Применение дифференциальных инвариантов в классических двумерных геометриях

0.1 Общая характеристика работы.

0.1.1 Актуальность темы исследования.

В Эрлангенской программе [9] Феликс Клейн предложил единый подход к описанию различных геометрий. Согласно этой программе, одной из основных задач геометрии является построение инвариантов геометрических объектов относительно действия групп. Этот подход во многом опирается на идеи Софуса Ли, который ввел в геометрию непрерывные группы преобразований, известные сейчас как группы Ли. В частности, при рассмотрении классификационных задач и проблем эквивалентности в дифференциальной геометрии следует рассматривать дифференциальные инварианты относительно действия групп Ли. При этом проблема эквивалентности геометрических объектов сводится к нахождению полной системы скалярных дифференциальных инвариантов.

Понятия дифференциального инварианта и инвариантного дифференцирования, введенные Софу сом Ли [50], являются основными понятиями при классификации геометрических объектов. С точки зрения геометрии пространств джетов [1], дифференциальный инвариант порядка к группы Ли С— это функция на пространстве к-джетов, инвариантная относительно продолженной группы Ли <3^.

Дифференциальные инварианты образуют подалгебру алгебры функций на пространстве джетов. В зависимости от рассматриваемой геометрии, порядки первых нетривиальных дифференциальных инвариантов могут быть различны. Например, в пространстве К3, снабженном евклидовой метрикой, кривизна и кручение кривой представляют собой дифференциальные инварианты второго и третьего порядка соответственно, а первый дифференциальный инвариант кривой на плоскости относительно проективных преобразований имеет седьмой порядок.

На алгебре дифференциальных инвариантов действуют дифференциальные операторы первого порядка — так называемые инвариантные дифференцирования. Это операторы, коммутирующие с продолжениями элементов соответствующей алгебры Ли Я. Например, дифференцирование где 5 — натуральный параметр кривой, является инвариантным дифференцированием относительно группы Ли движений кривой. Инвариантным дифференцированием относительно группы Ли проективных преобразований плоскости является дифференцирование Штуди (см., например, [48]).

Как правило, с помощью инвариантных дифференцирований из уже известных дифференциальных инвариантов можно получать новые. При этом важную роль играет теорема Ли-Трессе:

Теорема 1 (Ли-Трессе). Существует конечное число базисных дифференциальных инвариантов и инвариантных дифференцирований, таких, что любой инвариант выражается через базисные инварианты и их инвариантные дифференцирования.

Эта теорема является аналогом фундаментальной теоремы алгебраической геометрии — теоремы Гильберта о базисе, утверждающей, что алгебра полиномиальных инвариантов конечно порождена [47].

Отметим, что наряду с дифференциальными операторами первого порядка, существуют инвариантные дифференцирования более высоких порядков.

Скалярные дифференциальные инварианты эффективно используются при решении проблем эквивалентности геометрических объектов. Саму же проблему эквивалентности можно рассматривать как проблему построения полной системы скалярных дифференциальных инвариантов.

Предлагаемая диссертационная работа посвящена описанию алгебр дифференциальных инвариантов кривых и их слоений (одномерных распределений) на плоскости в различных классических геометриях и применению этих алгебр к проблемам эквивалентности.

Существует общий подход к определению кривизн кривых в различных геометриях (см., например, [18, 20]). Понятие кривизны для плоских кривых приводятся в работах следующих авторов: П. А. Широкова и А. П. Широкова [42] — для аффинной группы и ее подгрупп (центроаффинной, эквицентро-аффинной и эквиаффинной групп, группы евклидовых подобий), Б. А. Фукса [41] — для геометрии Лобачевского и др. Для нахождения дифференциальных инвариантов кривых Э. Картан применял созданный им метод подвижного репера [8]. Отметим, что метод подвижного репера является альтернативой инфинитезимальному подходу С. Ли [50], который мы использовали в работе.

Для двух плоских кривых вопрос локальной эквивалентности в геометрии Евклида решается следующей теоремой (цитируется по [39], стр. 13.).

Теорема 2. Пусть 71: [0, Ь] —> М2 и 72: [0, Ц —> М2 — натурально параметризованные регулярные кривые и их кривизны совпадают: ^1(5) = /^(з) для всех в Е [0,1/]. Тогда существует такое движение: М2 —" Ж2, сохраняющее ориентацию, что 72(5) = <^(71 (в)) для всех в Е [0, Ь].

Аналогичные теоремы приводятся и для плоских кривых в других геометриях (см., например, [42]).

Однако этот критерий имеет один недостаток: для того, чтобы записать натуральное уравнение кривой, необходимо задать натуральный параметр. То есть, в том числе, указать, какая точка кривой отвечает нулевому значению этого параметра. Но натуральный параметр не может быть выбран однозначно: он определен с точностью до преобразования сдвига и выбора направления на кривой: m±s + const (см., например, [3]).

Поэтому, если две кривые заданы натуральными уравнениями, то для применения сформулированной выше теоремы необходимо выбрать на них точки, отвечающие нулевым значениям натуральных параметров, и ориентацию кривых. Как это сделать, в теореме не указывается.

Во первой главе настоящей диссертации мы предлагаем конструктивный метод решения проблемы эквивалентности, свободный от этого недостатка, а во второй главе применяем для решения задачи эквивалентности кривых в различных классических геометриях.

В третьей и четвертой главах мы рассматриваем эквивалентность слоений кривых на плоскости в различных классических геометриях.

0.1.2 Цель работы.

Целью настоящей диссертационной работы является решение локальной проблемы эквивалентности кривых и слоений кривых на плоскости относительно структурных групп, отвечающих различным классическим геометриям: Евклида, Минковского, Лобачевского, де Ситтера, а также конформной. В каждой из рассматриваемых задач построена полная система скалярных дифференциальных инвариантов, указаны инвариантные дифференцирования и доказаны теоремы эквивалентности.

0.1.3 Основные задачи исследования.

1) Построить алгебры скалярных дифференциальных инвариантов кривых и слоений кривых на плоскости относительно групп движений в геометриях Евклида, Минковского, Лобачевского, де Ситтера и конформной.

3) В терминах построенных инвариантов найти необходимые и достаточные условия локальной эквивалентности кривых и слоений.

0.1.4 Научная новизна.

Все результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми. На защиту выносятся следующие результаты.

1) Для действий групп Ли движений в геометриях Евклида, Минковского и их М-конформных аналогов, а также в геометриях Лобачевского и де Ситтера построены алгебры дифференциальных инвариантов кривых и слоений кривых на плоскости. Указаны инвариантные дифференцирования, отвечающие этим группам Ли.

2) В терминах построенных алгебр дифференциальных инвариантов найдены условия локальной (а в случае аналитических кривых — и глобальной) эквивалентности кривых и слоений кривых на плоскости.

0.1.5 Методы исследования.

Для решения поставленных задач мы применяем методы современной дифференциальной геометрии, в том числе методы контактной геометрии и геометрии пространств джетов [5, 49].

Для построения решений дифференциальных уравнений, допускающих группу симметрий, мы используем теорему Ли-Бьянки [49].

При проведении расчетов были использовали пакеты DifferentialGeometry и JetCalculus, написанные Яном Андерсоном (I. Anderson) для системы компьютерной алгебры Maple. Мы приносим ему глубокую благодарность.

0.1.6 Теоретическое и прикладное значение.

Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический и прикладной характер. Они могут быть использованы для дальнейшего изучения геометрии кривых и слоений, в том числе и кривых в многомерных пространствах. Результаты могут быть использованы при решении задач распознавания изображений.

Построенные дифференциальные инварианты можно использовать для описания как обыкновенных дифференциальных уравнений, так и уравнений в частных производных, допускающих заданную группу симметрий. Это позволяет применить методы группового анализа для их интегрирования и, в частности, теорему Ли-Бьянки [49].

Автором диссертации составлен комплекс компьютерных программ для системы компьютерной алгебры Maple для вычисления дифференциальных инвариантов любого порядка и для решения проблем эквивалентности.

Результаты работы были частично использованы при чтении курса «Дополнительные главы теории дифференциальных уравнений» для студентов, обучающихся по специальности «Математика с дополнительной специальностью» в Астраханском государственном университете, что подтверждается актом внедрения.

0.1.7 Апробация работы.

Основные результаты диссертации были представлены на следующих семинарах и конференциях: на семинаре по дифференциальной геометрии под руководством профессора В. В. Шурыгина (Казань, Казанский (Приволжский) федеральный университет, 26 мая 2011 г.) — на семинаре по геометрии дифференциальных уравнений (Москва, Институт проблем управления РАН, апрель 2011 г.) — на Международной конференции «Геометрия в Одессе — 2007» (Одесса, Украина, 21−26 мая 2007 г.) — на II Международном семинаре «Симметрии: теоретический и методический аспекты» (Астрахань, Астраханский государственный университет, 11−14 сентября 2007 г.) — на Международной конференции «Геометрия в Астрахани — 2007» (Астрахань, Астраханский государственный университет, 11−14 сентября 2007 г.) — на Шестой молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения — 2007» (Казань, Казанский государственный университет, 16−19 декабря 2007 г.) — на Международной конференции «Геометрия в Одессе — 2008» (Одесса, Украина, 19−24 мая 2008 г.) — на Международной конференции «Геометрия в Астрахани — 2008» (Астрахань, Астраханский государственный университет, 18−24 августа 2008 г.) — на научной конференции «Геометрия — наука и учебный предмет» .

Москва, Московский государственный областной университет, май.

2008 г.) — на Международной конференции «Диффернециальные уравнения и топология», посвященной 100-летию со дня рождения JL С. Понтрягина (МГУ им. М. В. Ломоносова — Математический институт имени В. А. Стеклова РАН, Москва, 17−22 июня 2008 г.) — на Седьмой молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения — 2008» (Казань, Казанский государственный университет, 1−3 декабря 2008 г.) — на Международной конференции «Геометрия в Одессе — 2009» (Одесса, Украина, 25−30 мая 2009 г.) — на Международной научной конференции «Лаптевские чтения», посвященной 100-летию со дня рождения Г. Ф. Лаптева (МГУ им. М. В. Ломоносова — Тверской государственный университет, Москва-Тверь, 25−29 августа 2009 г.) — на III Международном семинаре «Симметрии: теоретический и методический аспекты» (Астрахань, Астраханский государственный университет, 10−14 сентября 2009 г.) — на Международной конференции «Геометрия в Астрахани — 2009» (Астрахань, Астраханский государственный университет, 10−16 сентября.

2009 г.) — на Восьмой молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения- 2009» (Казань, Казанский государственный университет, 1−6 ноября 2009 г.) — на Международной конференции «Геометрия в Одессе — 2010» (Одесса, Украина, 24−30 мая 2010 г.) — на Международной конференции «Геометрия в Кисловодске — 2010» (Кисловодск, Кисловодский гуманитарно-технический институт, 13−20 сентября 2010 г.) — на Международной школе-конференции для молодежи «Геометрия. Управление. Экономика» (Астрахань, Астраханский филиал Волжской государственной академии водного транспорта, 15−27 августа 2011 г.). на Десятой молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения — 2011» (Казань, Казанский (Приволжский) федеральный университет, 31 октября — 4 ноября 2011 г.).

0.1.8 Публикации автора по теме диссертации.

По теме диссертации автором опубликовано 7 статей (из них 3 — в журналах, рекомендованных ВАК [81−83], 2 — в реферируемых научных журналах.

84, Э7], 2 — в сборниках научных трудов [85, Б6]) и 15 тезисов докладов.

22, 23, 25, 26, 27, 29, 30, 32, 33, 34, 36, 38, 54, 55, 56].

Статьи, опубликованные в журналах, рекомендованных ВАК.

Б1. Стрельцова, И.С. М-конформные инварианты кривых [Текст] / И. С. Стрельцова // Изв. ВУЗов. Математика. — 2009. — № 5. — С. 78−81.

32. Стрельцова, И. С. Классификация 4-тканей на плоскости относительно проективных преобразований [Текст] / И. С. Стрельцова // Естественные науки. — 2011. — № 2. — С. 203−209.

33. Стрельцова, И. С. Дифференциальные инварианты кривых на двумерных многообразиях [Текст] / И. С. Стрельцова // Известия ПГПУ им. В.Г.

Белинского. — 2011. — № 26. — С. 209−217.

Статьи, опубликованные в других изданиях.

54. Кузаконь, В. М. Дифференциальные инварианты расслоений кривых на плоскости Минковского [Текст] / В. М. Кузаконь, И. С. Стрельцова // Ма-тематичш методи та ф1зико-мехашчш поля. 1нститут прикладних проблем мехашки i математики iM. Я. С. Шдстригача. — Льв1 В, 2007. — Т. 50.

— № 4. — С. 49−54.

55. Кузаконь, В. М. Расслоения кривых на плоскости Минковского [Текст] / В. М. Кузаконь, И. С. Стрельцова. — Сборник научных трудов II Международного семинара «Симметрии: теоретический и методический аспекты» .

— Астрахань, 2007. — С. 53−58.

56. Стрельцова, И. С. Структура алгебры скалярных дифференциальных инвариантов кривых и конформная кривизна [Текст] / И. С. Стрельцова.

— Доклады конференции «Геометрия — наука и учебный предмет». Под ред. Мантурова О. В. Московский государственный областной университет, май 2008 г. — С. 79−83.

57. Стрельцова, И.С. R-конформная геометрия кривых на плоскости: алгебра дифференциальных инвариантов [Текст] / И. С. Стрельцова // Геомет-р1я, тополопя та ix застосування. Зб1рник праць 1н-ту математики HAH УкраТни. — 2009. — Т. 6. — № 2. — С. 235−246.

В соавторстве выполнены две работы. Вклад автора составляет 50%. 0.1.9 Структура диссертации.

Диссертация изложена на 138 страницах, состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, содержащего 59 наименований, и приложения. Диссертация содержит 3 таблицы и 5 рисунков.

Заключение

.

Методы, предложенные в диссертации, можно применить и кдругим задачам классификации и эквивалентности геометрических объектов. Перечислим те из них, в которых нами получены результаты, не вошедшие в данную диссертацию.

1. Описание алгебры дифференциальных инвариантов кривых в и м и «П п-мерных пространствах с заданной структурной группой. В этом направлении нами найдены дифференциальные инварианты кривых в трехмерном пространстве относительно конформных преобразований пространства Евклида и Минковского (см. [27]).

2. Классификация 3- и 4- тканей относительно проективных преобразований плоскости. Три-ткань на плоскости можно задать тремя одно-параметрическими семействами функций от двух переменных: и (х, у) = Сиу{х, у) = С2, т (х, у) = С3.

Эти функции определены с точностью до калибровочного преобразования.

Введем векторое расслоение 7г: М3 М2, 7г: (и, у, ъи) н-> (х, у). Пусть ^(п) — пространство &—джетов сечений расслоения 7 г и х, у, и, у, гп, их, иу,. — координаты на нем. Три-ткань не имеет дифференциальных инвариантов нулевого и первого порядков, но имеет ровно три дифференциальных инварианта второго порядка относительно проективных преобразований. Укажем один из них:

2 {У^Ухх — 2УхУуУху + у1ууу){ь)хиу — цуцж)3.

У’уУ’хх 2ихиуиху и1иуу)('шхУу — ЫуУх)3' 122.

Нами найдены также инвариантные дифференцирования, с помощью которых строятся проективные дифференциальные инварианты более высоких порядков (см. [34]). Для 4-тканей на плоскости построены инвариантные дифференцирования и серия дифференциальных инвариантов относительно проективных преобразований плоскости (см. [35, 36]).