Неавтономная динамика автоколебательных систем с запаздыванием и их конечномерных моделей

Актуальность темы

диссертации. Синхронизация относится к числу фундаментальных нелинейных явлений, которые в настоящее время являются предметом активного исследования [1−5]. Эффекты синхронизации наблюдаются в системах самой разной природы: в радиотехнических и электронных устройствах, в лазерах, в механических системах, в колебательных химических реакциях, в биологических объектах. Синхронизация имеет разнообразные и важные применения в технике. Например, частотой колебаний мощного электронного генератора можно эффективно управлять в определенных пределах, используя захват частоты внешним сигналом маломощного вспомогательного генератора, для которого обеспечить стабильность частоты технически гораздо проще.

Следует отметить, что сравнительно мало изученными являются эффекты синхронизации в автоколебательных системах с запаздыванием. Подобные системы широко распространены в самых разных областях физики, таких как радиофизика [6−9], нелинейная оптика [10,11], биофизика [12,13], физика атмосферы [14,15], и даже в моделях экономики, экологии и социальных наук [16]. Представляется, что процессы синхронизации в подобных системах будут иметь ряд особенностей по сравнению с системами с конечным числом степеней свободы. Действительно, во-первых, известно, что системы с запаздыванием относятся к классу распределенных автоколебательных систем, т. е. имеют бесконечное число степеней свободы (см., например, [2,6,17]). Во-вторых, хорошо известно, что системы с запаздыванием способны демонстрировать разнообразные режимы колебаний (одночастотные, многочастотные, хаотические) [2,6,7,17].

Особую роль системы с запаздыванием играют в радиофизике, в особенности в той её части, которая связана с генерированием электромагнитных колебаний сверхвысокочастотного (СВЧ) диапазона. Действительно рассмотрим генератор, который представляет собой усилитель, часть мощности которого с выхода подается на вход. Очевидно, что сигнал распространяется по цепи обратной связи за какое-то конечное время. На высоких частотах, когда время распространения сигнала по цепи обратной связи сравнимо с периодом колебаний, учет запаздывания становится необходимым. На практике приходится часто сталкиваться с задачами, в которых какой-либо автогенератор СВЧ диапазона находится под воздействием внешнего сигнала. Например, относительно недавно были предложены системы передачи информации СВЧ диапазона на основе динамического хаоса, где в качестве источника хаотических сигналов использовались генераторы на основе лампы бегущей волны (ЛБВ) [18] и клистрона [19], управляемые внешним гармоническим сигналом.

Следует отметить, что ранее в ряде работ экспериментально исследовалась динамика генераторов с запаздыванием на основе ЛБВ [20,21] и клистронов [22] под воздействием внешнего сигнала. Однако в них основное внимание уделялось воздействию на генератор в режиме хаотических колебаний. Было обнаружено, что внешнее воздействие может подавить хаотические колебания в генераторе и привести к переходу в периодический режим, а также стимулировать появление хаоса при воздействии на систему, генерирующую одноча-стотные колебания. Однако бифуркационные механизмы установления режимов синхронизации изучены не были.

Поскольку, как уже указывалось выше, системы с запаздыванием относятся к классу распределенных систем, изучение их неавтономной динамики представляет собой достаточно трудоемкую задачу. Поэтому весьма актуальным представляется построение конечномерных моделей подобных систем, для которых аналитическое исследование устойчивости различных режимов колебаний может быть выполнено относительно просто. С другой стороны, в последнее время в нелинейной динамике обострился интерес к проблеме синхронизации многочастотных автоколебательных систем. На эту тему опубликован ряд работ (см., например, [23−28], основные результаты даже вошли в учебные пособия [29,30]). Выяснилось, что уже в простейшем случае синхронизации двухчастотных колебаний процессы взаимодействия между различными собственными модами колебательной системы приводят к появлению ряда принципиальных отличий от известной картины синхронизации в системе с одной степенью свободы [1−5]. Отметим, что в работах [23−28] главным образом рассматривался случай, когда собственные частоты колебательной системы близки друг к другу либо приближенно соотносятся как 1:3. При этом взаимодействие мод носит резонансный характер, т. е. в автономной системе происходит образование резонансного предельного цикла на торе, а синхронизация происходит посредством захвата собственных частот внешним сигналом. Однако не исследованным остается влияние амплитудного взаимодействия (конкуренции мод), что более характерно для систем с запаздыванием.

Специфическим классом систем с запаздыванием являются системы, в которых запаздывание обусловлено отражением сигнала от удаленной нагрузки. Хотя динамика различных генераторов под воздействием запаздывающего сигнала, отраженного от нагрузки, изучалась ранее во многих работах (см., например, [2,31−33]), основное внимание уделялось таким нестационарным явлениям как автомодуляция и переход к хаосу. В то же время, такие вопросы, как устойчивость собственных мод, характер процессов установления колебаний, возможности переключения между различными модами изучены недостаточно, хотя они важны для ряда практических приложений. В частности, в ряде экспериментальных работ [34,35] было обнаружено, что достаточно малое отражение от удаленной нагрузки заметно влияет на спектр выходного излучения гиротрона. Кроме того, для ряда приложений (нагрев плазмы, радиолокация и др.) требуются источники с переключаемой частотой генерации. В последние годы появился ряд работ, посвященных проблеме переключения мод [36−38] и захвату фазы [39] мощных генераторов внешним сигналом.

Отметим, что в генераторах миллиметрового и субмиллиметрового диапазонов время запаздывания много больше, чем время установления колебаний в системе без отражений. С математической точки зрения именно случай большого запаздывания представляет наибольшие трудности, поскольку имеет место гипермультистабильность, т. е. сосуществование большого числа стационарных состояний (см., например, [40]). Следует ожидать, что в таком случае будут ярко выражены процессы конкуренции мод. Исходя из этого, исследование нестационарных процессов в генераторе с запаздывающим отражением от нагрузки представляется весьма актуальной задачей.

Цель диссертационной работы состоит в выявлении основных механизмов и закономерностей процессов синхронизации и переключения мод в распределенных автоколебательных системах с запаздывающей обратной связью под воздействием внешнего гармонического сигнала.

Для достижения поставленных целей в работе решаются следующие основные задачи:

1. Исследование основных особенностей картины вынужденной синхронизации в модели кольцевой автоколебательной системы типа «усилитель-фильтр-линия задержки» с кубичной нелинейностью. Выявление отличий от классической картины синхронизации системы с одной степенью свободы.

2. Выявление аналогичных особенностей для генератора с крутизной падающего участка нелинейной характеристики, монотонно убывающей в области больших амплитуд (нелинейность типа Кислова-Дмитриева).

3. Построение конечномерных (двухи трехмодовых) моделей систем с запаздыванием, изучение основных механизмов и закономерностей синхронизации, сопоставление с результатами, полученными для распределенных систем.

4. Изучение нестационарных процессов в генераторе с запаздывающим отражением от удаленной нагрузки, выяснение возможности переключения мод кратковременным внешним воздействием.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. В кольцевой автоколебательной системе типа «усилитель-фильтр-линия задержки» границы языков синхронизации на плоскости частота-амплитуда внешнего воздействия имеют волнистый характер с минимумами на частотах основной и высших собственных мод и максимумами на автомодуляционных частотах. В области больших амплитуд внешнего воздействия язык синхронизации ограничен линией возникновения автомодуляции, инициированной внешним сигналом. В окрестности частот высших собственных мод установление синхронного режима происходит жестко.

3. Если в кольцевой автоколебательной системе с запаздыванием возможно возбуждение нескольких собственных мод, в зависимости от начальных условий синхронизация устанавливается при различных значениях амплитуды воздействия. На плоскости частота-амплитуда внешнего воздействия имеется несколько частично перекрывающихся языков синхронизации, каждый из которых касается горизонтальной оси на частоте соответствующей собственной моды.

3. При превышении порога автомодуляции в автономной системе с запаздыванием воздействие гармоническим сигналом приводит к тому, что область захвата частоты основной моды сливается с областью автомодуляции, инициированной внешним сигналом, в результате чего язык синхронизации отрывается от горизонтальной оси и появляется порог синхронизации.

4. В конечномерных (двухи трехмодовых) моделях систем с запаздыванием при достаточно больших значениях амплитуды воздействия возможно асинхронное возбуждение мод, которые в автономной системе подавляются за счет конкуренции. В случае, когда воздействие осуществляется на систему, в которой присутствует бистабильность, имеет место бистабильность синхронных режимов.

5. В генераторе с запаздывающим отражением от удаленной нагрузки существует два типа стационарных состояний: одни неустойчивы относительно возмущений на собственной частоте, другие устойчивы относительно этих возмущений, но могут быть неустойчивыми относительно распада на сателлиты. Эта неустойчивость имеет место только вблизи порога возбуждения соответствующей моды по параметру отражений, если параметр возбуждения при этом не превышает некоторого критического значения. Существует возможность переключения между стационарными состояниями путем кратковременного внешнего воздействия на соответствующей частоте.

Научная новизна. Все результаты, включенные в диссертационную работу, являются новыми и получены впервые, в частности:

1. Для моделей автоколебательных систем типа «усилитель-фильтр-линия задержки», описывающихся дифференциальным уравнением первого порядка с запаздыванием, выявлены основные особенности устройства резонансных кривых и языков синхронизации, связанные с распределенной природой данного класса систем, т. е. с наличием большого числа собственных мод. Подробно изучена картина синхронизации при приближении к порогу автомодуляции в автономной системе и вблизи границы зон генерации.

2. Путем численного моделирования установлены основные механизмы синхронизации при различных частотах внешнего воздействия. Обнаружено, что при воздействии в окрестности частоты автомодуляции переходу в синхронный режим предшествует переход к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода, а затем — обратный каскад удвоений.

3. Развиты простые конечномерные модели, которые качественно верно описывают основные особенности синхронизации в системах с запаздыванием и позволяют относительно просто получить аналитические выражения для режимов синхронизации и найти условия их устойчивости.

4. Впервые проведено полное исследование устойчивости стационарных состояний в генераторе с запаздывающим отражением от нагрузки, установлена возможность переключения между стационарными состояниями при кратковременном воздействии внешним сигналом на частоте соответствующей моды.

Научная и практическая значимость. Результаты диссертации развивают и дополняют теоретические представления о вынужденной синхронизации в мно-гомодовых системах. Выявлены принципиальные отличия от известной картины синхронизации системы с одной степенью свободы, обусловленные распределенной природой системы с запаздыванием, которые присутствуют даже в случае воздействия на систему, генерирующую периодические автоколебания.

Автогенераторы с запаздывающей обратной связью используются для генерации электромагнитных колебаний различных диапазонов (например, генераторы сверхвысоких частот на основе ламп бегущей волны и клистронов). В диссертации определяются условия и закономерности синхронизации подобных систем, что представляет очевидный практический интерес.

Результаты диссертации, касающиеся синхронизации конечномерных моделей систем с запаздыванием, представляют интерес в связи с тем, что аналогичные модели описывают процессы конкуренции мод в различных СВЧ генераторах (гиротроны, лазеры на свободных электронах), где используются пространственно развитые «сверхразмерные» электродинамические структуры, которые являются принципиально многомодовыми. Результаты диссертации позволяют определить условия обеспечения одномодовой генерации в таких приборах.

Результаты исследований генератора с отражениями от удаленной нагрузки важны для понимания механизмов влияния отражений от плазмы на спектр излучения гиротронов, а также для разработки источников с переключаемой частотой генерации, которые могут найти применение для нагрева плазмы и радиолокации.

Результаты диссертации представляют интерес не только для радиофизики, но для других дисциплин (нелинейной оптики, биофизики, геофизики и др.), где также широко исследуются системы с запаздыванием. Например, в литературе обсуждался вопрос о моделировании некоторых свойств развитой турбулентности при помощи автогенераторов с запаздыванием [7,41].

Личный вклад соискателя. Все основные результаты, включенные в диссертацию, получены лично соискателем. Соискателем выполнен теоретический анализ режимов синхронизации систем с запаздыванием и их упрощенных моделей, написаны все программы компьютерного моделирования, проведены численные эксперименты. Обсуждение и интерпретация результатов осуществлялись совместно с научным руководителем. Исследование устойчивости стационарных состояний генератора с запаздывающим отражением от нагрузки выполнено совместно с Новожиловой Ю. В. (ИПФ РАН).

Достоверность результатов диссертации обеспечивается использованием широко апробированных и хорошо зарекомендовавших себя аналитических и численных методов, соответствием результатов теоретического анализа и численного моделирования, качественным соответствием результатов, полученных для систем с запаздыванием и их конечномерных моделей, воспроизведением в качестве тестовых расчетов достоверных общепризнанных результатов, известных из литературы.

Апробация и публикации. Результаты, представленные в диссертационной работе, докладывались на следующих школах, семинарах и конференциях:

• школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых» (Саратов, 2007;2011 гг.);

• I-VT конференции молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика» (Саратов, 2007;2011 гг.);

• XV и XVI всероссийские школы «Нелинейные волны» (Нижний Новгород, 2010,2012 гг.);

• VIII и IX международные школы «Хаотические автоколебания и образование структур» (Саратов, 2007,2010 гг.);

• XIV и XV международные зимние школы-семинары по СВЧ электронике и радиофизике (Саратов, 2009, 2012 гг.);

• международная школа-семинар «Статистическая физика и информационные технологии (StatInfo-2009)» (Саратов, 2009 г.);

• 52-я научная конференция МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (Москва, 2009 г);

• международная конференция «8th International Workshop: Strong microwaves and terahertz waves: sources and applications» (Нижний НовгородСанкт-Петербург, Россия, 2011 г.).

Результаты диссертации были использованы при выполнении НИР, поддержанных аналитической ведомственной целевой программой Министерства образования и науки Российской Федерации «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект № 2.1.1/1738), проектами РФФИ (гранты №№ 09−02−707-а, 11−02−1 411-а).

По результатам диссертации опубликовано 27 работ, из них 5 статей в российских и международных журналах, входящих в список изданий, рекомендованных ВАК РФ для публикации материалов кандидатских и докторских диссертаций [79−83], 8 статей в сборниках трудов российских и международных конференций [84−91] и 16 тезисов докладов [92−107].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения, содержит 140 страниц текста, включая иллюстрации.

Список литературы

на 9 страницах включает 106 наименований.

3.4. Выводы.

Проведенный данной главе анализ стационарных состояний генератора с запаздывающим отражением от удаленной нагрузки показывает, что при больших значениях параметра, имеющего смысл произведения коэффициента отражения от нагрузки на время запаздывания, число стационарных состояний увеличивается. Если занумеровать собственные моды по мере удаления от центральной частоты (см. рис. 3.2), то моды с нечетными номерами оказываются неустойчивыми относительно возмущений на собственной частоте. Аналогичная картина характерна и для кольцевого генератора с запаздывающей обратной связью, исследованного в главе 1. Наряду с этим, стационарное состояние может быть неустойчиво относительно распада на сателлиты с частотами, симметрично отстоящими от собственной частоты. Эта неустойчивость имеет место только вблизи порога возникновения соответствующей моды по параметру р, если параметр возбуждения X при этом не превышает некоторого критического значения. С увеличением р или X неустойчивое стационарное состояние становится устойчивым. Состояние, соответствующее основной моде, которая имеет наименьший сдвиг частоты, всегда устойчиво.

Как показывает численное моделирование, переход из неустойчивого состояния происходит в ближайшее по частоте устойчивое состояние. При распаде на сателлиты переходный процесс имеет вид нарастающих биений, а при неустойчивости относительно возмущений на собственной частоте носит экспоненциальный характер. Установления колебаний на любой из устойчивых мод можно добиться, воздействуя на систему сигналом на соответствующей частоте. При этом пороговое значение амплитуды воздействия возрастает по мере удаления от частоты основной моды. Длительность воздействия должна превышать некоторую предельную величину, которая, как правило, примерно равна времени запаздывания, за исключением мод, находящихся вблизи порога устойчивости, для которых она несколько увеличивается.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Перечислим основные результаты, полученные при выполнении диссертационной работы.

1. Построена подробная картина вынужденной синхронизации автоколебательной системы типа «усилитель-фильтр-линия задержки». Установлены существенные отличия от классической картины синхронизации в системе с одной степенью свободы, связанные с возбуждением различных собственных мод. В частности, резонансные кривые в области больших амплитуд и расстроек имеют многочисленные максимумы на частотах автомодуляционных мод. В области больших амплитуд синхронные режимы являются неустойчивыми, возникает автомодуляция, инициированная внешним сигналом. Соответственно, усложняется форма языков синхронизации, которые имеют две границы: внешнюю и внутреннюю. Границы приобретают волнистую форму, что обусловлено резонансами с различными автомодуляционными модами.

2. Когда параметр возбуждения приближается к порогу автомодуляции в автономной системе, области захвата частоты, сформировавшиеся на базе основной и автомодуляционной частот, сливаются, разбивая область синхронизации на три отдельные части. При превышении порога автомодуляции, т. е. когда автономный генератор генерирует квазипериодические колебания с двумя независимыми частотами, центральная область языка синхронизации исчезает и появляется порог синхронизации.

3. Вблизи границ зон генерации область синхронизации имеет форму раздвоенного языка на частотах двух соседних собственных мод. Если в генераторе существует бистабильность, также наблюдается бистабильность синхронных режимов, т. е. в зависимости от начальных условий синхронизация устанавливается при различных амплитудах внешнего воздействия.

4. Для генератора с нелинейностью типа Кислова-Дмитриева крутизна нелинейной характеристики системы уменьшается в области больших амплитуд, поэтому область автомодуляции, инициированной внешним сигналом, оказывается ограниченной и существует только при достаточно существенном превышении порога генерации.

5. Проведено численное моделирование основных механизмов установления синхронного режима. Когда частота внешней силы близка к собственной частоте генератора, происходит захват собственной частоты внешней силой, сопровождающейся возбуждением автомодуляционных мод. В окрестности языка синхронизации зависимость амплитуды сигнала от времени имеет вид периодических «всплесков» высокочастотной модуляции. При воздействии вблизи частоты автомодуляции переходу в синхронный режим предшествует переход к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода автомодуляции. Затем наблюдается обратный каскад удвоений и подавление собственной частоты генератора. Когда частота внешней силы близка к частоте второй собственной моды, наблюдается жесткий переход к синхронному режиму, а вблизи границы синхронизации имеется область бистабильности. Переходы между синхронным и несинхронным состоянием сопровождаются гистерезисом при движении в сторону увеличения и уменьшения F.

6. Предложены простые двухи трехмодовые модели систем с запаздыванием, для которых за счет сочетания аналитических методов исследования и численного моделирования получена достаточно полная картина неавтономной динамики. Установлено, что в системе двух конкурирующих мод под внешним воздействием наряду с классическими режимами синхронизации и биений возможен еще один тип двухчастотного квазипериодического режима, когда в спектре колебаний присутствуют частота внешнего воздействия и собственная частота второй моды. Переходы между этими двумя режимами происходят либо жестко, либо мягко в результате образования трехчастотного режима и его последующего исчезновения.

7. При воздействии на двухмодовую систему в режиме одномодовой генерации при не слишком больших значениях коэффициента нелинейной связи переходу в синхронный режим предшествует асинхронное возбуждение второй моды, которая в автономном генераторе не возбуждается. На плоскости параметров частота-амплитуда внешнего воздействия появляются области трехча-стотных квазипериодических колебаний, вклинивающиеся между областями двухчастотных режимов различных типов. Дальнейшее увеличение амплитуды воздействия приводит к подавлению сначала собственных колебаний первой моды, а затем — второй моды.

8. При воздействии на систему в режиме двухмодовой генерации вначале происходит либо захват, либо подавление собственных колебаний первой моды, а затем — асинхронное подавление второй моды. Переход в режим синхронизации в этом случае носит пороговый характер, т. е. наблюдается при амплитудах внешнего воздействия, превышающих некоторое минимальное значение. При воздействии на систему в режиме бистабильности наблюдается бистабиль-ность языков синхронизации.

9. Для трехмодовой модели автоколебательной системы, демонстрирующей возникновение автомодуляции, можно выделить четыре принципиально различные ситуации, в зависимости от того, осуществляется воздействие на систему в режиме одномодовых или трехмодовых (автомодуляционных) колебаний, а также на частоте основной моды или на частоте одного из автомодуляционных сателлитов. При воздействии на основной частоте ниже порога автомодуляции наблюдаются классические механизмы подавления и захвата частоты. Однако режим синхронизации устойчив лишь при амплитудах воздействия, не превышающих некоторого порогового значения. Выше этого порога наблюдается возбуждение сателлитов, т. е. автомодуляция, инициированная внешним сигналом. Если же воздействие осуществляется на систему в режиме автомодуляции, язык синхронизации разбивается на две изолированные части. При достаточно больших расстройках по мере увеличения внешнего воздействия вначале происходит подавление автомодуляционных сателлитов, затем — подавление основной моды. При больших амплитудах вновь наблюдается автомодуляция, инициированная внешним сигналом. В области малых расстроек увеличение амплитуды внешней силы приводит к захвату собственной частоты основной моды, однако дальнейшее увеличение воздействия не приводит к установлению синхронного режима.

10. При воздействии на частоте сателлита всегда существует порог синхронизации. Если порог автомодуляции в автономной системе не превышен, переход в режим синхронизации происходит через подавление основной моды. Если же воздействие осуществляется на систему в режиме автомодуляции, вначале (в зависимости от расстройки) происходит либо захват, либо подавление колебаний на собственной частоте автомодуляционной моды, затем — подавление основной моды.

11. Проведен анализ стационарных состояний генератора с запаздывающим отражением от удаленной нагрузки. Показано, что половина стационарных состояний неустойчива относительно возмущений на соответствующих собственных частотах. Другая половина устойчива относительно этих возмущений, но может быть неустойчива относительно распада на сателлиты с частотами, симметрично отстоящими от собственной частоты. Эта неустойчивость имеет место только вблизи порога возникновения соответствующей моды по параметру отражений, если параметр возбуждения при этом не превышает некоторого критического значения.

12. Проведено численное моделирование переходных процессов в генераторе с запаздывающим отражением от нагрузки, которое показало, что переход из неустойчивого состояния происходит в ближайшее по частоте устойчивое состояние. При распаде на сателлиты переходный процесс имеет вид нарастающих биений, а при неустойчивости относительно возмущений на собственной частоте носит экспоненциальный характер. Установления колебаний на любой из устойчивых мод можно добиться, воздействуя на систему сигналом на соответствующей частоте. При этом пороговое значение амплитуды воздействия возрастает по мере удаления от частоты основной моды. Длительность воздействия должна превышать некоторую предельную величину, которая, как правило, примерно равна времени запаздывания, за исключением мод, находящихся вблизи порога устойчивости, для которых она несколько увеличивается.

Я сделал всё, что мог, и выложился в доску, И дарит мне восток рассветную полоску.

Чего душой кривить? Мадам, как говоритсяМне есть, о чём грустить, но нечего стыдиться.".

Валерий Канер).

В заключение хочу выразить искреннюю, глубокую благодарность и признательность моему бессменному научному руководителю Никите Михайловичу Рыскину за многолетнее научное руководство, всестороннюю поддержку, понимание и неоценимую помощь при работе над диссертацией. Также хочу выразить благодарность моим соавторам, результаты совместных исследований с которыми вошли в настоящую диссертацию: Новожиловой Юлии Владимировне и Перегородовой Екатерине Николаевне. Отдельную благодарность хочу выразить профессорско-преподавательскому составу факультета нелинейных процессов СГУ, где мне посчастливилось учиться.