Многозначные формальные группы

Пусть п. — коммутативное кольцо с единицей, тг ш^и.

— кольца формальных рядов от независимых переменных. Одномерной формальной группой над кольцом Я называется формальный ряд f (*./) 6 £[[такой (что.

Если, кроме того, f (x>$) = f ((f> х), то формальная группа называется коммутативной. Аналогично определяется tnмерная формальная группа.

Для любой алгебры Хопфа ktMU) (умножение в которой есть обычное умножение формальных рядов),, формальный ряд является формальной группой. Обратно, любая формальная группа может быть так получена.

По любой Пимерной локальной группе Ли /г можно построить тмерную формальную группу F^ следующим образом. Пусть ^? Vc Qr, е — единица группы (г, а V — координатная окрестность, причем е имеет координаты f, о). Пусть в У имеют координаты Х^), соответственно. Если достаточно близки к единице е, то произведение ху принадлежит V. Пусть имеет координаты > г"). Так как (г — локальная группа Ли, то координаты (Z^t, 2т) можно в окрестности V разложить в ряды fa >>¦>> —> У" ! «l^d. 2/я, jfi .

Легко проверяется, что эти ряды задают т. -мерную формальную группу.

Примером одномерной коммутативной формальной группы над произвольным кольцом И является формальный ряд где CL — любой элемент кольца Я .

Другой, важный для алгебраической топологии, пример одномерной коммутативной формальной группы принадлежит А. С. Мищенко и С. П. Новикову [15]. Пусть ft (') — произвольная мультипликативная экстраординарная теория когомологий, в которой существуют характеристические классы Чженя GсЛ>0 комплексных векторных расслоений. Формальная группа в теории ?) (•) возникает из ряда выражающего первый класс Чженя тензорного произведения одномерных универсальных комплексных расслоений над пространством СР (^о) через первые классы Чженя сомножителей.

Формальные группы впервые ввел Бохнер [Z3]. Он перенес теорию Ли о связи групп и алгебр Ли на формальные группы над произвольными полями характеристики нуль. В начале 50-х годов началось интенсивное изучение формальных групп над полями характеристики р>о. Оказалось, что формальные группы над полями ненулевой характеристики не определяются своими алгебрами Ли. Дьедон-не Г 9 3 определил^{ипералгебры} Ли и показал, что формальная группа однозначно восстанавливается по своей гипералгебре Ли.

Большой вклад в изучение формальных групп внес Лазар Г 2&J. Он доказал, что над Qалгебрами (Q — поле рациональных чисел) любая одномерная формальная группа f^x>!/) имеет вид где оо.

Это означает, что любая одномерная формальная группа над О,—алгеброй коммутативна и заменой переменных приводится к аддитивной формальной группе х+у. Ряд $(х) называется логарифмом формальной группы. Для формальной группы логарифмом является ряд.

Е1((М*" а IbU+Q*).

K=i.

У формальной группы в теории комплексных кобордизмов (J (•/ логарифй вычислен А. С. Мищенко (см. приложение ! к f 151), он выражается формулой ^ где ССР (К) 1 — класс кобордизмов комплексного проективного пространства, К>/1 .

Лазар также доказал, что существует универсальная одномерная коммутативная формальная группа над кольцом и целочисленных полиномов от счетного числа образующих, Эта формальная группа обладает тем свойством, что для любой одномерной коммутативной формальной группы над произвольным кольцом И существует единственный гомоморфизм колец T: B-*R, при котором формальная группа переходит в формальную группу (см. [ 2'S~). Квиллен доказал замечательную теорему, что формальная группа в комплексных кобордизмах ^ над кольцом SL^j = U (точка) изоморфна универсальной формальной группе Лазара С 261. Таким образом, появилась возможность для решения топологических задач привлечь методы теории формальных групп. Для этого необходимо перевести утверждения с языка алгебраической топологии на язык теории формальных групп. Оказалось, что все основные понятия и факты теории комплексных кобордизмов выражаются через универсальную формальную группу Лазара. Это позволило с единой точки зрения объяснить ряд важных результатов алгебраической топологии (см. обзоры [ 5 ], [ 6 ]).

Другие многочисленные применения теории формальных групп в алгебраической топологии, а также в алгебраической геометрии и в теории чисел имеются в [13], [ 24] .

Основным объектом этой диссертации являются /гзначные одномерные коммутативные формальные группы, введенные В.М. Бух-штабером Г 3]. В дальнейшем вместо, пзначная одномерная коммутативная формальная группа" мы сокращенно будем писать Пф.г. (если ясно, какое п. имеется ввилу, то будем писать ф.г.). Закон умножения Пф.г. в Е 31 задается при помощи алгебраических функций над кольцом формальных рядов. Как и в случае классических (однозначных) формальных групп каждой Пф.г. естественным образом сопоставляется коалгебра (R[[*!], л). Для п > i эта коалгебра, вообще говоря, не является алгеброй Хопфа, т. е. Л не кольцевой гомоморфизм. Дадим определение Иф.г. в терминах свойств соответствующей ей коалгебры. В С 3 И доказано, что для ti-Z над кольцом Rt^l оба определения описывают один объект (доказанная ниже теорема 4.9 утверждает, что над кольцами вида Rl~jfil оба определения описывают один объект и при П > Z).

Рассмотрим уравнение, над кольцом f1- +(-if0n (*,-o, «>

Уравнению (1) сопоставим ряды рк (по формулам в,.

Рк — 4 (x^jp^. '(-^fajfrfJW'O,.

Заметим, что если,^л — корни уравнения (1), то п к.

Рк (х^у) =} у. — полиномы Ньютона для уравнения (1). Уравне.

L~± L ние (I) называется Пф.г. над кольцом R-, если оператор

А •• R [[X]] к i определенный формулой = ^ задает на кольце RlLxll структуру коммутативной коалгебры. Ф.г. назовем элементарной, если — однородный полином степени it.

Ф.г. можно определить и как коалгебру.

RHx]]^), коумножение которой можно представить в виде.

A^itZZA-, где А/ - мультипликативные операторы ' ft[[^ll * ^ f a — какое-то расширение кольца Б этом случае уравнение (I) имеет вид yj (.

Приведем примеры Пф.г. Тривиальный пример П. -ф.г. дает уравнение *. л.

2).

Здесь — обычная (однозначная) ф.г. Коалгебра, соответствующая tlф.г. (2) — совпадает с коалгеброй, соответствующей ф.г. в действительности, если является Лф.г., то (REM], А) является К/1 -ф.г. для любого натурального чисп. к ла Кi. В этом случае л Т~" у, А .

П КП L '.

L-l J-i.

Приведем пример элементарной /гф.г., не имеющей вида (2). Этот пример принадлежит В. М. Бухштаберу и С. П. Новикову ?7]. Пусть.

••• > ?n — полный набор корней степени П из единицы. Определим мультипликативные операторы &L, 1=1,., И формулой.

3) j П- ' и положим, А — 2U, А • • Тогда.

L «п en р? рс<�л*уг (4) сО.

Из последней формулы следует, что оператор Д задает в кольце № 77 структуру коммутативной коалгебры. Таким образом, ко-алгебра, определенная формулой (4), является П — ф.г., которую мы будем называть циклической П — ф.г.

Пусть ¥-(ос)7 формальный ряд над кольцом R.. Определим мультипликативное отображение.

Ф :№*]]-* Ш*1] формулой f (Wxj) «f (. Здесь ^М) — обычная подстановка рядов. Две коалгебры (), (Я 11*11 0 Аг) назовем сильно изоморфными, если существует формальный ряд ILcllXl*1, aieU такой, что следующая диаграмма коммутативна.

77 Щх] 1 I.

1 / л.

Нг.

—-ft [[I, уп, т. е. Д,. Две /2. — ф.г. назовем сильно изоморфными, если соответствующие им коалгебры сильно изоморфны. Ниже сильный изоморфизм иногда будем называть заменой переменных. Введем ряды Вп (з?) с помощью формул ([ 7 ], [ 8 J): г.™

Ясно, что коэффициенты ряда Вп fx) принадлежат кольцу ® Q.' Рассмотрим /г — ф.г., которая получается из циклической Л — ф.г. при помощи замены переменных, задаваемой рядом Вл (х):

П (7 — (К1((VX&+ ?L fojjif)) =.

2. (5).

Определение (Г 8 j) • определяемая уравнением (5)? называется п — ф.г. в кобордизмах.

Уравнение двузначной ф. г, в кобордизмах впервые возникло в работе В. М. Бухштабера и С. П. Новикова L 73, в связи с изучением образа кольца симплектических коборцизмов в кольце комплексных кобордизмов. В этой работе был поставлен вопрос: какой класс многообразий связан с /1 -значной ф.г. в кобордизмах: для ti > Z ?

Пусть — минимальное подкольцо в кольце ® Q, порожденное коэффициентами рядов (%,}/)> > ^ Л- ~ ф.г. в кобордизмах. Тогда кольцо.

Лео. является кольцом полиномов [83. Следуя Дольду С Ю 3 «зададим мультипликативный проектор формулой, п.

— ю.

Оказывается, Г 8 ], что проектор 9Сп совпадает с известным проектором Адамса [ 22 ] в теории кобордизмов. Опишем этот проектор. Пусть ^^L — операция Адамса-Новикова [ 15 ], задаваемая своим значением на элементе «UCTiffjcL/^fCPCo*)) формулой.

Здесь ^ —> CP foo) каноническое линейное расслоение Хопфа,.

— первый класс Чженя в теории кобордизмов U*(') [ II ] «.

— поле комплексных чисел. Положим а^ (v) — nf fj j.

У t-i.

Ряд 26h (ii) задает мультипликативную, когомологическую операцию которая является проектором. Этот проектор и называется проектором Адамса в кобордизмах.

Определение^ 8]^. Простое число р назовем /гдопустимым, если уравнение X О имеет ровно tl решений в кольце целых радических чисел.

Пусть п И — кольцо рациональных чисел, знаменатели которых взаимно просты со всеми пдопустимыми простыми числами. Например, , ,.

Оказывается, что проектор Адамса отображает подкольцо [к U*(-) кольца Q® If (') в себя [ 81. Пусть.

U*Xn (¦j-ImX^irileU'i-)) ~ теория когомологий, выделяемая проектором Адамса на этом под-кольце. В § II диссертации доказана.

Теорема II.6. Имеет место равенство колец ?> 1 — U&-з (точка).

— II.

Б работе [д] В. М. Бухштабер доказал, что кольцо nJ= J2 ипи* (точка) состоит из всех классов кобордизмов комплексных многообразий Н2″^, у которых все когомологические числа Чженя вида С^. С^ [Мгп<^ J равны нулю, если ti ф 0 mod П для некоторого i, S. Этот результат, вместе с теоремой II.6 дает ответ на вопрос В.М. Вух-штабера и С. П. Новикова для /1−3 •.

При изучении двузначной ф.г. в кобордизмах, В. М. Бухштабер построил алгебраическую теорию двузначных формальных групп Г 3 В качестве приложения этой теории он получил целый ряд новых результатов в теории симплектических кобордизмов и в теории характеристических классов векторных расслоений [4 J, Г 5 ]. Им доказано, что с точностью до замены переменных над Q. -алгебрами без делителей нуля любая двузначная ф.г. является либо однозначной ф.г., либо двузначной циклической ф.г.

Определение. Иф.г. Т над кольцом /? называется универсальной для совокупности! Ьф.г. над кольцами Ru 9 если для любой /Iф.г. ^ существует гомоморфизм колец 7Г: ft-* при котором П. -ф.г. Т переходит в 7ы,.

По аналогии с далеко продвинутыми теориями однозначных и двузначных ф.г. [51 основными задачами теории /гф.г. являются:

1) классификация /гф.г. относительно сильного изоморфизма над различными кольцами;

2) вычисление колец над которыми определены универсальные /г-ф.г.

Для решения этих задач необходимо, прежде всего, классифицировать элементарные! Ъф.г., так как различные элементарные /Ъф.г. не могут быть сильно изоморфными.

В настоящей диссертации построен алгебраический аппарат для исследования пф.г. над Qалгебрами, для любого натурального числа И. Показано, что каждой Лф.г. соотвествует дифференциальный оператор щ причем т < П .По дифференциальному оператору о!^, пф.г. однозначно восстанавливается'. Поэтому называется генератором flф.г. На коэффициенты Qjz) генератора о/^ выводятся дифференциальные уравнения. С помощью этих уравнений получена классификация элементарных Пф.г. при 4⁸, а также получена классификация трехзначных ф.г. относительно сильного изоморфизма. Именно доказаны:

Теорема 7.19. Над полем характеристики нуль число элементарных пф. г, равно числу делителей числа /2, включая единицу и само число ft f 8.

Теорема 8.9. Над ^ -алгеброй без делителей нуля любая трехзначная ф.г. сильно изоморфна либо однозначной ф.г. либо трехзначной циклической ф.г.

Следствие. Трехзначная ф.г. в кобордизмах над кольцом А. является универсальной для трехзначных ф.г. (элементарная часть которых является трехзначной циклической ф.г.) над кольцами без кручений и без делителей нуля.

Таким образом, теоремы 8.9, II.6 дают для /7=3 ответ на задачу 2 над кольцами, для которых канонический гомоморфизм L ' % * ft) является вложением. Важность циклических /2 -ф.г. подчеркивает Теорема 6.4. Пусть J^ - J" 1 ~ генератор элеменc/xiтарной пф.г. над Qалгеброй без делителей нуля, причем i. Тогда П=т и пф.г. является циклической Кф.г.

Приведем топологическую интерпретацию циклической пф.г. Пусть есть Лмерное комплексное векторное расслоение над клеточным пространством о. Обозначим через идеал кольца целочисленных когомологий Н (В), порожденный характеристическими классами Чженя Ci (?), d.? L /1−1.

Теорема 9.3. Пустьдва Пмерных комплексных векторных расслоения над &. Тогда l°CKn (I, 9lg) = 9K (Cn (Cj, Cn (rJn, ocJI, иклп, г' Cf, (Ь «la) э о moc/17 f * кп.

Здесь X — произведение идеалов коэффициенты циклической Цф.г., Я.

Следовательно, циклическая /^-ф.г. может быть определена в терминах закона, выражающего характеристические классы Чженя тензорного произведения /г. -мерных комплексных расслоений через характеристические классы сомножителей. Аналогичное утверждение справедливо для /гф.г. в кобордизмах [8J. Изложим содержаниедиссертации по параграфам. В § I излагается теория колец инвариантных операторов непрерывных формальных коалгебр. Здесь мы следуем работам? 3], С 121 • Эта теория является главным инструментом исследованияф.г.

В §'2 доказаны основные технические теоремы о первом каноническом инвариантном операторе cl± непрерывной формальной коал-гебрь^и выведены дифференциальные уравнения на коэффициенты.

— 14.

В § 3 введены важные формальные коалгебры — отмеченные коалгебры, которые полностью определяются своим первым каноническим инвариантным оператором .

В § 4 дано определение и приведены примеры 1гф.г. и вычислен генератор с^ циклической itф.г. для любого натурального числа, а .

В § 5 показано, что коалгебра, соотвеетвующая п. -ф.г., является отмеченной.

В §§ 6,7 получена классификация элементарных h. -ф.г. для.

В § 8 получена классификация трехзначных ф.г. относительно сильного изоморфизма.

В § 9 дана топологическая интерпретация циклической цф.г.

В § 10 введена 1гф.г. в кобордизмах и теория когомологий U эеп (') у с ней ассоциированная [81. В § 10 приведен также краткий обзор необходимых нам фактов теории комплексных кобордиз-мов. Здесь мы следуем методам работ [II], [15], [ 17 J .

В § II доказано, что (J ^ (точка) = $ к/.

В заключение, мне хотелось бы выразить глубокую благодарность моему научному руководителю М. М. Постникову за руководство работой, а также В. М. Бухштаберу за многочисленные советы и помощь в работе.

1. Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. М.: Наука, 1972.

2. Бухштабер В. М. Характер Чженя-Дольда в кобордизмах I. Матем. сб., 1970, т.83, JS 4, с. 575−595.

3. Бухштабер В. М. Двузначные формальные группы. Алгебраическая теория и приложения к кобордизмам. I. Изв. АН СССР. Сер. матем. 1975, т.39, Ш 5, с. 1044−1064- П. 1976, т.40, J& 2, с.289−325.

4. Бухштабер В. М. Топологические приложения теории двузначных формальных групп. Изв. АН СССР. Сер. матем., 1978, т.42, J6 I, с. 130−184.

5. Бухштабер В. М. Характеристические классы в кобордизмах и топологические приложения теорий однозначных и двузначных формальных групп. Современные проблемы математики, т. 10, с.5−178, М.: ВИНИТИ АН СССР, 1978.

6. Бухштабер В. М., Мищенко А. С., Новиков С. П. Формальные группы и их роль в аппарате алгебраической топологии. Успехи матем. наук, 1971, т.26, & 2, с.131−154.

7. Бухштабер В. М., Новиков С. П. Формальные группы, степенные системы и операторы Адамса. Матем. сб., 1971, т.84, J& I, с.81−118.

8. Бухштабер В. М., Холодов А. Н. Топологические конструкции, связанные с многозначными формальными группами. Изв. АН СССР. Сер. матем. 1982, т.46, J& I, с.3−27.

9. Дьедонне S. Дифференциальное исчисление в полях характеристики р > 0. Мездународный математический конгресс в Амстердаме. 1954, с.134−150, М.: Физматгиз 1961.

10. Дольд А. Соотношения мевду ординарными и экстраординарными теориями гомологий. Математика, 1965, J? 2, с.8−14.

11. Коннер П., Флойд Э., О соотношении теории кобордизмов и- 80 Ктеории. Дополнение к книге «Гладкие периодические отображения» М.: Мир 1969.

12. Левитан Б. М. Теория операторов обобщенного сдвига. М.: Наука 1973.

13. Манин Ю. И. Теория коммутативных формальных групп над полями конечной характеристики. Успехи матем. наук, 1963, т.18, 6, с. 3−90.

14. Милнор Дж., Сташеф Дж. Характеристические классы. М.: Мир 1979.

15. Новиков С. П. Методы алгебраической топологии с точки зрения теории кобордизмов. Изв. АН СССР. Сер. матем, 1967, т.31,с.855−951.

16. Прахар К. Расцределение простых чисел. М.: Мир, 1967.

17. Стонг Р. Заметки по теории кобордизмов. М.: Мир, 1973.

18. Холодов А. Н. Алгебраическая теория многозначных формальных групп. Матем. сб., 1981, т. П4(156), Л 2, с.299−321.

19. Холодов А. Н. Алгебраическая теория многозначных формальных групп. Препринт, 1981, Новосибирск, 2 с.

20. Холодов А. Н. Циклические многозначные формальные группы. Ленинградская международная топологическая конференция. Тезисы 1982. Л.: Наука, с. 64.

21. Bod nezS. FoxmaP Lie groups. Ntz, />. т-г/г.