Процессы колебательно-химической релаксации и прямые скачки уплотнения в диссоциирующем двухатомном газе

Настоящая работа посвящена исследованию течений двухатомного газа из гомоядерных молекул с вращательными и колебательными степенями свободы, диссоциацией и рекомбинацией.

Актуальность подобных исследований связана с развитием космической аэродинамики, высокоскоростной авиации и целого ряда инновационных технологий.

Исследованию газовых потоков с внутренними степенями свободы молекул и химическими реакциями посвящено большое количество работ. Наряду с феноменологическими методами исследования, когда используются обычные системы уравнений газовой динамики, к которым добавляются уравнения физической и химической кинетики (см., например, [31,39]), широкое развитие получил кинетический метод описания таких течений.

При кинетическом подходе учитывается молекулярное строение газа и рассматриваются уравнения для функций распределения по скоростям, внутренним энергиям и химическим сортам. Такой подход позволяет обосновать использование определенной системы макроскопических уравнений, исследовать явления переноса и релаксации.

Начала кинетической теории газов были заложены в работах Больцмана и Максвелла [1,76]. Сначала использовались представления о молекулах как о жестких сферах или точечных силовых центрах (см., например, [63]). Расширение круга рассматриваемых явлений привело к необходимости учитывать возбуждение внутренних степеней свободы молекул. Первое достаточно строгое обобщение кинетической теории на однородный по химическому составу газ с внутренними степенями свободы было проведено в работе [85]. В дальнейшем эти результаты были распространены на смеси газов с внутренними степенями свободы и бимолекулярными химическими реакциями [77,84,86,18,2,4].

В связи с исследованием высокотемпературных зон за ударными волнами и у поверхностей обтекаемых тел возникла необходимость кинетического рассмотрения процессов термической диссоциации [33,45,35,29,36]. Большое внимание проблемам кинетического описания диссоциации и рекомбинации уделено в монографиях [19,25,37,49](см. также работы [82,75,74,78,80,36]).

Результаты, полученные в перечисленных выше работах, позволили создать математические модели, описывающие течения газов с диссоциацией и рекомбинацией, решить важные газодинамические задачи. Однако, в рассматриваемой области сохранился ряд проблем, требующих серьезного изучения.

Многие из этих проблем связаны с тем, что различные физико-химические процессы протекают с разными скоростями [55]. На фоне слабых отклонений от равновесия по поступательным степеням свободы возникают зоны, в которых наблюдаются сильные нарушения локального равновесия по некоторым внутренним степеням свободы и по химическим сортам молекул. Настоящая работа посвящена исследованию течений двухатомного газа, в котором возникают подобные зоны. При этом с самого начала предполагается, что молекулы наряду с поступательной могут обладать вращательной и колебательной энергией. Часть молекул может быть диссоциирована, т. е. газ следует рассматривать как смесь двухатомных молекул и свободных атомов, в которых наряду с энергетическими переходами нужно учитывать процессы диссоциации и трехчастичной рекомбинации.

Целью настоящей работы является определение значений макропараметров, характеризующих состояние рассматриваемой смеси на разных стадиях пространственно однородной релаксацииисследование взаимного влияния колебательной и химической кинетики и их совместного влияния на газовую динамику (в частности, на поведение такого важного параметра, как скорость звука, и на структуру релаксационных зон за фронтом ударной волны).

Решение поставленных задач осуществляется в работе на основе методов кинетической теории газов.

Для кинетического описания течений диссоциирующих двухатомных газов используются кинетические уравнения работы [45] (см. также [49]), которые представляют собой обобщение уравнений, полученных в [33]. Для вывода из кинетических уравнений замкнутых систем газодинамических уравнений в разных условиях неравновесности используется модифицированный метод Чепмена-Энскога [34] (см. также монографии [4, 37,49]. При этом удается получить замкнутое описание течений на уровне минимального числа определяющих макропараметров. Эти макропараметры представляют собой суммарные значения аддитивных инвариантов наиболее частых столкновений, определяющих наиболее «быстрые» процессы, скорость которых много больше средней скорости изменения газодинамических параметров.

Следует отметить, что применение модифицированного метода Чепмена-Энскога требует предварительного разделения физико-химических процессов на «быстрые» и «медленные», а также определения инвариантов быстрой стадии. В настоящей работе такое разделение и определение соответствующих инвариантов осуществляется в рамках модели, предложенной в работах [46,79,80]. Возникновение такой модели связано с результатами некоторых экспериментальных и теоретических исследований.

В ряде экспериментальных работ (см., например [68,69]) наблюдались квазистационарные распределения молекул по колебательным уровням, которые устанавливались на временах, значительно меньших, чем время перехода к состоянию полного термодинамического равновесия, и сильно отличались от распределения Больцмана.

Объяснение этого факта в литературе было основано на теоретических и экспериментальных данных о том, что различные колебательные переходы молекул происходят с разной частотой [40,9,41]. Выделение наиболее частых колебательных переходов привело к получению распределения Тринора [82], которое хорошо описывает неравновесные заселенности нижних колебательных уровней. Для обобщения этого распределения на средние и высокие уровни было предложено распределение Гордиеца [9], а также составное распределение [37], с использованием которого было получено много важных результатов.

Наряду с моделями, в которых используется распределение Гордиеца и его модификации, для описания промежуточных стадий колебательной релаксации М. А. Рыдалевской была предложена модель [79,49], основанная на данных о зависимости вероятностей колебательных обменов от величины отношения дефекта резонанса колебательной энергии к значению колебательной энергии сталкивающихся молекул [40,41]. С использованием этой модели были получены неравновесные распределения [46,79], соответствующие известным экспериментальным данным и численным исследованиям [68,69,9,40,41], изучены процессы пространственно-однородной колебательной релаксации и течения в расширяющихся сверхзвуковых соплах [50,51](см. также [53]). В дальнейшем на основе этой модели было проведено исследование структуры прямых скачков уплотнения в равновесных и неравновесных потоках двухатомного газа из ангармонических осцилляторов и влияние интенсивности ударной волны на степень колебательной неравновесности газа [5] (см. также [7]). Именно эта модель используется в данной работе для выделения разных стадий колебательной релаксации двухатомного газа из ангармонических осцилляторов.

В течение достаточно длительного времени предполагалось, что процессы диссоциации и рекомбинации идут на фоне уже закончившейся релаксации всех видов молекулярной энергии (включая колебательную) [25]. Это предположение опиралось на ряд известных результатов экспериментальных и теоретических исследований. Однако, в последние десятилетия в литературе появились рассуждения о том, что в отдельных случаях необходимо совместно рассматривать колебательную и химическую релаксацию (см., например, [57]). К подобному выводу может привести изучение результатов некоторых экспериментальных работ (см., например, [70]). Теоретической основой подобных утверждений можно считать формулы, определяющие экспоненциальную зависимость вероятностей распада молекул от относительного дефекта резонанса внутренней энергии [40,41] (подобно тому, как вероятности колебательных обменов зависят от относительного дефекта резонанса колебательной энергии). Опираясь на эти данные, можно построить модель, позволяющую выделить разные стадии колебательно-химической релаксации высокотемпературного двухатомного газа [80,32].

В настоящей работе применение модифицированного метода Чепмена-Энскога осуществляется на основе такой модели (совместно с моделью разделения на стадии процесса колебательной релаксации). Эти модели используются для выделения ведущего столкновительного оператора в кинетических уравнениях, получения предельных решений, вывода систем газодинамических уравнений для плотностей определяющих экстенсивных параметров на промежуточных стадиях релаксации рассматриваемых газов.

Далее замыкание систем газодинамических уравнений на разных стадиях релаксации осуществляется в результате перехода от экстенсивных к сопряженным интенсивным параметрам. В нулевом приближении метода Чепмена-Энскога, соответствующем модели идеальной жидкости, исследуются свойства полученных уравнений.

Применение описанных выше методов кинетической теории газов, классической аэродинамики, а затем переход к интенсивным параметрам в газодинамических уравнениях и в условиях динамической совместности на поверхностях сильного разрыва, позволили получить новые результаты, выносимые на защиту:

1. Выделение разных стадий релаксации в высокотемпературных газах: азоте и кислороде и оценка взаимного влияния процессов диссоциации, рекомбинации и колебательного возбуждения на этих стадиях.

2. Исследование разных стадий пространственно-однородной релаксации азота и кислорода.

3. Определение влияния процессов колебательного возбуждения и химической релаксации на скорость звука.

4. Выделение за фронтом ударной волны различных релаксационных зон, сведение обобщенных условий динамической совместности на границах этих зон к алгебраическим уравнениям для определяющих интенсивных параметров. Доказательство применимости метода Ньютона для определения этих параметров.

5. Послойное исследование структуры прямых скачков уплотнения в азоте и кислороде при варьировании в широких пределах температуры, скорости и плотности набегающего потока.

Степень обоснованности результатов определяется использованием математического аппарата, разработанного в кинетической теории газов и газовой динамике. О достоверности полученных результатов можно судить на основании физического анализа полученных результатов и качественного сравнения некоторых из них с результатами других авторов.

Результаты исследований докладывались на семинарах кафедры гидроаэромеханики Санкт-Петербургского университетана Международных научных конференциях по механике «Третьи Поляховские чтения» (СПбГУ, Санкт-Петербург,.

4−6 февраля 2003 г.) и «Четвертые Поляховские чтения» (СПбГУ, Санкт-Петербург, 7−10 февраля 2006 г.) — на Всероссийском семинаре по аэрогидродинамике, посвященном 90-летию со дня рождения Сергея Васильевича Валландера (СПбГУ, Санкт-Петербург,.

5−7 февраля 2008 г.) — на Международной научной конференции по механике «Пятые Поляховские чтения» (СПбГУ, Санкт-Петербург, 3−6 февраля 2009 г.). Основные выводы и результаты расчетов опубликованы в 9 работах [11−17, 43−44].

Часть результатов опубликована в статьях, совместных с научным руководителем М. А. Рыдалевской [11−13, 15−17, 44]. В этих работах М. А. Рыдалевской принадлежит общая постановка задач и описание моделей разделения процессов колебательной и химической релаксации на ряд промежуточных стадий. Две статьи опубликованы индивидуально [14, 43].

Настоящая работа состоит из четырех глав. Каждой главе ставится в соответствие приложение, в котором приводится численная иллюстрация полученных в главе результатов.

Диссертация изложена на — 65 страницах основного текста и — 49 страницах приложений, содержит — 1 таблицу, — 95 рисунков и список литературы, включающий — 86 наименований.

В главе 1 исследуются различные стадии колебательной и химической релаксацииполучены неравновесные квазистационарные распределения молекул на основе предложенной в работах [79,80] модели. В данной главе изучается поведение относительных заселенностей колебательных уровней и химических концентраций молекул и атомов диссоциирующих двухатомных газов на разных стадиях релаксации.

В Приложении 1 приведены результаты численных исследований химических концентраций молекул и свободных атомов на разных стадиях релаксации диссоциирующего азота и кислорода в широком диапазоне температур и давлений. Проведен их сравнительный анализ.

В главе 2 исследуется поведение пространственно-однородных изолированных объемов двухатомного диссоциирующего газа. Предполагается, что рассматриваемые газовые объемы были резко выведены из состояния равновесия (с помощью резкого охлаждения или лазерной накачки). Для каждой стадии релаксации таких объемов выписываются уравнения сохранения определенных молекулярных признаков. Эти соотношения сводятся к алгебраическим уравнениям для определенных интенсивных параметров, входящих в квазистационарные распределения, соответствующие каждой исследуемой стадии релаксации. Полученные уравнения решаются методом Ньютона.

В Приложении 2 рассматриваются изолированные объемы азота и кислорода. Исследуются разные стадии релаксации этих объемов. За начальное состояние принимается такое состояние изолированного газового объема, когда уже прошла поступательно-вращательная релаксация и установилась температура, а распределение по остальным степеням свободы не изменилось и осталось равновесным, с температурой Т0, которая была в газе до выведения системы из состояния равновесия.

Приводятся результаты численных расчетов температуры газа Т и температуры первого колебательного уровня Т на этапах завершения разных стадий релаксации при разных значениях температур Т^ и То.

В главе 3 рассматриваются различные релаксационные режимы течений двухатомных диссоциирующих газов. Из кинетических уравнений выводятся системы для плотностей определяющих экстенсивных параметров. В каждой из таких систем производится переход от экстенсивных к сопряженным интенсивным параметрам. Исследуются свойства полученных систем. Особое внимание уделяется условиям, когда течения можно считать изоэнтропийными. Используя результаты классической аэродинамики [3,24,54,64], а также результаты работ [80, 48], выводится формула для скорости звука в небаротропном диссоциирующем газе. Полученные результаты конкретизируются для высокотемпературного азота и кислорода.

В Приложении 3 приведены результаты расчета значений скорости звука в разных условиях неравновесности для диссоциирующего азота и кислорода.

Глава 4 посвящена изучению ударных волн, возникающих в сверхзвуковых потоках двухатомного диссоциирующего газа. Предполагается, что течение в набегающем потоке является локально равновесным. При этом ударная волна, которая представляет собой узкий (по сравнению с характерными размерами течения) слой перехода от одного состояния равновесия к другому, моделируется как поверхность разрыва газодинамических параметров [24,64,22,59].

Утолщение ударных волн в газе с внутренними степенями свободы и химическими реакциями и иерархия времен релаксации, позволяет выделить в ударной волне релаксационные зоны разной толщины, соответствующие установлению квазистационарных распределений, определяемых новым равновесием по отдельным степеням свободы.

Выделяются зоны поступательно-вращательной, колебательной и колебательно-химической релаксации. На границах каждой релаксационной зоны выписываются обобщенные условия динамической совместности, которые сводятся к системе алгебраических уравнений относительно определяющих интенсивных параметров. Эти системы, записанные для прямых скачков уплотнения, решаются методом Ньютона. Предварительно, исходя из основных положений газовой динамики, доказывается возможность применения метода Ньютона для решения подобных систем.

Результаты конкретных расчетов газодинамических параметров на границах различных релаксационных зон для диссоциирующих азота и кислорода приводятся в Приложении 4.

В конце каждой главы дано краткое заключение, в котором анализируются полученные результаты.

Результаты исследования представлены в Приложении 4. При этом параметры набегающего равновесного потока варьировались в тех же пределах, что и в предыдущих параграфах.

Как и на границе 2-й зоны УТ (1/8)-релаксации, в данном случае для азота и кислорода на рисунках 68−77 (зона 3), 78−87 (зона 4) приведены зависимости Т+ от Т (при разных значениях у) у+ от г> (для различных температур Т) — М+ от М при тех же условиях в набегающем потоке- 7+ /Т+ от Т (при разных значениях г>) — о+ от, а (при разных скоростях набегающего потока г>).

Легко видеть, что на границах релаксационных зон (2−4) характер поведения кривых не меняется. Однако по абсолютной величине скачки всех исследуемых величин уменьшаются на границе следующей зоны по сравнению с предыдущей.

4.7. Локально равновесное состояние газа за ударной волной.

В ситуации, когда ударная волна рассматривается как узкий переходный слой между двумя состояниями термодинамического и химического равновесия, последняя релаксационная зона 5 завершается переходом газовой смеси в новое состояние локального равновесия. За прямым скачком формируются функции распределения (1.6.12) для атомов и (1.6.34) для молекул, нормированные на полную энергию е+ и общее число атомов, из которых состоят все частицы газа.

В этом случае условия совместности будут иметь вид (4.1.6), (4.6.1), (4.6.3). И в этот раз не сохраняются ни степень диссоциации, ни относительные колебательные заселенности молекул.

Используя соотношения для полной энергии (4.6.4) получим условия совместности (4.6.6), (4.6.7) и (4.6.9).

На этот раз параметры, входящие в условия совместности, выражаются через функции распределения (1.6.12) и (1.6.34) и являются функциями параметров у+ и То" - 7* (или Т+, Поэтому мы имеем систему трех алгебраических уравнений относительно 3-х неизвестных г>+, Уо, у*.

Эта система решалась также методом Ньютона. При этом до ударной волны значения параметров варьировались в тех же пределах, что и ранее.

За ударной волной для азота и кислорода на рисунках 88−95 как и ранее приведены зависимости Т+ от Т (при разных значениях V-) — у+ от (для различных температур Т) — М+ от М при тех же условиях в набегающем потокеа+ от, а (при разных скоростях набегающего потока г>) .

За ударной волной характер поведения кривых снова не меняется. Однако по абсолютной величине скачки исследуемых величин опять уменьшаются.

В данной главе проведено послойное исследование структуры ударных волн в газе с вращательными и колебательными степенями свободы, диссоциацией и рекомбинацией. В ситуации, когда ударную волну можно рассматривать как прямой скачок уплотнения, на границе каждой из релаксационных зон, выделенных в этой волне, выписаны обобщенные условия совместности в симметричной форме. Все макропараметры выражены через квазистационарные распределения, формирующиеся в рассматриваемой зоне. В результате в каждом случае задача свелась к решению систем алгебраических уравнений относительно интенсивных макропараметров, входящих в эти распределения. Доказана правомерность применения метода Ньютона для решения каждой из этих систем. сп.

Для прямых скачков плотнения в смесях N2 + N и 02 + О рассчитаны значения определяющих макропараметров на границах релаксационных зон. Исследовано влияние различных физико-химических процессов на скачки макропараметров.

Чиссленные исследования показали, что зависимости газодинамических параметров за фронтом ударной волны от параметров до ее фронта в прямых скачках уплотнения имеют одинаковый характер на границах различных релаксационных зон. При этом, как и следовало ожидать, скачки газодинамических параметров последовательно уменьшаются при удалении границы соответствующей зоны от фронта ударной волны. Это уменьшение скачков газодинамических парамтеров связано с перераспределением «внешних» и «внутренних» видов молекулярной энергии (переход части поступательной и вращательной энергии в колебательную энергию молекул и энергию разрыва химической связи атомов в молекулах).