Конфигурационные свойства ельмслевовых проективных плоскостей

§ 1. Проективные и аффинные плоскости и конфигурации.

Инцидентностной структурой IX] называется тройка 5=<9?-1>, где — 9 и Я* $ - i<= «з1*? .

Элементы множества Я* называются точками и обозначаются цифрами или строчными латинскими буквами. Элементы множества? называются прямыми и обозначаются прописными латинскими буквами. Отношение I называется отношением инцидентности. п точек будем называть коллинеарными в S, если cytaecis-вует такая прямая L е? f которой инцидентны эти точки, п, точек будем называть акой точек общего положения в S, если никакие три из них не коллинеарны в S .

Наиболее изученными видами инцидентностных структур являются аффинные и проективные плоскости.

Проективной плоскостью называется инцидентностная структура П = < SP jt — I > «удовлетворяющая следующим аксиомам:

PI. Для любых двух различных точек р и существует единственная прямая L, такая что р, C^IL.

Р2. для любых двух различных прямых L и М существует единственная точка р такая, что рЦ, И .

РЗ. Существуют четыре точки общего положения в S .

Минимальной проективной плоскостью является плоскость Фано, граф которой представлен на рисунке х.

Инцидентностная структура с параллельностью Р00* I*.

I, ||>, где II — отношение эквивалентности на множестве? , называется аффинной плоскостью, если выполняются следующие условия:

АХ. Для любых двух различных точек р и с^ существует единственная прямая L такая, что р, с^ I L .

А2. для любой точки р и любой прямой М существует единственная прямая ь такая, что р IL и L1IM.

A3. Если для прямых L и N не существует точки, инцидентной одновременно и и И, то L ИМ .

А4. Существует три точки общего положения в, А .

Минимальной аффинной плоскостью является плоскость, граф которой представлен на рисунке 2.

Между проективными и аффинными плоскостями существует тесная Рис. 2. связь. Если из проективной плоскости П удалить некоторую пряэдую и инцидентные с ней точки, а отношение параллельности определить на множестве =• { L } следующим образом:

М II К р € 9 Yp I м, М, L, то инцидентностная структура с параллельностью П ь = < 9 Г, 1Ц где Л** = { р I рI I }, Г= (х ?%)n I, будет аффинной плоскостью, например, удалив из плоскости Фано точки 5,6,7 и прямую, инцидентную этим точкам, можно получить аффинную плоскость /рис. 2/.

С другой стороны, каждая аффинная плоскость, А однозначно определяет некоторую проективную плоскость П, в которой существует такая прямая L, что плоскость flL, получаемая указанным выше способом, изоморфна плоскости, А .

Конфигурацией называется всякая конечная инцидентностная структура. Примером может служить конфигурация фано /рис. х/.

Пусть П = < - I > - проективная плоскость и S Г> - конфигурация и Гопределенное подмножество Г, причём 9<= ^ - ^ - ^ 1 • Тогда, если Г^ I, то будем говорить, что и обладает конфигурационным свойством 5 / или в П замыкается конфигурация S /.

Наиболее важные конфигурационные свойства называют теоремами / Паппа, Дезарга и т. п./.

Пусть S = I > - инцидентностная структура и 9 5 Ii/* - подструктура этой структуры, расширением структуры в S назовём любую инцидентностную структуру Sa= L>, где фсфед* ;

I-i ° Iz ^ I, удовлетворяющую условиям: iACVpop".

2/.(VL4,Lte ^(Vpe ?Р)М pi U, L2=>p^€T2 .

Минимальным пасширением структуры в S называется пересечение всевозможных расширений структура в S .

Системой образующих ' конфигурации назовём подмножество множества удовлетворяющее условиям:

I/. минимальное расширение I* в 5 совпадает с S ;

2/. если Г" «= Г / fW Г /, то минимальное расширение Г< в S1 отлично от 5 .

Рангом конфигурации S называется число.

Л = 2 (19ч1 -И ПЫГИ.

Ранг конфигурации можно найти по её системе образующих.

Пусть F — ?PS система образующих конфигурации Г У —, ^ - подмножества" Г такие, что: т/. & и $ = Г ;

2/. никакие три точки из Ф, не коллинеарны в S ;

3/. для любой точки р € существует пара различных точек из коллинеарных с р в S. Тэгда можно показать, что число об = I |9J| + I 911 совпадает с рангом конфигурации S .

В 1943 голу Холл [4] предложил алгебраический метод описания проективных / а вместе с тем и аффинных / плоскостей. Алгебраическая система, координатизирующая указанные инцидентностные структуры, была названа тернарным кольцом. В дальнейшем появились исследования, посвящённые установлению связей между свойствами группы автоморфизмов проективной плоскости, конфигурационными свойствами плоскости и свойствами тернарных колец / [18], [20], [21] и другие/. Теория проективных плоскостей изложена в работах 1т], 12], [3], [5], [6], [19] .

В 1905 году Гессенберг [7] выяснил, что теорема Дезарт следует из теоремы Паппа. Б. И. Аргунов [20], [21], Л. А. Скорняков [19], [22], а также Клингенберг устано.

3 Ц ь вили ряд связей между конфигурационными свойствами прорис. 3. ективных плоскостей /рис. 4/.

Эти связи устанавливались при условии, что проективная плоскость не обладает конфигурационными свойствами Фано или Рашевскот С X7J /рис. 3/.

5(9.

S' (9 J2J3) аШ8- 42 J2) (-а)на+сО=а.

JK&'JO jo) (а+а) + С-а)=а Г.

3(9J0jo) t (a, b, a-b)=a-b"-a-l>" .

Н) а" ,-са-а) = а.

П Оио, 9) а-(а-а) = (а-а)а clK (9- Ca+M+ft W J2) j aKJO- 4HJ3).

П (9- а+Ь = 9,-10) Ь + а.

S'(-(0- а-(-6)*-(а-Ь).

ЛК а+ЬУс-а-с + Ь-с.

JD СЮ JO JO) i (a, b, c)=a-b + c $КМ jo Jo) e-a:(ca~(c-fe-c)) — mACiOj-M JO.

ЯК Л J6J8).

П (lo-9,9).

Рис. 4.

Результаты исследования приведены в таблицах 4 и 5.