139. Weiss W. Countably compact spaces and Martin’s axiom// Can. J. Math. — 1978. — V. 30 — P. 243−249.

140. Wulbert D. E. Subsets of first-countable spaces // Proc. Amer. Math. Soc. — 1968. — V. 19. — P. 1273−1277.

141. Yajima Y. On E-products of E-spaces// Fund. Math. — 1984. — V. 123. — P. 29−37.

142. Yajima Y. On E-products of semi-stratifiable spaces// Topology Appl. — 1987. — V. 25. — P. 1−11.

143. Yajima Y. The shrinking property of E-products// Tsukuba J. Math.1989. — V. 13. — P. 83−98.

144. Yajima Y. Analogous results to two classical characterization of covering properties by products// Topology Appl. — 1998. — V. 84. — P. 3−7.

145. Yakivchik A.N. Weakly normal topological spaces and products// Topology Appl. — 1997. — V. 76. — P. 193−202.

146. Zenor P. Countable paracompactness in product spaces// Proc. Amer. Math. Soc. — 1971. — Y.30. — P.199−201.

147. Zenor P. Countable paracompactness of Fa-sets// Proc. Amer. Math. Soc.— 1976. — V. 55. — P. 201−202.Публикации автора по теме диссертации.

148. Комбаров А. П. О нормальности Ет-произведений // ДАН СССР. — 1973. — Т. 211. — С. 524−527.

149. Комбаров А. П. Нормальные сг-произведения // ДАН СССР. — 1977. — Т. 232. — С. 1004−1007.

150. Комбаров А. П. О тесноте и нормальности Е-произведений // ДАН СССР. — 1978. — Т. 239. — С. 775−778.

151. Комбаров А. П. О пространствах с точечно-счетной полубазой// Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ.— 1981. № 3 — С. 28−31.

152. Комбаров А. П. О замкнутых m-компактных отображениях и уплотнениях // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ.— 1981. № 6.— С. 70−72.

153. Комбаров А. П. Об одной теореме А. Стоуна// ДАН СССР. — 1983. — Т. 270. — С. 38−40.

154. Комбаров А. П. О компактности и секвенциальности по множеству ультрафильтров// Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ.— 1985. № 5.— С. 15−18.

155. Комбаров А. П. Наследственная паракомпактность X2 и метризуемость X // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. — 1988. № 2. — С. 79−81.

156. Комбаров А. П. О^{-счетно} паракомпактных пространствах // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. — 1989. № 4. — С. 91−93.

157. Kombarov А.P. On rectangular covers of X2 A// Comment. Math. Univ.Carolinae. — 1989. — V. 30 — P. 81−83.

158. Комбаров А. П. Замечание к теореме Катетова// Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ.— 1990. № 2 — С. 82−83.

159. Kombarov А.P. On Lindelof-normal spaces // Topology Appl. — 2000. — V. 107. — P. 117−122.

160. Комбаров А. П. К теореме Катетова-Федорчука о кубе// Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ.— 2004. № 5.— С. 59−61.

161. Комбаров А. П. О нормальных функторах степени ^ 3 // Матем. заметки — 2004. — Т. 76.— С. 147−149.

162. Комбаров А. П. О D-нормальности X2 А //Успехи матем. наук2004. — Т. 59. — С. 173−174.

163. Комбаров А. П. О паранормальных пространствах // Матем. заметки — 2007. — Т. 81.— С. 311−313.