О корректности некоторых термогидродинамических моделей атмосферы и океана

Задачи, связанные с изучением процессов, происходящих в атмосфере и океане, являются одним из важнейших разделов геофизики. При исследовании этих задач широко используются математические модели"на основе которых удается описать целый ряд процессов в физике взаимодействия океана и атмосферы.

Как правило, математические модели базируются на линейных и квазилинейных системах уравнений в частных производных. Особый интерес среди таких моделей представляют гидродинамические модели, описывающие атмосферные процессы. Отметим здесь основополагающие работы И. А. Кибеля [2l] и его учеников.

Аналитические мет оды, дающие явные представления решений этих задач, как правило, мало применимы, поэтому чаще всего используются приближенные решения, полученные различными способами (см. Г. И. Марчук [35−37], В. В. Пененко [40], В. П. Кочергин [25]). Одна из первых работ, посвященных исследованию вопросов корректности математических моделей метеорологии и океанологии, была работа Г. В. Демидова, Г. И. Марчука [14]. В дальнейшем это направление развивалось в работах Белова Ю. Я. [2,3], Бубнова М. А., Кажихова А. В. [9], Кордзадзе А. А. [23], Рапуты В. Ф. [45], Сухоносова В. И. [50] и др.

В работе Г. В. Демидова и ' Г. И. Марчука [14] изучалась краевая задача краткосрочного прогноза погоды при условии, что турбулентный обмен отсутствует. При этом по переменным X и у область определения решения предполагалась неограниченной. В этой работе доказано существование гладкого решения методом слабой аппроксимации в предположении, что начальные данные имеют обобщенные производные в смысле С. Л. Соболева до третьего порядка, суммируемые с квадратом.

Ю.Я.Беловым [3] для полуэволвдионной задачи динамики океана доказано существование обобщенного в слабом смысле решения.

М.А.Бубновым и А. В. Кажиховым [э] получена однозначная разрешимость для основной краевой задачи линейной теории океанической циркуляции.

В.Р.Рапутой [45J рассмотрена задача прогноза погоды на сфере, для исследования которой применялся несколько иной математический аппарат, чем в [14] .

В работах [3], [14], [45J теоремы существования для нестационарных нелинейных задач установлены в малом по времени.

А.А.Кордзадзе [23J исследовал единственность решения основных краевых задач динамики атмосферы и океана.

В настоящее время, несмотря на большое число исследований, посвященных изучению корректности краевых и начально-краевых задач термогидродинамики атмосферы и океана, целый ряд вопросов остается открытым. Это в первую очередь относится к пространственным нелинейным моделям.

Как известно, многие уравнения, встречающиеся в математической физике, относятся к так называемым неклассическим уравнениям, поэтому-изучение их представляет значительную трудность ввиду отсутствия общих методов исследования. К таким уравнениям относятся, например, линейные и нелинейные уравнения смешанного типа, уравнения составного типа высокого порядка и другие.

Систематическое изучение линейных задач для неклассических уравнений началось с известных работ Ф. Трикоми [53] и М. В. Келдыша [20]и продолжалось в работах А.В.Бицадзе[5], Г. Фикера [55], О. А. Олейник, Е. В. Радкевича [38], М.С.Са-лахитдинова [4б], А. М. Джураева [is], Т. Д. Джураева [ 16], С. А. Терсенова ?52], В. Н. Врагова [II — 13], Б. А. Бубнова [8], В. А. Брюханова [б] и других. Обширную библиографию работ в этом направлении можно найти в [4,5,38,46,52] .

К другому циклу исследований можно отнести работы, посвященные изучению нелинейных уравнений неклассического типа — это сравнительно новое направление. Отметим здесь работы Ю. А. Дубинского [l7], [l8j, Ж. Л. Лионса [ЗЗ], В. Н. Врагова [II], А. В, Кажихова [19], Б. А. Бубнова [7], А.И.Ко-жанова, Н. А. Ларькина, Н. Н. Яненко [22], [3l] ,[32], А. Г. Подгаева [41], С. Г. Пяткова [44], А. Н. Терехова [5l], В. В. Хаблова [5б], Ш. Смагулова [47] и др.

Исследование уравнений Навье-Стокса было начато в работах Ж. Лере [62], Е. Хопфа [61]. Различные аспекты теории уравнений Навье-Стокса изложены в монографии О. А. Ладыженской [27] .

Однако, до настоящего времени вопрос о том, имеет ли место однозначная разрешимость нв целом", то есть для произвольного конечного промежутка времени, при любых гладких данных задачи и любых размерах области, остается открытым. Е. Хопфом [61] доказано существование «в целом», по крайней мере, одного так называемого «слабого» решения трехмерной начально-краевой задачи, но единственность этого решения не доказана.

Нэшем [64], В. А. Солонниковым [49] и Тани [65J получены локальные теоремы разрешимости краевых задач для общей модели сжимаемой вязкой жидкости. А. В. Казаковым [19] А%Тани [66J и другими исследовано поведение решений «в целом» по времени только в случае одномерного движения, когда решение зависит лишь от одной пространственной декартовой координаты и от времени.

В работах П. С. Чернигова [57], Н. К. Коренева [24] исследуется разрешимость краевых задач для свободной конвекции в вязкой несжимаемой жидкости. Методы доказательств, используемые здесь, разработаны в [27J для уравнений гидродинамики несжимаемой вязкой жидкости.

В.В.Васильевым [ю] установлена однозначная разрешимость первой краевой задачи для системы уравнений конвекции.

Настоящая работа посвящена исследованию вопросов разрешимости, единственности и устойчивости для задач термогидродинамической теории атмосферной конвекции, динамики океана и теории взаимодействия пограничного слоя со свободной атмосферой.

Введем используемые в работе основные обозначения: R — евклидово пространство размерности 77 — ос (эс^,. ОС^- точка в пространстве R. Через UX[, Ux. j обозначим производные, «. LP[D) //}$=/) — простоту aoc{dxy v 7 ранство измеримых функций, суммируемых с рй степенью в области D, с нормой.

ПРИ р = со.

II и II = vrai maoc I a (jo) I. «l~(p) OC^D 1 4 «.

U!V)01 H^llffскалярное произведение и норма в пространстве L2(D) соответственно. W2 (р) — пространство (т ^ О) Соболева с нормой и:-LS.

D d^m где.

Da = n О щгф) — подпространство пространства плотным множеством в котором является совокупность всех о бесконечно дифференцируемых функций с носителями в Ю.

I /).

II/II = лSup — норма в негативном пространстве.

— т ueft Ыт.

— пространство (классов) функций: [&-/Т]-*- l%m (D), измеримых, принимающих значения из ру^ф) таких, что.

Г ^ У⁷.

Переходим к изложению результатов настоящей работы, которая состоит из двух глав.

В первом параграфе главы I доказывается существование и единственность решения в пространствах С. Л. Соболева одной краевой задачи, возникающей в теории атмосферной конвекции (см. Р. С. Пастушков [39], Д. К. Лилли [63J).

В области Q=D*(o, T), где D- {(ps9%) Ooc^J,, рассматривается система уравнений:

УГ' - аналог давления.

Система уравнений (0.1) получена путем соответствующих упрощений из уравнений гидротермодинамики атмосферы (см. К. А. Кибель [2l]). Она применяется для исследования конвективной неустойчивости в вязких жидкостях, а также для изучения конвективных процессов в атмосфере, в частности, терминов (упорядоченные движения типа восходящих струй или всплывающих пузырей теплого воздуха) (см. Р. С. Пастушков СзэЗ, П. Ю. Пушистов, В. М. Мальбахов, С. М. Коно.

0.1) ди, дъо ненко [43], Д.К.1илли[бЗ]).

Для системы уравнений (0.1) ставится начально-краевая задача. Требуется найти решение системы (0.1) в области Q, удовлетворяющее следующим условиям: при ох ах при z ¦= О * (0.2) д% д%.

U = ZU= О при эс= / и при #=/ - to Ж, %) = 0, (0.3).

Используя метод Галеркина и интерполяционные теоремы в пространствах Соболева, получаются равномерные оценки на приближенные решения, что позволяет установить разрешимость поставленной задачи (0.1), (0.2), (0.3).

Постановки задач термодинамики конвективных процессов в различных формулировках рассматривались в [39], [43] ,[63] .

Во втором параграфе доказывается разрешимость в целом смешанной задачи для системы уравнений нестационарного осесимметрического движения в цилиндрической системе координат t, % .

В области (О, Т), где ?>= О^&^Т^/, } рассматривается система уравнений: г dt dt dz *o>t дхч где и у XV — компоненты вектора скорости вдоль осей ^ и.

Для системы уравнений (0.4) ставится смешанная задача} представляющая только математический’интерес в вопросе о разрешимости «в целом» по времени t .

Смешанная задача. В области QL найти решение системы уравнений (и^тби^яг) (0.4), удовлетворяющее следующим условиям: 0 при дг at т=ди = dfr = 0 при %=0, (0.5) д% 9%.

И = tz^ = О при ъ = / и при Z =.

0.6).

U 9ё) = ЪО (0,Ъ,%) = О, 1% (Г, Z), где функция г^* удовлетворяет условиям согласования. Методом Галеркина с использованием полученных априорных оценок доказывается теорема существования и единственности решений задачи (0.4), (0.5), (0.6).

Во второй главе исследуется разрешимость краевых задач, возникающих в океанологии и метеорологии.

В первом параграфе рассматривается в области следующее уравнение:

4-AU ФjL&U ~ &±Аи-оСи =/, (0.7) at асе ay о у osc.

02 02 32 ^ 3 где д = —— + SL— —— € R — ограниченная обдос2 ду2 д%2 9 ласть с гладкой границей ffQ} t ~ время.

Уравнение (0.7) получено из уравнения вихря в квази-геострофическом приближении (см. [54]) и позволяет определить возмущение давления в океане. Заметим, что квазигео-строфическое приближение описывает важный класс движений в океане с горизонтальными масштабами порядка 100 км, вертикальными масштабами порядка средней глубины океана (4 км), временными масштабами от нескольких суток до десятков суток и характерными горизонтальными скоростями порядка 10 см/сек.

Численные расчеты уравнения (0.7) приведены в работе Иванова Ю. А., Кузина В. И. [2б], эде, в. частности, коэффициент oL мог быть заменен на любой линейный положительный оператор.

Для уравнения (0.7) ставится начально-краевая задача. Найти решение U {x, y-Z}t) уравнения (0.7) в области Q такое, что ui.0~u0> ид-°> «-8> где S-дО. * (0,Т).

Необходимо отметить, что в плоском случае, т. е. когда д*и досг Эуг краевая задача (0.7) — (0.8) исследована в [59] .

Нами исследуется пространственная задача, что вносит определенные трудности при исследовании начально-краевой задачи (0.7)-(0.8). Для задачи (0.7)-(0.8) доказывается теорема существования и единственности. При этом используется метод Галеркина и «S — регуляризации» .

В § 2 второй главы изучается поведение решения задачи (0.7)-(0.8) при t-^^^y когда и d> О, Доказывается, что при сделанных предположениях решение краевой задачи (0.7)-(0.8) при t-^c><=> стремится к нулю,.

В § 3 второй главы доказывается разрешимость одной краевой задачи, возникающей в краткосрочном локальном прогнозе погоды.

В области Q= Dx (o, T) t где D= <[(х, р): О < ос < /, р0-р-рн) рассматривается система уравнений jp/" ^ Кк’а (и*+6<�и + a (P)U^kx iv '.

0.9) hp * О, где — положительная постояннаяs>0 — параметр статистической устойчивостиjU. > О — коэффициент горизонтальной турбулентности-? — параметр КориолисаOLit$i, f 2, J — постоянныеи ,*0, Т — компоненты скорости ветра- - отклонения температуры и геопотенциала от стандартных значенийр — давлениер и р значения давления на нижней и верхней границах тропосферыZZ — величина, пропорциональная вертикальному сдвигу ветра зонального потока- (%(р) ~ линейно зависящая от р функция (скорость зонального потока) — V — коэффициент вертикальной турбулентности, у? С «.

О при V^O при •.

Система уравнений (0.9) получена из полной системы уравнений гидротермодинамики (см. Г. И. Марчук [35]). Такая система может описывать явления типа бриза и бароклинной неустойчивости возмущений" наложенных на зональный поток с вертикальным сдвигом (см. Пушистов П. Ю., Шлычков В.А.

42]). В [42] на основе системы уравнений (0.9) сформулирована и исследована с помощью численных методов задача о взаимодействии пограничного слоя и свободной атмосферы.

Для системы уравнений (0.9) ставятся две начально-краевые задачи.

Задача I. Найти решение системы уравнений (0.9) в области Q, удовлетворяющее следующим условиям:

Т= /г = и = г) = 7?= О при р=р#.

0.11).

Задача 2. Найти решение системы (0.9) в области Q * удовлетворяющее следующим условиям: U v = l? = М при Х=0(0.12).

It’O t=a t~o 7 ' '.

U&bdquo—О прър=Ро.

Надо отметить, что краевые условия в рассматриваемых задачах можно считать однородными, так как, в противном случае, их можно свести к таковым, предполагая достаточную гладкость заданных функций. Такое сведение приведет лишь к изменению заданных правых частей и появлению в уравнениях дополнительных линейных членов, которые не окажут существенного влияния на ход доказательства и окончательные результаты.

Доказывается теорема существования и единственности решения задач (0.9), (0.10), (0,11). При этом используются метод «б — регуляризации» и метод Галеркина.

Следует отметить, что все теоремы, касающиеся разрешимости краевых задач, доказаны без условий малости временного интервала и начальных данных.

Основные результаты диссертации изложены в работах [67 — 71] и докладывались на конференции по теории вырождающихся эллиптических уравнений (г.Улан-Удэ, 1979 г.), на школе-семинаре по уравнениям неклассического типа (г.Новосибирск, 1980, 1981 гг.), на Советско-Венгерском симпозиуме по дифференциальным уравнениям, теории аппроксимации и топологии (г.Новосибирск, 1981 г.), на Всесоюзном семинаре «Некорректные задачи математической физики и анализа» (г.Новосибирск, 1982 г.), на IX Всесоюзной школе «Численные методы динамики вязкой жидкости» (г. Ленинград, 1982 г.), на Всесоюзной школе-семинаре по некорректным задачам математической физики (г.Самарканд, 1983 г.), а также неоднократно обсуждались на научно-исследовательском семинаре кафедры теории функций Новосибирского государственного университета и семинаре «Уравнения смешанного типа» Института математики СО АН СССР, руководимом профессором С. А. Терсеновым, на семинаре «Неклассические уравнения математической физики» Института математики СО АН СССР, руководимом профессором В. Н. Враговым, на семинаре д.ф.-м.н. А. В. Кажихова в Новосибирском государственном университете, на семинаре профессора Ю. Е. Аниконова в ВЦ СО АН СССР, на семинаре по физике атмосферы и океана, руководимом профессором В. В. Пененко, на семинаре отдела гидродинамических методов прогноза погоды ЗапСибНИИ.

Леммы, теоремы и определения занумерованы в диссертации двумя числами. Например, под теоремой 2.1 нужно понимать первую теорему в главе 2. Для формул использована тройная нумерация. Так, формула с номером (2.2.Ю) десятая формула параграфа 2 главы 2.

В заключение, пользуясь возможностью, автор выражает глубокую благодарность д.ф.-м.н. В. Н. Врагову, к.ф.-м.н. П. Ю. Пушистову и к.ф.-м.н. Б. А. Бубнову за руководство и ценные советы при выполнении работы. Автор признателен также всем участникам семинара «Неклассические уравнения математической физики» под руководством профессора В. Н. Врагова за полезное обсуждение вопросов, затронутых в диссертации.

-<

1. Бабенко К. И. О стационарных решениях задачи обтекания тела вязкой сжимаемой жидкостью. — Матем. сб., М., 1973, т. 91 (133), вып. 1.(5), с. 3−26.

2. Белов Ю. Я. Об одной квазилинейной стационарной задаче динамики океана. В сб.: Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1978, т. 9, № 5, с. 13−27.

3. Белов Ю. Я. Об однозначной разрешимости одной задачи течений мирового океана. В сб.: Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1977, т. 8, $ 4, с. 20−33.

4. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. -М.: Мир, 1966. 352 с.

5. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981, — 448 с.

6. Брюханов В. А. 0 смешанной задаче для одного уравнения гиперболического типа, вырождающегося на. части границы области. Дифференц. уравнения, 1972, т. 8, J6 I, с. З— 6.

7. Бубнов Б. А. Разрешимость в целом нелинейных граничных задач для уравнения Кортевега-Де Фриза в ограниченной области. Дифференц. уравнения, 1980, т. 16, № I, с. 34−41.

8. Бубнов Б. А. Краевые задачи для альтернативного уравнения Кортевега-Де Фриза в ограниченной области. ДАН СССР, 1979, т. 247, ^ 2, с. 272−275.

9. Бубнов М. А., Кажихов А. В. Однозначная разрешимость основной краевой задачи линейной теории океанической циркуляции. ДАН СССР, 1971, т. 198, № 4, с. 801−804.

10. Васильев В. В. Об одной системе, описывающей процесс конвекции в вязкой несжимаемой жидкости. Деп. ВИНИТИ Л 217−79. Деп. — 26 с.

11. Врагов В. Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск, НГУ, 1983.84 с.

12. Врагов В. Н. Смешанная задача для одного класса гиперболо-параболических уравнений второго порядка. Дифферент уравнения, 1976, т. 12, № I, с. 24−31.

13. Врагов В. Н. К теории краевых задач для уравнений смешанного типа в пространстве. Дифференц. уравнения, 1977, т. 13, .Л 6, с. I098-II05.

14. Демидов Г. В., Марчук Г. И. Теорема существования решения задачи краткосрочного прогноза погоды. ДАН СССР, 1966. т. 170, 5, с. 1006−1009.

15. Джураев A.M. Системы уравнений составного типа. М.- Наука, 1972, — 227 с.

16. Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанногои смешанно-составного типов. Ташкент.: — ФАН, 1979.238 с.

17. Дубинекий Ю. А. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения. Итоги науки и.техники.: Современные проблемы математики. М., 1976, т.9, с. 5−130.

18. Дубинский Ю. А. Об одной абстрактной теореме и её приложениях к краевым задачам для неклассических уравнений. Матем. сб., т. 79, вып. I, 1963, с. 91−117.

19. Кажихов А. В. О глобальной разрешимости одномерных краевых задач для уравнений вязкого теплопроводного газа. -В сб.: Динамика сплошной среды, Новосибирск, 1976, вып. 24, с. 45−61.

20. Келдыш М. В. 0 некоторых случаях вырождения уравнения эллиптического типа на границе области. Докл. АН СССР, 1951, т. 77, № 2, с. I8I-I83.

21. Кибель И. А.

Введение

в гидродинамические методы краткосрочного прогноза погоды. Изд. технико-теоретической литературы. — М., 1957, — с. 375.

22. Кожанов А. И., Ларькин Н. А., Яненко Н. Н. Смешанная задача для некоторых классов уравнений третьего порядка: Препринт № 5, Новосибирск, 1980, 36, — В надзаг: ИТ и ЕМ СО АН СССР.

23. Кордзадзе А. А. Математические вопросы решения задач динамики океана. Новосибирск, 1982. — 148 с. (СО АН СССР, ВЦ).

24. Коренев Н. К. 0 некоторых задачах конвекции в вязкой несжимаемой жидкости. Вестник Ленинградского университета, 1971, т. 7, вып. 2, с. 29−39.

25. Кочерглн В. П. Теория и методы расчета океанических течений. М.: Наука, 1978, — 128 с.

26. Иванов Ю. А., Кузин В. И. Модель трансформации нелинейного бароклинного вихря в открытом океане. Изв. АН СССР, сер. ФАО, 1983, т. 19, № 6, с. 646−652.

27. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М., -Наука, 1970. — 288 с.

28. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М., — Наука, 1973. — 408 с.

29. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М., — Наука, 1967. — 736 с.

30. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М., -Наука, 1973, — 576 с.

31. Ларькин Н. А. Краевые задачи в целом для одного класса гиперболических уравнений. Сиб.мат. ж., 1977, т.18, № 6, с. I4I4-I4I9.

32. Ларькин Н. А. Об одном классе квазилинейных гиперболических уравнений, имеющих решения в целом. ДАН СССР, 1979, т. 244, № I, с. 38−41.

33. Лионе К. Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач.: М., Мир, 1972, — 587 с.

34. Лионе Ж. Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения: М., Мир, 1971, — 372 с.

35. Марчук Г. И. Численные методы в прогнозе погоды. Л., Гидрометеоиздат, 1967, — 356 с.

36. Марчук Г. И. Численное решение задачи динамики атмосферы и океана. Л., Гидрометеоиздат, 1974. — 303 с.

37. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. Новосибирск: Наука, 1973. — 352 с.

38. Олейник О. А., Радкевич Е. В. Математический анализ, 1969. Сер. Итоги науки, М., 1971.

39. Пастушков Р. С. Численное моделирование взаимодействия конвективных облаков с окружающей их атмосферой. М.: Гидрометеоиздат, 1972, вып. 108.

40. Пененко В. В. Методы численного моделирования атмосферных процессов. Л., Гидрометеоиздат, 1981. — 352 с.

41. Подгаев А. Г. О некоторых корректных задачах для уравнений переменного типа. В сб.: Динамика сплошной среды, Новосибирск, 1982, вып. 55, с. 143−153.

42. Пушистов П. Ю., Шлычков В. А. О взаимодействии средне-масштабных возмущений пограничного слоя и свободной атмосферы. Изв. АН СССР, ФАО, В 12, 1979, с. 1244−1253.

43. Пушистов П. Ю., Мальбахов В. М., Кононенко С. М., Васкевич Л. А. Численная модель конвекции с образованием и развитием кучевых облаков. Изв. АН СССР, ФАО, 198, т. 16, № I, с. 3−10.

44. Пятков С. Г. Об одном уравнении составного типа. Дифферент уравнения, 1980, т. 16, J& I, с. II7-I23,.

45. Рапута В. Ф. Задача прогноза погоды на сфере с учетом горизонтальной турбулентности. В сб. Вычислительные методы и программирование, Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1975, с. 135−149.

46. Салахитдинов М. С. Уравнения смешанно-составного типа.- Ташкент: ФАН: 1974. 156 с.

47. Алмабаев Д. Ж., Смагулов Ш., Чалгынбаев К. Д. Теорема существования и аппроксимация одной модели динамики океана.- Новосибирск, Препринт, Институт теоретической и прикладной механики СО АН СССР, 1981.

48. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Новосибирск, СО АН СССР, 1962.

49. Солонников В. А. О разрешимости начально-краевой задачи для уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости. Записки научных семинаров Ленинградского отделения Матем. института АН СССР, 1976, т. 56. 128 с.

50. Сухоносов В. И. 0 разрешимости в целом трехмерной задачи динамики атмосферы. В сб.: Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1980, т. II, № 4.

51. Терехов А. Н. 0 некоторых задачах для нелинейного уравнения составного типа. Новосибирск, Препринт Института математики СО АН СССР, 1980.

52. Терсенов С. А.

Введение

в теорию уравнений, вырождающихся на границе. Новосибирск, Н1У, 1973, — 144 с.

53. Трикоми Ф. 0 линейных уравнениях смешанного типа. Гос-техиздат, 1947.

54. Физика океана. Гидродинамика океана. М.: Наука, 1978, т.2. — 329 с. (Под редакции В. Ш. Каменкович, А.С.Монин).

55. Фикера Г. К единой теории краевых задач для эллиптико-параболических уравнений второго порядка: Сб. переводов. Математика, 1963, т. 7, № 6, с. 99−121.

56. Хаблов В. В. 0 некоторых корректных постановках граничных задач для уравнения Кортевега-Де Фриза. Новосибирск, Препринт, Института математики СО АН СССР, 1979.

57. Черняков П. С. 0 нестационарной свободной конвекции в ограниченной области. Ж. вычисл. мат. и мат. физики, 1966, т. 6, № 2, с. 288−303.

58. Щцович В. И. Некоторые оценки решений эллиптических уравнений. -Мат. сб., 1962, т. 59 (101), с. 229−244.

59. Юдович В. И. Нестационарные течения идеальной несжимаемой жидкости. Ж. Вычисл. мат. и мат. физики, 1963, т. 3, № 6, с. 1032−1036.

60. Agmon S., Douglis А., Hirenberg Ь. Estimates near boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions, I, Comm. Pure Appl.Math., 12 (1959), 623−727- II, id., 17 (1964), 35−92.

61. Hopf E. Uber die Anfangswertaufgabe fur die hydrody-namischen Grundgleichungen. Math.Nachxich.ten, 1951, 4, 213−231.

62. Leray J. Etude de diverses integrales non lineaires et de queques problemes que posent l’hydrodynamique, J.Math.Pures Appl., XII (1933), 1−82 pp.

63. Lilly D.K. On the Numerical Simulation of Buoyant Convection. Tellus, 1962, 14, No 2.

64. Nash J. Le probleme de Cauchy pour les equations dif-ferentielles d’un fluide general. Bulletin de la Societe Mathematique de Prance, 1962, 90, 4, 487−497.

65. Tani A. On the first initial-boundary value problem of compressible viscous fluid motion. Publ.Res. Inst.Math.Sci., 1977, 13, 1, 193−253.

66. Tani A. On the first initial-boundary value problem of the generalized Burgers equation. Publ.Res.Inst. Math.Sci., 1974, 10, 1, 209−233.

67. Алиев К. И. 0 разрешимости одной краевой задачи, возникающей в теории конвекции. Дифференц. уравнения, 1980, т.16, № I, с. 13−19.

68. Алиев К. И., Пушистов П. Ю. О разрешимости в целом одной краевой задачи, возникающей в теории конвекции. В сб.: Корректные краевые задачи для уравнения математической физики, Новосибирск, ИМ СО АН СССР, 1980, с. 12−20.

69. Алиев К. И. Разрешимость одной краевой задачи, возникающей в океанологии. В сб.: Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики, Новосибирск, ИМ СО АН СССР, 1981, с. 9−13.

70. Алиев К. И. Разрешимость одной краевой задачи, возникающей в краткосрочном, локальном прогнозе погоды. В сб.: Неклассические задачи уравнений математической физики, Новосибирск, ИМ СО АН СССР, 1982, с. 7−10.