Граничные задачи теории скин-эффекта в максвелловской плазме

Объект исследования и актуальность темы. Работа посвящена аналитическому решению граничных задач теории скин-эффекта для электронной плазмы, заполняющей полупространство.

Скин-эффект обусловлен откликом электронного газа (в металлической или газовой плазме) на внешнее тангенциальное к поверхности переменное электромагнитное поле с постоянной амплитудой.

В настоящее время изучение плазмы является актуальным в связи с различным практическим применением, развитием астрофизики, космофи-зики (наблюдением космической плазмы и объяснением процессов в ней) и физики верхней атмосферы Земли, особенно в связи с полетами летательных аппаратов, а также интенсификацией исследований по проблеме управления термоядерным синтезом.

Наиболее детальный метод описания плазмы — кинетический, с использованием системы уравнений Власова — Максвелла.

Предметом исследования являются граничные задачи теории скин-эффекта и методы их аналитического решения.

Впервые аналитическое решение аналогичных задач в полупространстве металла получили Ройтер и Зондгеймер. Одно из преимуществ их метода состоит в том, что полученная формула для вычисления импеданса не зависит от числа нулей дисперсионной функции, и, естественно, не требует их вычисления. К недостаткам метода следует отнести, например, тот факт, что электрическое поле и функция распределения электронов выражаются интегралами Фурье, что несколько затрудняет численные исследования.

Поэтому актуальной задачей математической физики является развитие аналитического метода решения различных краевых задач кинетической теории.

Цель диссертационной работы — дать введение в аналитические методы решения граничных задач о скин-эффекте в максвелловской плазме с использованием кинетического уравнения Власова с самосогласованным электрическим полем и уравнения Пуассона на электрическое поле.

Научная новизна работы. В диссертации получен ряд новых научных результатов, связанных с аналитическим решением системы уравнений, описывающих поведение электронов и электрического поля в полупространстве максвелловской плазмы.

Как основной результат, в диссертации получено точное решение линеаризованной задачи о скин-эффекте с током смещения в максвелловской плазме с использованием кинетического уравнения Власов — Максвелла методом разложения по собственным функциям и методом источника. В качестве граничных условий используется зеркальное и диффузное отражение электронов от поверхности.

Проведен анализ полученных результатов. Исследованы предельные случаи скин-эффекта при нормальном и аномальном скин-эффекте.

Исследована структура дискретного спектра, которая состоит из нулей дисперсионной функции.

Сформулирована и доказана теорема о том, что граничная задача имеет единственное решение, представимое в виде разложения по собственным функциям соответствующей характеристической системы уравнений.

Найдены точные выражения для импеданса в случае зеркальных и диффузных граничных условий. Исследовано поведения импеданса вблизи плазменного резонанса, т. е. когда частота колебаний внешнего поля принимает значение плазменной частоты.

Рассмотрено отражение и поглощение электромагнитной волны вблизи границы плазмы. Выяснена структура электрического поля. В явном виде получено выражение для профиля функции распределения электронов в полупространстве и на границе плазмы. Проведен анализ величины модуля электрического поля, а также ее действительной и мнимой частей в случае аномального скин-эффекта вблизи резонанса.

Научная и практическая ценность. Результаты работы относятся к теории аналитических решений кинетических уравнений. Отметим, по крайней мере два направления проведенного исследования, имеющих прикладное значение: применение методов функционального анализа (теории обобщенных функций), методов краевых задач теории функций комплексного переменного для решения кинетических уравнений и применение полученных результатов при решении уравнений математической физики, в частности при исследовании явления скин-эффекта в максвелловской (неравновесной) плазме.

Положения, выносимые на защиту:

1. Аналитическое решение граничной задачи теории скин-эффекта для электронной плазмы, с зеркальными граничными условиями. Анализ полученных результатов вблизи плазменного резонанса, т. е. когда частота колебаний внешнего поля принимает значение плазменной частоты.

2. Аналитическое решение граничной задачи с диффузными граничными условиями. Анализ полученных результатов вблизи плазменного резонанса.

3. Анализ структуры дискретного спектра, который состоит из нулей дисперсионной функции. Построение области В граница которой задается параметрическими уравнениями дИ+ = {(ш^Уу): 11е А+(/л) = 0, 1 т А+О) — 0}. .

4. Исследование отражения и поглощения электромагнитной волны вблизи границы плазмы. Структура электрического поля и функции распределения электронов. Анализ величины модуля электрического I поля, а также ее действительной и мнимой частей в случае аномального скин-эффекта вблизи плазменного резонанса.

Предшествующие результаты. Открытие явления скин-эффекта принадлежит Т. Хьюгсу в 1885 году. Оливер Хевисайд и Джон Рэлей были первыми, кто начал рассмотрение потоков энергии электромагнитного поля и описали вытеснение переменных полей и токов из толщи проводников, то, что теперь стали называть скин-эффектом (1886). В 1940 г. Гейнц Лондон открыл аномальный скин-эффект в металлах. Альфрен Брайн Пиппард построил теорию аномального скин-эффекта (1947). Он первым показал, что аномальный скин-эффект в металлах зависит от геометрических особенностей ферми-поверхности, а не от средней длины свободного пробега электрона [81].

В имеющихся к настоящему времени монографиях, посвященных различным вопросам поведения плазмы, теории скин-эффекта отводится немного места — несколько глав или параграфов.

Впервые аналитическое решение задачи о скин-эффекте при произвольной степени аномальности было получено в работах [74] и [82] для плазмы в металле. Для газовой плазмы соответствующее решение приводится в [62].

В.П. Силиным исследована диэлектрическая проницаемость в изотропной плазме и получена эффективная глубина проникновения поля в случае зеркальных и диффузных граничных условий для нормального и аномального скин-эффектов.

В работе А. Н. Кондратенко [74] в кинетическом приближении ч вычислены глубины проникновения полей, коэффициенты трансформации в случае нормального и аномального скин-эффекта при зеркальном и диффузном отражении частиц в изотропной полуограниченной плазме или плазменных слоях.

В настоящее время проблема изучения явления скин-эффекта представляет интерес для многих авторов в плазме твердого тела и в газовой плазме — [19], [28], [29], [33], [54], [57], [76], [86], [87].

Во всех предшествующих работах исследование импеданса при наличии тока смещения вблизи резонанса не проводилось.

В диссертационной работе исследуются методы решения систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений.

История точных решений модельных кинетических уравнений в виде разложений по собственным решениям начинается с 1960 года, когда К. Кейз [21] предложил метод, позволяющий в явном виде построить искомую функцию распределения.

Этот метод состоит в разложении функции распределения по собственным обобщенным сингулярным функциям характеристического уравнения, соответствующего исходному кинетическому уравнению. Система собственных функций, отвечающая уравнению, должна быть полной в смысле метрики некоторого функционального пространства, но до Кейза в нее включали только регулярные собственные функции. Работа Кейза в дальнейшем послужила основой для разработки данного метода в других областях физики. Так К. Черчиньяни в 1962 году использовал метод Кейза для получения аналитического решения БГК-модели (Бхатнагар, Гросс, Крук) уравнения Больцмана.

Значительный вклад в метод Кейза внесли A.B. Латышев и A.A. Юшканов, в работе [30] был предложен принципиально новый математический подход, который позволяет получить точные решения линеаризованных уравнений Больцмана с оператором столкновений БГК или эллипсоидально — статистической — модели путем сведения их к интегро-дифференциальным уравнениям типа свертки. Полученные таким образом уравнения преобразованием Фурье сводятся к краевым задачам Римана — Гильберта и решаются затем методами теории функций комплексного переменного (ТФКП) [12,59]. Далее в работах Латышева A.B. и Юшканова A.A. продолжает развиваться метод решения граничных задач для кинетических уравнений. Значительное число аналитических решений граничных задач для различных модельных кинетических уравнений было получено в работах [28] - [50].

Для решения кинетических уравнений применяется также операторный подход, который изложен в [53]. Но одним из основных методов математической физики является метод решения граничных задач по собственным функциям [2].

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на конференциях, таких как:

1. ежегодная научная конференция профессорско-преподавательского состава МГОУ (Москва, 2006 — 2008 гг.);

2. ежегодная научная конференция профессорско-преподавательского состава МПГУ (Москва, 2006 — 2008 гг.);

3. Всероссийская заочная научно-практическая конференция «Актуальные проблемы обучения математике (К 155-летию со дня рождения А.П. Киселева)» (Орел, Россия, 2007 г.);

4. XXI Международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях» (СГТУ, Саратов, Россия, 27−31 мая 2008 г.);

5. Пятая международная научно-практическая конференция «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности» (Санкт-Петербург, Россия, 2008);

6. Школа-семинар «Нелинейный анализ и экстремальные задачи» (РАН Сибирское отделение, Иркутск, Россия, 24−30 июня 2008 г.);

7. Международная научная конференция «Физико-химические основы формирования и модификации микрои наноструктур» (НФТЦ МОН и HAH Украины, Харьков, Украина, 2008 г.);

8. Международная конференция, посвященной 100-летию со дня рождения C. J1. Соболева «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений.» (Ин-т математики СО РАН, Новосибирск, Россия, 5−12 октября 2008 г.);

9. Международная научная конференция «Моделирование нелинейных процессов и систем» (МГУП СТАНКИН, Москва, Россия, 14−18 октября 2008 г.);

10. IV Международная научно-практическая конференция «Predni vedeeke novinky — 2008» (Прага, Чехия, 1−15 сентября 2008 г.);

11. Пятая всероссийская конференция (МГТУ им. Н. Э. Баумана, Москва, 2009).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 17 работах соискателя, список которых приведен в конце автореферата. Статьи [99, 104] опубликованы в изданиях, входящих в утвержденный ВАК перечень ведущих рецензируемых научных изданий, в которых должны быть размещены основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени кандидата наук. В указанных публикациях содержатся все основные результаты диссертации.

Вклад автора в совместных работах. Постановка задачи и вывод уравнения принадлежат профессору A.B. Латышеву и профессору.

А.А. Юшканову. Результаты диссертационного исследования, касающиеся получения аналитического решения поставленной граничной задачианализ полученных результатов, изучение структуры электрического поля, отражение и поглощение плазменных волн проведены соискателем лично.

В работах [88 — 97] соискателю принадлежит аналитическое решение поставленной граничной задачи, а в работах [100 — 104] соискателю принадлежат также и теоретические результаты о свойствах найденного аналитического решения и выводимого в работе дисперсионного уравнения.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии. Объем работы составляет 125 страниц текста, в том числе 34 рисунков. Библиография включает в себя 104 наименований, в том числе и публикации диссертанта по теме исследования. Каждая глава разбита на параграфы, имеющие двойную нумерацию с указанием на соответствующую главу. Формулы внутри каждого параграфа также имеют двойную нумерацию, с указанием на параграфпри ссылке на формулы из другой главы используется тройная нумерация, где первым идет номер главы. Рисунки имеют двойную нумерацию с указанием на главу.

Заключение

.

Настоящая диссертация посвящена аналитическому решению системы уравнений, описывающих явление скин-эффекта в полупространстве максвелловской плазмы.

В первой главе рассмотрена постановка задачи о скин-эффекте с током смещения в максвелловской плазме и получены собственные функции граничной задачи. Исследована структура дисперсионной функции, которая имеет либо два, либо четыре нуля, что зависит от величины исходных физических параметров. Число нулей связано с индексом задачи формулой (1.3.4). Знание поведения индекса >гг (С?) на плоскости параметров (7, г) исходной граничной задачи дает возможность решить однородную краевую задачу Римана из теории функций комплексного переменного. Данная задача позволяет вывести так называемые формулы факторизации дисперсионной функции, из которых можно в явном виде получить выражения для ее нулей ±7%, к = 0, 1. Кроме того, однородная краевая задача Римана лежит в основе решения исходной граничной задачи с диффузным отражением электронов от границы плазмы.

Во второй главе получено точное решение линеаризованной задачи о скин-эффекте с током смещения в максвелловской плазме методом разложения по собственным функциям и методом источника. В качестве граничного условия взято зеркальное отражение электронов от поверхности. Рассмотрены предельные случаи скин-эффекта. Проведен анализ поверхностного импеданса вблизи плазменного импеданса. Исследовано отражение и поглощение электромагнитной волны близи границы, а также проведен численный анализ полученного решения.

В третьей главе получено решение граничной задачи с использованием диффузных граничных условий. Найдены выражения для поверхностного импеданса в зависимости от индекса задачи. Проведен анализ структуры электрического поля и функции распределения электронов. В явном виде получено выражение для профиля функции распределения в полупространстве и на границе плазмы. Проведен анализ величины модуля электрического поля, а также ее действительной и мнимой частей в случае аномального скин-эффекта вблизи резонанса, т. е. когда частота колебаний внешнего поля принимает значение плазменной частоты. Оказалось, что величина электрического поля в задаче о скин-эффекте определяется в основном дискретным спектром в случае аномального скин-эффекта. В конце главы проведен анализ предельных случаев скин-эффекта и рассмотрено отношение импедансов в случае зеркальных и диффузных граничных условий.

В работе используется метод разложения решения задачи по собственным решениям дискретного и непрерывного спектра. Этот метод состоит в экспоненциальном выделении пространственной переменной у функции распределения и поля с соответствующими весовыми функциями. В результате получается характеристическая система, исключив из которой одну из весовых функций, приходят к одному уравнению, содержащему так называемую дисперсионную функцию. Ее нули образуют дискретный спектр, которому отвечают частные (дискретные) решения. Решение характеристического уравнения в классе обобщенных функций дает собственные решения непрерывного спектра.

Обратим внимание, что предлагаемый подход основан на разложении решения задачи по собственным решениям характеристической системы, отвечающей дискретному и непрерывному спектрам. Решение, отвечающее дискретному спектру, есть сумма убывающих частных решений, которые определяются нулями дисперсионной функции, а решение, отвечающее непрерывному спектру, представляет собой интеграл по этому спектру.

В заключение, хочется выразить искреннюю благодарность A.B. Латышеву и A.A. Юшканову за постановку задачи, постоянную поддержку и участие в обсуждении работы.