Современные приложения операдных методов в алгебраической топологии

Понятие операды было введено Дж.П.Мэем. Как указано в [22], операдный подход оказался наиболее приспособленным к решению следующих основных задач теории итерированных пространств петель: удобная формулировка принципа распознавания, удобная геометрическая аппроксимация пространств вида QnSnX и Q00500X, возможность легкого построения гомологических операций. Таким образом, впервые понятие операды возникло в категории топологических пространств. В категорию цепных комплексов понятия операды и (ко)алгебры над операдой были перенесены в начале 80-х В. А. Смирновым [10, 11]. В настоящее время область применения теории операд значительно расширилась. Понятие операды оказалось связано с алгебраической геометрией, теорией узлов, с пространствами модулей, теорией представлений, циклическими гомологи-ями, квантовой теорией поля (см. [23, 29, 21]). Этот, если так можно сказать, общематематический статус операд был зафиксирован проведением в 1995;1996 нескольких конференций под общим девизом «Renaissance d’Operads» .

В ряде работ [9, 8, 12] операдные методы были применены к описанию когомологий алгебр. Отправной пункт этого описания — теорема, доказанная Т. В. Кадеишвили (см. [2]) о том, что на гомологиях ассоциативной алгебры относительно внутреннего дифференциала, заданной над полем, имеется некоторая специальная структура алгебры над Aoo-операдой. Такие алгебры сейчас принято называть алгебрами Сташефа.

Цепной комплекс, А является алгеброй Сташефа, если для всех п > 0 заданы отображения 7ГП: А®(п+2) —А, повышающие степень на п и удовлетворяющие тождествам дттп — (-1)п7тпд—?(-1)^^(1®. (8) тг^,-.! ® 1 (8) .Ol) = 0. г, к.

Примером алгебры Сташефа может служить ассоциативная алгебра. 3.

В этом случае щ — это умножение алгебры, а остальные тхп нулевые.

Следует различать два понятия гомологии дифференциальной градуированной алгебры А. Во-первых, гомологиями алгебры можно называть гомологии, А как цепного комплекса (относительно имеющегося на, А внутреннего дифференциала). Во-вторых, гомологиями, А можно называть гомологии В-конструкции алгебры А. Какие именно гомологии имеются в виду, при необходимости будет оговариваться. Под когомологиями ассоциативной алгебры, если не оговорено противное, понимается ЕхЬ^(Я, К).

В перечисленных работах В. А. Смирнова определены понятие неразложимых элементов алгебры Сташефа и понятие соотношений. Кроме того, для алгебры Стинрода введено понятие базисных соотношений. Им вычислены неразложимые элементы в когомологиях алгебры Стинрода, соотношения, базисные соотношения. Им также было показано, каким образом базисные соотношения порождают всевозможные соотношения в когомологиях алгебры Стинрода А2. Тем самым, В. А. Смирновым было получено полное описание когомо-логий алгебры Стинрода А2. В первой главе методы работ [9, 8, 12] применяются для получения полного описания когомологий алгебр Стинрода Ар, р > 2.

В § 1.1 даются основные определения, касающиеся операд в категории цепных комплексов и приводятся основные примеры. Семейство Е = {Е{]) | ^ > 1} называется операдой с 1 (в категории цепных комплексов), если а) задано отображение семейств 7: Е х Е Е, где.

Е х Е) У) = 0 Е (к) ® Е (31) ®. 0 Е (л), такое, что коммутативна диаграмма.

Е х (Е х Е) ^ ЕхЕ 1 Т.

ЕхЕ)хЕ ЕхЕ Е ^ Е 4.

Ь) существует элемент нулевой степени 1 Е Е (1) такой, что 7(1 ® х) = х и 7(3- (8) 1 <8). (8) 1) = ж.

Операда Аоо может быть описана следующим образом. Рассмотрим свободную операду, порождённую элементами ттп с п + 2-го этажа операды, с^7гп = п. Введем в полученную операду новый дифференциал, определив его на образующих формулой ттп+1 = 1 <8>. • • <8> 1 ® 7Г&bdquo-«1 (8) 1 О. 0 1).

Здесь ттп—{—1 стоит на к-и месте, суммирование ведется по всевозможным г и к, а е (п, г, к) = п + гк + пк.

Алгебры над Аоо-операдой мы называем алгебрами Сташефа. В § 1.2 вводится Б-конструкция алгебры Сташефа, дается определение гомологий алгебры Сташефа.^{-конструкция} алгебры Сташефа является с/д-коалгеброй. Излагаются необходимые свойства 5-конструкций. Определяется Д^-морфизм алгебр Сташефа, как гомоморфизм их^{-конструкций,} перестановочный с коумножением. Это определение переформулируется на языке скрещивающих коцепей. Скрещивающей коцепью из ассоциативной коалгебры К в алгебру Сташефа, А называется отображение (р: К —)• А степени — 1, удовлетворяющее тождеству: д (р + <рд + Е тгп о (р 0. ® (р о У (п + 2) = О, где У (п + 2) — итерированное коумножение. Имеют место следующие утверждения.

Предложение 1.1. Пусть ср: К —А — скрещивающая коцепь. Определим В (р): К —> В, А формулой.

В (<�р){х) = ~[Ф)] + ЕИГЬ ®. (8) ^ о У (п + 2)(з)]. п>0.

Тогда а) ??( ) — морфизм йд-коалгебр, 5.

Ь) всякий морфизм <1д-ко алгебр К -)¦ В, А имеет, вид В (ф) для некоторой однозначно определенной коцепи ср.

Теорема 1.1. (см. [2]) Пусть основное кольцо # является полем и пусть, А — ?д-алгебра. Тогда на А* = Н*(А, дА) — ее гомо-логиях относительно внутреннего дифференциала, имеется структура алгебры Сташефа, причем существует скрещивающая коцепь (р: В А* —" А такая, что В (ср) является цепной эквивалентностью.

Пусть имеется ассоциативная алгебра, заданная над полем и конечномерная в каждой размерности. Ее когомологии могут вычислены как гомологии Е-конструкции двойственной к ней коалгебры. Так как^{-конструкция} является (¿-^-алгеброй, то по теореме 1.1 на когомологиях данной ассоциативной алгебры имеется специальная структура алгебры Сташефа. В частности, такая структура имеется на когомологиях алгебры Стинрода.

§ 1.3 посвящен отдельной проблеме, возникающей при описании когомологий ассоциативных алгебр в терминах алгебр Сташефа. Она состоит в согласованном определении всех знаков в многочисленных конструкциях и определениях, используемых в первой главе. В случае основного поля Z/2 это не нужно, а в случае поля Ъ/р эта задача становится важной. Кроме того, эти знаки необходимы для компьютерных вычислений в алгебрах Сташефа. Результат этого параграфа состоит в согласованном определении всех знаков, необходимых в работе. Показано, как эти знаки были получены.

§ 1.4 посвящен собственно описанию когомологий произвольных ассоциативных алгебр, определенных над полем. В этом параграфе мы следуем [12]. Пусть А* — произвольная алгебра Сташефа с нулевым дифференциалом. Как указывалось выше, в качестве такой алгебры можно рассматривать когомологии алгебры Стинрода. Имеется вложение I: £А* —>• БА*, г (а) = [а]. Короткая точная последовательность цепных комплексов.

О —>¦ ЕА* В А* -А В1 А* —>> О, где В1 А* = сокег г, а ] — проекция, дает длинную точную последо6 вательность.

ЕА* Я*(?А*) Н*(В1А*) -А Е2А* —>

Отображение ?1 называется произведением Масси. Элемент А* называется разложимым, если он принадлежит 1 т ¡-л. Модулем неразложимых элементов называется (¿-А* = сокег ?1. Модулем соотношений называется кег ?1. Если известны неразложимые элементы и соотношения, то можно восстановить А* (см. теорему 1.4) Этот факт доказан в [12].

Пусть К — ЯСА-коалгебра с 1, А = А, = Н*(РК, дР). В нашей задаче коалгеброй К является двойственная к алгебре Стин-рода. Зафиксируем на А* структуру алгебры Сташефа вместе со скрещивающей коцепью (р*: В, А —>• А*, задающей цепную эквивалентность В ((р*): В, А -> БА*. Эта коцепь может быть выбрана так, что где г]: А —)• А* — отображение перехода к классу гомологий. Пусть РК — модуль примитивных элементов коалгебры.

Следующее утверждение позволяет вычислить неразложимые элементы в когомологиях алгебры.

Теорема 1.3. Скрещивающая коцепь ср* индуцирует изоморфизм модулей фА* = Е~1РК. [12].

Образ отображения 71л* — А^ содержит только «тривиальные» соотношения, то есть только те, которые вытекают из структуры алгебры Сташефа. Коядро 71а, — Аоо^: АооАооА* —А^А* обозначим ]УА*. Любой элемент ТУА* записывается в виде 7гп (8)^1 0. Определим &: БЫ* —" ЛГА* формулой к [аь ., ап] = (—1)птгп2 0 й1 ®. ® а„

Предложение 1.3. кег к = нп с^*- [9].

Из этого утверждения следует, что ограничение к на циклы в В1 А* корректно определяет мономорфизм Н*(В1А*) —> ЛМ.*, который мы также будем обозначать через к. п = 1 п > 2 7.

Для вычисления соотношений достаточно вычислить образ ф: К—> —> Я,(БЫ,) ТУ А*, где первое отображение — каноническое отображение, индуцированное стандартной скрещивающей коцепью, второе — изоморфизм, существующий по теореме Кадеишвили, последнее — мономорфизм к, определенный в предложении 1.3.

Пусть х? К. Обозначим через • -<8>я£+2 те слагаемЬ1е п>0.

XI V (к)х = %1+2 0 ••• 0 ^п+25 однородные компоненты которых.

0 п> О составлены из примитивных элементов коалгебры К. Тогда.

0 фч+2] ® • • • ® ФпХИ п> О.

В оставшейся части § 1.4 показано, как по данным (¿-А* и ¿-ш ф восстановить алгебру А*. Обозначим через М факторалгебру А^С^А* по сташефскому идеалу, порожденному ¡-т ф. Введем в М фильтрацию: Е1М = С^А*, Рп+1М состоит из произведений Масси от элементов ГпМ. Обозначим через М = и ЕпМ. Имеется очевидное п> 1 отображение I: М А*.

Теорема 1.4. /: М А* — изоморфизм линейных пространств. [12].

В § 1.5 приводятся неразложимые элементы когомологий алгебр Стинрода. Для р = 2 ими являются элементы 1гп = 2п — 1, п > 0- а для р > 2 — д0 и Нп, |.д0| = 0, кп = (2р — 2) рп — 1.

Базисным соотношением в когомологиях алгебры Стинрода называется соотношение ф (х), где х — неразложим. Таким образом, базисными соотношениями при р = 2 являются соотношения 7 г (/гп (?). ® /¿-о) = 0, п > 1- а для р > 2 к выписанным соотношениям следует добавить тт (Нп ®. 0 /го ® <?о) = 0, п > 0. Основным результатом этого параграфа является 8.

Теорема 1.5. ф (х) =7ГП0 <кк,., Ь, 5к, 0. 0 /г0, • • •, ®. 0 V.

Лв11 0. <8> к0 ® Лвт-1 0. 0 /г0 0 #о>

П > ••• >?4 >0- > 2- >. 5 т > 0. Она позволяет выразить произвольное соотношение через базисные. Описание операции <. > см. в основном тексте работы. Соответствующее утверждение для р — 2 было получено В. А. Смирновым.

Вторая глава диссертации посвящена некоторым вопросам, связанным с практическим использованием результатов первой главы.

В § 2.1 изложены основные идеи организации вычислений в ассоциативных алгебрах. Вычисления в ассоциативной алгебре основаны на понятии записи. Пусть, А — некоторая ассоциативную алгебра. Представим ее в виде фактор-алгебры, А = где ^ — свободная ассоциативная (не коммутативная!) алгебра, а I — идеал в ней. Чтобы произвести какие-нибудь арифметические действия над элементами алгебры А, например, вычислить значение многочлена Р (аь ., ап), для каждого элемента агвыбирают элемент так, чтобы [/?] = аг-. Элемент /гназывается записью элемента аг-. Вычисляется Р (/ь .,/"). Ясно, что ., /п) запись Р (уО,., ап). При использовании этой схемы возникает проблема, как определить по записи результата вычислений равен ли он 0. Иными словами, для /? ^ требуется определить выполняется ли равенство [/] = 0 в алгебре А. Обычный путь решения этой проблемы состоит в следующем. Строится некоторый алгоритм, который каждому элементу / 6 ^ ставит в соответствие элемент ./V/? .Р, удовлетворяющий двум свойствам.

1) {^П = [/]•.

2) Если [Л] = [/2], то N1, = N?2. 9.

Второе свойство означает, что в каждом классе смежности / + I имется единственный выделенный элемент N $. Алгоритм по произвольному элементу f? Е строит ЛГ/ — выделенный элемент из его смежного класса. Элемент Nf называется нормальной формой элемента /, а алгоритм — алгоритмом приведения к нормальной форме.

Для вычислений в алгебрах Сташефа, в частности для использования результатов по описанию когомологий алгебры Стинрода из первой главы настоящей диссертации, необходимо развить теорию вычислений в алгебрах Сташефа. Во второй главе мы рассматриваем проблему сравнения записей элементов в свободных алгебрах Сташефа. Эта задача нетривиальна, так как даже в свободной алгебре Сташефа внешне различные элементы.

7г0(7г1(а1,а2,аз), а4) + (аь 7г0(а2, а3), а4) и.

— 1)|а1|7Го (а1,7Г1(а2,аз, а4)) + щ {щ{аи а2), а3, а4) + ^(а^ а2,7г0(а3, «4)) совпадают.

В § 2.2 вводятся понятие записи элемента свободной алгебры Сташефа и понятие нормальной записи. Формулируется основной результат 2-ой главы:

Теорема 2.1. Среди записей данного элемента свободной алгебры Сташефа Е имеется ровно одна нормальная. Существует алгоритм, который по произвольной записи / некоторого элемента алгебры Е строит нормальную запись этого же элемента. В § 2.3 содержит доказательство теоремы 2.1 Глава 3 посвящена построению алгебр операций Стинрода в ориентированных и специальных унитарных кобордизмах. Понятие операции Стинрода в экстраординарной теории когомологий было введено том Диком. Он же построил операции Стинрода в некоторых теориях кобордизмов. Построению операций Стинрода в экстраординарных теориях когомологий посвящен ряд работ (например,.

10 см. [19, 24]). В частности, получены условия на представляющий спектр теории когомологий, при выполнении которых в соответствующей теории когомологий имеются операции Стинрода. Однако, до сих пор не было выяснено, какую алгебру образуют операции Стинрода. В работах [6, 26] был предложен новый подход к построению операций Стинрода и Дайера-Лашофа в экстраординарных теориях когомологий, который позволяет строить алгебры таких операций. Он основан на предложенном В. А. Смирновым понятии биоперады и мультипликативного семейства над ней. В работах [6, 26] были построены алгебры операций Стинрода в неориентированных, унитарных и симплектических кобордизмах.

В § 3.1 рассматривается операда состоящая из пространств |-В*(*, Еп, Еп)|. Детально ее структура исследована в [13].

В § 3.2 дается определение биоперады и мультипликативного семейства над биоперадой.

Набор топологических пространств {Е (]): ] > 1} называется симметрическим семейством, если для каждого ] > 0 на пространстве Е (]) действует симметрическая группа Е^-.

Симметрическое семейство {Е{]): j > 1} называется биоперадой., если заданы отображения тт: Е (т) х Е (п) —>• Е (т + п) и 7: Е (к) * Е (п) —" Е (кп), которые удовлетворяют некоторым свойствам ассоциативности и дистрибутивности.

Семейство Р называется Е-мультипликативным, если заданы отображения тг: Е (п) х Е (т) —) — Е (т + п) и ?1: Е (к) *Г (п) —" Е{кп), удовлетворяющие некоторым условиям ассоциативности и дистрибутивности.

Эти отображения позволяют рассматривать Е как алгебру со сложением 7 г и умножением 7, а Е — как модуль над алгеброй Е со сложением 7 г и действием алгебры р,.

Биоперада Е называется Д^-биоперадой, если для всех п действие группы Еп на Е (п) свободно, и пространство Е{п) стягиваемо.

В § 3.3 мы напоминаем конструкцию Е^-биоперады ЕС, где С = О, и или предложенную в [6, 26]. Показывается, семей.

11 ство БО = {БО (п)} и семейство МО = (МО (п)} являются Ей-мультипликативными семействами. Специальная конструкция пространства Тома МО (п), где О = О, С/, 5р, позволяющая ввести на МО структуру ¿-^-мультипликативного семейства, была предложена В. А. Смирновым.

Основными результатами этого параграфа являются следующие. Построена Дзо-биоперада ЕО, где О = 50 или Б11. Для этих биопе-рад построено ЕС-мультипликативное семейство ВО. Предложена такая реализация пространств Тома МО (п), С = 50,5/7, что семейство МО оказывается ЕО-мультипликативным.

Рассмотрим симплициальные пространства МБО^п) и М5?/*(п):

М50у (п) = (0(п) х. х 0(п))А (5п V 5П),.

4-V-' з.

МБи^п) = (77(п) х. х II (п))А (51А52п), ц— «» V ^ 3 операторы граней и вырождения которых приведены на стр. 6−3 и на стр. 65 соответственно.

Предложение 3.4. Геометрическая реализация |М50*(п)| является пространством Тома М80(п) универсального векторного расслоения над Б50(п).

Предложение 3.6. Геометрическая реализация |М5/7*(п)| является пространством Тома универсального векторного расслоения над В3и (п).

Приведем формулировки остальных результатов параграфа.

Предложение 3.5. Семейство пространств {550(п)} является ЕБО-мультипликативным.

Теорема 3.2. Семейство {М30(п)} является ЕБО-мулъти-пликативным семейством.

Предложение 3.7. Семейство пространств {Б5?7(п)} является ЕБи-мультипликативным семейством.

Теорема 3.3. Семейство {MSU (n)} является ESU-мультипликативным семеством.

В § 3.4 определяется алгебра операций Стинрода AMG*(k). Для каждого х G AMGdi (k) строится действие.

Рх: MGdj (X) MGkdj-di (X).

Предложение 3.9. Класс Рх (у) определен корректно.

Доказательство справедливо как для G — О, U, Sp, так и для G = SO.SU.

Основным результатом параграфа является.

Теорема 3.4. Существуют алгебры операций Стинрода в ориентированных и специальных унитарных кобордизмах. Эта теорема немедленно вытекает из теорем 3.2 и 3.3 и из общей конструкции алгебры операций Стинрода, приведенной в [26].

В § 3.5 устанавливается связь построенных в предыдущем параграфе оперций с операциями Стинрода в определении Т. том Дика.

Предложение 3.10 Пусть х? AMGdi{k), у е MGdj (X). Тогда.

Qdi (y)/x = Px (y).

Здесь Qdi: MGdj (X) MGkdi (X Л BG (k)+) — операция Стинрода в определении Т. том Дика.

Наконец, для действий биоперад ESO и ESU в семействах В SO и BSU соответственно вычисляются индуцированные отображения в гомологиях и когомологиях.

Предложение 3.11. а) Для кодействия х*: BSO*(2n) ESO* {2) * BSO*(n) имеет место формула.

Ь) Для ко действия р*: В8и*(2п) Е3и*{2) * В311* (п) имеет место формула = Уу ^ Щт — 2к)(п — т + к).

2т-Ак * ск.

В обоих случаях кодействие на остальных элементах ВЗО*(п) и В8и*(п) может быть определено с помощью алгебраической структуры, существующей на этих когомологиях. Предложение 3.12. а) Для действия.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Ю. П. Соловьеву за постоянное внимание и поддержку, а также профессору В. А. Смирнову за многочисленные плодотворные обсуждения.

II*: Е30,(2) * ВБО*(п) £50*(2гг) имеет место формула.

Ь) Для действия ц*: ?5?/*(2) * Вви^п) ?577* (2п) имеют место формулы (в2г-ы * у к) = 0 и.

Уг+2к + непримитивные элементы.