Геометрия абелевых многообразий и римановых поверхностей и нелинейные уравнения

Одной из вершин классической теории функций явилось создание в XIX веке теории абелевых функций, центральной частью которой было построение и изучение свойств тэта-функций многих комплексных переменных^ Тэта-функции одного переменного (называемые также эллиптическими тэта-функциями) были, в основном, изучены Якобиих многомерные обобщения строились в связи с нуждами теории алгебраических функций и абелевых интегралов рода 2 Гепелем [13 и Розенхайном С 2 ] «Однако свой законченный вид, почти не изменившийся вплоть до настоящего времени* теория многомерных тэта-функций приобрела в основополагающих работах Римана (см"' в [3])»? Результаты и методы этих работ применялись самим Риманом, а также Вейерштрассом, Кенигсберге-ром, Шоттки, Примом и др.1 для изучения свойств алгебраических функций комплексного переменного"! Нашей целью здесь не является детальное обсуждение истории развития теории алгебраических и абелевых функций в XIX векесм"? по этому повода [4], [5 3 Отметим особо лишь работы, посвященные приложениям тэта-функций к интегрированию нелинейных уравнений": Первое такое приложение было найдено Вейерштрассом [6], который показал, что решения задачи о геодезических на трехосном эллипсоиде, проинтегрированной Якоби методом разделения переменных, выражаются через тэта-функции двух переменных" — Одним из самых ярких достижений в облаг-сти приложений тэта-функций явился цикл работ С"(В"'Ковалевской [7]. [8], обнаружившей новый случай интегрируемости движения тяжелого твердого тела с закрепленной точкой и решившей уравнения движения для этого случая через двумерные тэта-функции"5, Работы С.Ш.'Ковалевской были завершены Кеттером [9], который вырагзил через тэта-функции физические переменные, а также получил условия вещественности для этих тэта-функциональных формул. Ряд дальнейших работ был посвящен решению уравнений Кирхгофа движения твердого тела в идеальной жидкости, где нетривиальные интегрируемые случаи были открыты Клебшем [1о] и Стекловым и Ляпуновым [п], [12]. Отметим, прежде всего, работу Вебера рз], решившего в двумерных тэта-функциях уравнения Кирхгофа на нулевом уровне интеграла площадей. Интересно, что в этой работе Ве-бер действовал методом прямой подстановки тэта-функционального анзатца в уравнения движения. Далеко идущее обобщение метода Вебера, предпринятое автором, играет существенную роль в построениях главы П (см. ниже). Работы Кёттера [14-], [15] были посвящены интегрированию в тэта-функциях уравнений Кирхгофа для интегрируемых случаев Клебша и Ляпунова-Стеклова. Эти работы, однако, нельзя считать завершенными, так как зависимость фазовых переменных от времени в них до конца не вычислена. Кроме того, в работе [14] имеется ошибка (на нее указано, в частности, в[1ф, вследствие которой рассуждения проходят лишь при наложении дополнительных ограничений на параметры задачи.

Перечисленные работы, посвященные приложениям аппарата абе-левых функций к интегрированию дифференциальных уравнений, вплоть до самого последнего времени были известны лишь узкому кругу специалистов по аналитической механике и никогда серьезно не использовались для решения механических задач. Более того, среди специалистов-механиков даже и сейчас распространена точка зрения, что тэта-функциональные формулы решений интегрируемых задач классической механики есть лишь набор символов * из которых невозможно извлечь конкретную механическую информацию"! Такая точка зрения j на наш взгляд, не лишена оснований"* Дело в том, что все эти формулы выражают физические параметры интегрируемой системы в виде (tiLi-ttoi, + tQi), где R некоторая рациональная функция от различных тэта-функций двух переменных^ Явный вид этой рациональной функции, а также вектора частот t иг) крайне малоэффективно вычисляется в результате решения некоторой задачи обращения Якобит Именно в силу такого низкого уровня эффективности построенные в прошлом веке точные решения перечисленных выше механических систем невозможно было использовать для получения качественной информации о поведении этих систему, а также для описания методами теории возмущений характера поведения систем, близких к этим интегрируемым":

Начиная с середины 70-х годов теория тэта-функций стала интенсивно применяться в теории солитонов, возникающих в различных нелинейных волновых процессах"! Основной предпосылкой для такого применения явилось открытие «метода обратной задачи» * позволившего проинтегрировать ряд фундаментальных физических урав-нений^ Первое из таких уравнении — известное уравнение Кортевегаде Фриза (КдФ), сведенное в С15 ] к обратным задачам рассеяния для оператора Шредингера (Штурма-Лиувилля) при решении задачи Коши для уравнения КдФ на классе быстроубывавдих функций.- Механизм, лежащий в основе процедуры работы Йб] был в дальнейшем осмыслен и усовершенствован с различных точек зрения Лаксом [17] ,.

ВгЕ.'Захарошм и Л. Д"Фадцеевым [18 ], Гарднером [19 ] - затем были найдены другие нелинейные уравнения, к которым аналогичный механизм также может применяться"* Первым после КдФ было нелинейное уравнение Шредингера (НШ) [20 J у [21], затем последовали уравнение SineGordon (6fG) С22−24] * цепочка Тода [2527], двумерный аналог уравнения ВД? — уравнение КадомцеваПетвиашвшш (КП) [28*29] и ряд других (см* подробнее в Г 30])¦< фундамент современных приложений теории тэта-функций был заложен в результате опубликования в 1974;1975 гг цикла работ Св! ЩНовикова, автора, ВЛ*Матвеева и А#]Р#(йтса [31−35] и Лакса [36,37], в которых был введен и изучен класс «конечнозонных» периодических и квазипериодических потенциалов оператора Шредингера (Штурма-Лиувилля, Хилла)# На базе этого класса была сформулирована и реализована программа построения широкого класса решений уравнения выражающихся через гиперэллиптические тэта-функции^ (Некоторые результаты этих исследований были получены также Маккином и Ван Мербеке в 1975 г [38] *! Как было строго доказано В^МЯарченко и И.!ВГОстровским — в книге [39] , — множество периодических конечнозонных потенциалов плотно в пространстве периодических функций с данным периодом?) В указанных работах была установлена связь спектральной теории операторов с периодическими коэффициентами с алгебраической геометрией, теорией конечномерных вполне интегрируемых гамильтоновых систем и теорией нелинейных уравнений типа Кд^ Обобщение этой теории на Г пространственно двумерные (nZ+i — системы) — к числу которых относится и уравнение КП, было осуществлено И.!М,'Кричевером [4043] Подход И"М#!Кричевера дает также чрезвычайно методологически удобное и прозрачное изложение алгебраической процедуры построения упомянутых выше конечнозонных решений уравнения и его многочисленных аналогов.- В случае — систем этот метод вскрывает новые важные связи с алгебраической геометрией, которые существенно используются в постановке задач главы Ш настоящей диссертации.

Перечисленные работы составили основу периодического аналога метода обратной задачи в теории нелинейных уравнений, называемого также методом «конечнозонного интегрирования» или «алгебро-геометрического интегрирования» .- Этот метод состоит из трех тесно связанных друг с другом составных частей: теории нелинейных уравнений, спектральной теории операторов с периодическими и квазипериодическими коэффициентами и алгебраической геометрии рима-новых поверхностей и абелевых многообразий^- Взаимодействие этих составных частей может быть проиллюстрировано достаточно полно на примере теории уравнения КдФ.

Г 1 <Н (I).

11= бии-и «допускающего коммутационное представление (Лакса) где.

2).

3).

— оператор Шредингера, — 47)3+3(и2%+'д и) (4).

— вспомогательный оператор третьего порядка* В [31] было найдено другое коммутационное представление уравнения Кд£> эквивалентное (2): Ы 0, (5) где Л С^) -Л — матрицы, полиномиально зависящие от спектрального параметра, А: о л-ч.

А О.

6).

Л г ¦ г г.

1 V 2 и.

7) оператор (уОФа) совпадает с оператором ¿—л, переписанным в матричном виде).- Определены «высшие аналоги» уравнения №.

С4л) ч (8) г,? / V попарно коммутирующие и имеющие коммутационное представление* аналогичное (5):

9) где71 (Л) — матричный полином от, А степени * коэффвдиен-п ты которого выражаются через функцию и и ее производные по X (Само уравнение Кдф содержится в (8) ,(9) при П = 1 «?,) Линейные комбинации с постоянными коэффициентами уравнений (8) также представляются в виде (5), 5.

Алгоритм построения конечнозонных решений уравнения ВД? таков [31] Рассмотрим стационарные решения одного из высших аналогов уравнения Кц#:

I С&ы) V' С&п) п = й.

Это — обыкновенное дифференциальное уравнение порядка £А/, являющееся гамильтоновой системой с N степенями свободы* Эта система вполне интегрируемарешения уравнения (10) поэтому являются условно периодическими функциями от ос & Совокупность этих решений при всевозможных значениях констант С 9 Сй 9. С-п инвариантна относительно (I) и дает условно-периодические решения уравнения КдФ">. Это и есть искомые конечнозонные решениям Для гладких вещественных периодических с периодом Т решений и (ос) уравнений (10) в блоховском спектре оператора Ь =-д и Сое.) V в С-)) имеется лишь конечное число лакун.

О, А) 9 ' V"где VV< * - невыр°жденные точки спектра периодической и антипериодической задач": Елоховская собственная функция, % С0С+Т9 ос0 9 р (Л) — квазиимпульс), оказывается однозначной мероморфной по) функцией на двулистной римановой поверхности Г, имеющей точки ветвления в концах зон спектра^.

При <=х> функция %. (00, ОС0 Д) имеет экспоненциальную существенную особенность вида7ехр^^ф-дС^)]. Полюсы функции расположены по одному над каждой конечной лакуной в спектре (число полюсов равно роду N римановой поверхности Г.

Общие комплексные решения уравнения (10) при продолжении по х в комплексную область также являются условно периодическими мероморфными функциями" — Оператор I* ив этом случае обладает собственной функцией Ч* «мероморфной по Л на некоторой двулистной римановой поверхности Г рода И, обладающей там аналитическими свойствами, аналогичными сформулированным выше» Еиманову поверхность Г в этом случае естественно назвать спектром оператора 1* • Но точки ветвления этой римановой поверхности являются уже комплекснымина расположение А/ полюсов функции Ф также не возникает никаких ограничений^ Риманова поверхность Г и функция ^ строится согласно следующему алгоритму"1 Из (9) получаем для уравнения (10) коммутационное представление.

0, (II) где матричный полином, А (2) имеет вид п =0.

Другими словами, для конечнозонных операторов # а) = % - € а) С существует матричный полином Л (2) 9 коммутирующий с X С А) (это свойство можно взять за определение конечнозонных операторовсм"' ниже гл" 1У)" Риманова поверхность Г задается характеристическим уравнением матрицы Л С Л) :

П (Л^) (13).

Можно считать, что ЗпЛ (Л) =О ветвления римановой поверхности Г тогда точки ., — это нули многочлена с1еЬ Л Й) ^.

Собственная вектор-функция Ч> = оператора % М), мероморфная на построенной римановой поверхности Г 9 строится как собственный вектор пары коммутирующих операторов: та) у (Я о, л а)? = и} с условием нормировки ~ 1 (ее компонента V является.

Л ^ тогда собственной функцией оператора I.

Перечисленные выше аналитические свойства собственной функции ^ конечнозонного оператора? , мероморфной на римановой поверхности Г конечного рода^, позволяют доказать, что эта функция однозначно определяется римановой поверхностью Г и своими полюсами и выражается через тэта-функцию римановой поверхности Г 9* Для конечнозонного потенциала и №), а также для соответствующего решения ИСХ,^ уравнения № получаем [35] выражение вида.

15).

Здесь тэта-функция ^ переменных определяется своим рядом Зурье ее*) — в, а 1В) е*рц м >+ <*, г >} > (16).

Уе г = <�Х, гУ-Ц,^, В = (3^-матрица периодов голоморфных дифференциалов римановой поверхности Г относительно некоторого базиса циклов 9 со стандартными индексами пересечений ^~ О, ~ ¿-^у вещественная часть этой матрицы отрицательно определена), з вЛ', N> = 6. М Лу Далее, векторы.

-¿-Ч,. ' ~ эт0 вект°Ры^периодов нормированных абелевых дифференциалов на Г второго рода с полюсами в бесконечноудалениой точке второго и четвертого порядков соответственное Вектор г определяется по заданию полюсов собственной функции — меняя эти полюсы, можно придавать этому вектору произвольные значения.- Наконец, константа С зависит только от римановой поверхности I7 и от выбора на ней базиса циклов й-, в/ г з.

Для того, чтобы формула (15) задавала гладкие вещественные периодические и почтипериодические конечнозонные потенциалы и решения уравнения ВД&-, нужно, чтобы все точки ветвления п, а поверхности I были вещественны и различны" Полюсы собственной функции Ц?, как уже говорилось, лежат по одному на вещественных циклах над лакунамиэто задает вещественные ограничения на возможные значения вектора т:, вид которых зависит от выбора базиса циклов на Г Отметим, что ограничения на риманову поверхность Г и расположение на ней полюсов собственной функцииотвечающие выделению гладких вещественных потенциалов, могут быть получены лишь с привлечением спектральной теории оператора Шредингера /| = - д+ и (X), эс.

Уже из этого беглого очерка основных идей метода конечно-зонного интегрирования видно, что так называемые «явные формулы» (15) решений уравнения КдФ (а также их обобщения для других интегрируемых уравнений, некоторые из которых перечислены ниже в § 1*4) являются лишь сокращенными формулировками глубоких результатов, содержащих в себе, фактически, весь аппарат классической алгебраической геометрии римановых поверхностей и абеле-вых многообразий.' Этим они кардинально отличаются от других известных семейств точных решений различных дифференциальных уравнений в тех или иных классах специальных функций, где мы можем-, в частности, убедиться в справедливости формулы для решения прямой ее подстановкой в уравнение с использованием различных тождеств для соответствующих специальных функций" — Другими словами, явные формулы типа (15) обладают теми же недостатками* препятст-вуадими их использованию в приложениях* что и формулы для решений перечисленных выше классических интегрируемых систем,'.

Фактически причина низкой эффективности формул типа (15) для решений нелинейных уравнений заключается в том, что «параметрами» этих решений являются произвольные римановы поверхности (гиперэллиптические в случае Кдф), которые задают (сложными абе-левыми квадратурами) матрицу периодов тэта-функции и векторы частот УГ и волновых чисел 2/,., «С другой стороны, ясно, что наиболее естественные и простые параметры, задающие тэта-функцию многих переменных, это ее периоды (Вгу) (симметрическая матрица с отрицательно определенной вещественной частью)" — Сама тэта-функция вычисляется по своей матрице периодов при помощи чрезвычайно быстро сходящегося ряда (см» подробнее § 1"1 ниже)", С этой точки зрения формулы типа (15) можно сделать по настоящему эффективными, если решить следующие две проблемы":

I"' Выяснить, какие значения могут принимать матрицы периодов тэта-функций в формулах конечнозонных решений нелинейных уравнений типа Кд$?".

Д" Выразить оставшиеся характеристики конечнозонных решений — т"е" векторы частот IV и волновых чисел через периоды тэта-функции,'.

Как уже говорилось, периодами тэта-функций в формулах (15) и их многочисленных обобщениях являются периоды голоморфных дифференциалов на римановых поверхностях"1 Для случая малых родов 3 поэтому матрица периодов (Вг-) может быть произвольной (общего положения) симметричной с положительной вещественной частью, поскольку здесь на периоды голоморфных дифференциалов еще не возникает никаких соотношений [3], Остается проблема П,*.

Таким образом, для малых родов для эффективизации формул типа (15) конечнозонных решений уравнения Кдф и его обобщений достаточно вычислить векторы частот и волновых чисел через матрицу периодов тэта-функции" — Решение этой задачи эффек-тивизации было впервые получено автором в работах [44], С45J (формулировки части результатов работы [44] были опубликованы В, П"Масловым и (^Доброхотовым в [46], где эти результаты использовались Это решение основывалось на высказанной С,-П:Но-виковым идее элементарной подстановки тэта-функционального «ан-затца» (15) в уравнение КдФ, причем, а векторы V и И^ пока неизвестны, (Для уравнения Кадомцева-Петвиашвили (КП) важен также случай <3=3 ,) В результате подстановки получится ж) Одновременно с работой [44] и независимо от нее была опубликована работа Накамуры [47] * методы которой пересекаются с отдельными техническими соображениями работы [44] (Подход Накамуры обсуждается также в препринте Хироты [48] без каких-либо точных формулировок и явных формул,') При этом Накамура решает такую задачу: как с помощью тэта-функции двух переменных строить точные решения нелинейных уравнений типа Кдф? Подход Накамуры не обобщается уже на случай тэта-функции трех переменных «связь с проблематикой классической теории тэта-функций (см, ниже) в работе [47] не обсуждается, верное тождество, лишь если векторы II, IV и «амплитуда» (Ъл.) удовлетворяют некоторой системе «дисперсионных» соотношений.

17) с.

Вывод этих соотношений, однако, совсем не тривиален в силу нелинейности уравнения КдФ"1 Общий метод подстановки тэта-функционального анзатда в уравнения теории солитонов типа КдФ, КП и пр" был развит автором в цитированных выше работах [443, [453 — изложению этого метода и его важнейших приложений посвящена глава П настоящей диссертации.

Цусть теперь ^ у/ 4 • Б этом случае уже не любая матрица () (симметрическая с положительно определенной вещественной частью) может быть матрицей периодов голоморфных дифференциалов на римановой поверхности^ Это легко увидеть уже из соображений размерности: римановы поверхности рода Оу 1 образуют (3^-3) — параметрическое семейство, а матрицы ^ - параметрическое семейство"' Проблема отыскания полного набора соотношений между периодами голоморфных дифференциалов на римановых поверхностях (мы называемЧпроблемой Римана-Шоттки) была поставлена еще Риманом и до настоящего времени в хорошем виде не решена" Точную формулировку этой проблемы мы дадим в § ЗД, а здесь приведем краткую информацию о ее истории"! Первое продвижение в решении этой проблемы получил Шоттки С49Л, который нашел в первом нетривиальном случае ^ = 4 одно соотношение на периоды" Почти сто лет спустя Игуса показал [ЬО], что уравнение Шоттки точно выделает периоды голоморфных дифференциалов при 4 «.

Обобщения соотношений Шоттки на случай больших родов указывались в [51], [52] «Метод Шоттки был осмыслен с современной точки зрения и существенно продвинут в работе^аркаша и Рауха [53] ?

В этой работе был предложен метод, позволяющий получать большое число явных тождеств на тэта-функции, справедливых для тэта-функк ций римановых поверхностей, отправляясь от теории многообразий Примам Лишь в работе [54] самого последнего времени было доказано, что соотношений Фаркаша и Рауха хватает по числу параметров? Наконец, еще один подход к проблеме Римана-Шоттки был найден Андреотти и Майером [55], применившими для решения этой проблемы свойства дивизора нулей тэта-функций римановых поверхностей? Уравнений Андреотти-Майера хватает по числу параметров, однако процедура их написания сильно неэффективна? Кроме того, известно, что решения этих уравнений имеют лишние компоненты (не относящиеся к периодам голоморфных. дифференциалов) — см? [56J ?

Автором был развит [45 J, L57J метод решения проблемы Римана-Шоттки, использующий теорию конечнозонных решений уравнения Кадомцева-Петвиашвили (КП) (1"4?Ю), решения которого имеют вид (1″)4?13) (см? ниже), и риманова поверхность, задающая эти решения, может быть произвольной": Изложение этого метода составляет предает главы Ш настоящей диссертации? Приведем здесь лишь основную идею"' Будем искать решение уравнения КП в виде (1"4?13) как это объяснялось выше, где матрица периодов (В-/) тэта-функции и векторы V, У, Ц7 пока не известны,' Методы гл" П позволяют получить набор «дисперсионных» уравнений.

КП (У, УЛ (Ъц))-0. (18) уравнения (3.1?6) ниже)", С"П.Новиков высказал гипотезу, что решая систему (18) относительно матрицы, мы получил матрицы периодов римановых поверхностей и только их"1 В главе Ш мы даем точную формулировку этой гипотезы и доказываем ее справедливость по числу параметров (т"-е#- с точностью до компонент)" Попутно получается эффективная процедура для решения классической задачи Торелли о восстановлении римановой поверхности по ее периодам голоморфных дифференциалов* В самое последнее время идеи и методы работы автора [571 получили дальнейшее развитие в работе Арбарелло и Де Кончини Гб8 7¦ В этой работе к соотношениям (18) на матрицу (Вц) добавлены другие соотношения, (фактически возникающие из «высших аналогов» уравнения КП), уже точно выделяющие периоды голоморфных дифференциалов. Полученная система соотношений на матрицу (Ь*>) является сильно переопределенной (напомним, что по числу параметров хватает уже соотношений, вытекающих из (18)) — кроме того, теряется универсальность — независимость от рода ^ Справедливость гипотезы С"<�П"Пови-кова в работе Г58] не доказана и не опровергнута";

Описанная выше программа метода конечнозонного интегрирования до самого последнего времени в полном объеме была осуществлена лишь для уравнения Кортевегаде Фриза и связанного с ним оператора Шредингера"1 Дело в том, что почти все нелинейные уравнения, интегрируемые методом обратной задачи (нелинейное уравнение Шредингера, уравнение &-пев-огДоп. «уравнения нелинейного взаимодействия волновых пакетов и др»?), ассоциировены со спектральной теорией матричных линейных дифференциальных операторов, которые зачастую даже не являются самосопряженными"', Хотя построить комплексные алгеброгеометрические решения этих уравнений сравнительно несложно (см"' Г59−64], [41]), попытки выделить из них вещественные гладкие решения наталкивались на серьезные трудности"' Возникающие здесь задачи вещественной алгебраической геометрии оказались совершенно неразработанными (первые серьезные продвижения в решении этих задач в применении к нелинейному уравнению Шредингера, двумерному оператору Шредин-гера и к уравнению $вбыли сделаны И, В. Чередником [65−67], хотя полученные в этих работах результаты и далеки от эффективности)"' Точно так же почти ничего не было известно о спектральных свойствах несамосопряженных операторов с периодическими коэффициентами, т"!е"' о свойствах возникавдих римановых поверхностей и об аналитических свойствах блоховских собственных функций, мероморфных на этих поверхностях" Даже и для самосопряженного случая, где был накоплен большой конкретный материал о свойствах спектра (см" [68], ЙОб]), структура римановой поверхности спектра не исследовалась"*.

Первые серьезные применения конечнозонных решений и конеч-нозонных операторов — в задачах статистической физики, развитии нелинейного аналога метода БКБ и др" - сделали особенно актуальным доведение до конца конечнозонного интегрирования ряда нелинейных уравнений, имеющих важные физические приложения, и исследование спектра соответствующих линейных операторов"' Это было сделано в ряде работ самого последнего времени: для уравнения в работах [69−71], для нелинейного уравнения Шредингера в [71], [72] 9 (В работе [72], кроме того, на неэффективном уровне изучался вопрос о конечнозонном интегрировании векторного нелинейного уравнения Шредингера и уравнений главного кирального поля со значениями в унитарной группеШло доказано, что возникающие здесь вещественные римановы поверхности относятся к разделяющему типу (см"' ниже), однако их полная топологическая классификация не получена"1 Тэта-функциональные формулы для решений также не найдешь).

Полное описание свойств спектра матричных линейных конеч-нозонных операторных пучков с различными условиями 7 — самосопряженности, а также тэта-функциональные формулы для их коэффициентов и решений связанных с ниш нелинейных уравнений были впервые получены автором [73] и составляют содержание главы 1У настоящей диссертации" — Рассматриваемые пхц. — операторные пучки имеют вид.

L (Л) =:М-Уса), в=сйшц (а19., ап), (19) где Л — спектральный параметр"! Условие «7 — самосопряженности» операторного пучка ¿-¿-(Л) имеет вид у и 7, 7 = (±{,.,± ?X.

20) где звездочка обозначает эрмитово сопряжение"! Следует сказать несколько слов о нелинейных уравнениях, ассоциированных с такими пучками при 1П. 7/3 «, Первые примеры таких уравнений — уравнения нелинейного взаимодействия волновых пакетов („задача трех волн“) — были найдены В"'Е» Захаровым и С"В.Манаковым (см" в [30])"' Впоследствии С. Ф. Манаков заметил Г74], что стационарные уравнения задачи волн совпадают с М — мерным обобщением (для алгебры Ли 10 (Ю) уравнений Эйлера движения твердого тела с закрепленной точкой и поэтому также интегрируемы"! Прямая проверка независимости и инволютивности построенных С"В"Манаковым интегралов % - мерных уравнений Эйлера была сделана А^Миценко и А"Т"|Фоменко в работе С75 ]" В этой же работе метод С"В"-Манакова был использован для доказательства полной интегрируемости (по Лиувиллю) некоторых геодезических потоков на других полупростых группах Ли. В последнее время была опубликована серия работ Адлера и ван Мербеке [76−78], в которых изучалась алгебраическая структура инвариантных торов для найденных С. В. Манаковым интегрируемых уравнений Эйлера.1, Случай алгебры Ли -5О (4), где интегрируемость доказана еще в работах С79], Г803, более детально изучался в работе Хайне Г81] Явных тэта-функциональных формул для решений в этих работах получено не было.1 Вопрос о выделении «вещественных» решений авторами не ставился.' Более сложные нелинейные уравнения, связанные с матричными операторами, изучались в Г82], [83], где строился также гамильтонов формализм для этих уравнений.;

Возвращаясь к операторным пучкам (19), укажем, что римано-ва поверхность Г блоховской собственной функции операторов (19) всегда является вещественной, т. е. допускает антиголоморфную инволюцию Т .: Неподвижные овалы инволюции 'С являются разрешенными зонами спектра пучка Z (Л) Других разрешенных зон нет, если выполнено условие самосопряженности ТА У 0 Основной проблемой спектральной теории матричных конечнозонных операторных пучков является описание класса вещественных римано-вых поверхностей (Г, Т), на которых задана еще мероморфная функция степени 11 — спектральный параметр Л, где * являющихся римановыми поверхностями блоховских функций Iсамосопряженных операторных пучков (19). Это описание, являющееся центральным результатом главы 1У, имеет следующий вид,.

1) Бесконечноудаленные точки X1 (поверхности 1 неподвижны относительно Т ;

2) Вещественная часть Г разделяет поверхность Г на две половины и Г * (Г+) — П.

3) Ориентируем Т как край одной из половин (скажем, Г+). Тогда степень отображения, А • Х^ ИР равна сигнатуре матрицы 3 (с точностью до знака).

Необходимость свойств 2), 3) доказана (если Зф {) в самосопряженном случае >0? если же условия самосопряженности нарушается, то необходимость этих свойств доказывается при дополнительном предположении компактности изоспектрального класса пучка.

КХ) с данным спектром I, справедливым, по-видимому, для пучков общего положения.

Сформулированная теорема сводит задачу классификации спектров матричных конечнозонных операторов (%) общего положения (где риманова поверхность Т неособа) к задаче вещественной алгебраической геометрии — топологической классификации троек.

7 ъ—), удовлетворяющих условиям I) — 3). Гораздо более сложной является задача классификации решений ассоциированных с обыкновенных дифференциальных уравнений. В простейшем случае уравнений Эйлера-Манакова (см. выше) мы приходим, как показано в гл. 1У, к описанию расположений на проективной плоскости.

ИР* троек, где 1 — плоская вещественная комплексно ориентируемая кривая степени ш,, 'Р &-Гточка в , — прямая на Я/Р, проходящая через Р и пересекающая Г в У^ точках.

Настоящая диссертация состоит из введения и четырех глав, разбитых в общей сложности на 19 параграфов. Используется двойная нумерация параграфов (номер главы, номер параграфа) и тройная нумерация теорем, лемм, определений, формул в параграфах (первые два числа указывают номер главы и номер параграфа). Име.

1. Дрюма В/С/ Об аналитическом решении двумерного уравнения Кор-тевега-де ©-риза/ Письма в ЖЭТФ, 1974, т#. 19, вып.- 12, с/ 753−755/.

2. Захаров В/Е/, Шабат А. Б/ Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи теории рассеяния.- I. функц/анализ, 1974, т. 8, вып/ 3, с/43−53,.

3. Захаров В, Е, Манаков С,-В/, Новиков С,-П/, Питаевский Л*П/ Теория солитонов: метод обратной задачи/ (Под ред, — С/П/Новикова.- М-: Наука, 1980, 319 е.;

4. Мищенко A-C.: Интегралы геодезических потоков на группах Ли"}- Функц-анализ и его прил-, 1970, т.- 4, вып.- 3, cCj 73−77f.

5. Мещеряков М. В. Интегрирование уравнений геодезических лево-инвариантных метрик на простых группах Ли с помощью специальных функций. Матем. сб., 1982, т.117, № 4, с. 481−493.

6. Кулиш П. П., Рейман А. Г. Гамильтонова структура полиномиальных пучков. Зап. научн. семин. ЛОМИ, 1983, т.123, с. 67−76.

7. Nuij' V/. A note on hyperbolic polynomials.- Math.Scand., 1968, v. 23, No. 1, p. 68−72.