Математическое моделирование некоторых процессов получения элементов планера летательного аппарата

Разработка новых и совершенствование существующих технологических процессов в машиностроении связано с возрастанием требований к качеству, экономичности и эксплуатационной надежностью изготавливаемых изделий. Это несомненно касается деталей, обеспечивающих надежную работу летательных аппаратов. К таковым относятся силовой шпангоут, элементы различного типа трубопроводов и т. д. Данные детали работают в условиях сложного нагружения и испытывают высокие импульсные нагрузки. При разработке новых технологий основная роль принадлежит созданию математических моделей, в достаточной мере адекватно отражающих исследуемые процессы. Именно тогда появляется возможность выявить параметры, с помощью которых можно управлять протекающим процессом, а также определить конструктивные особенности для создания нового или модификации уже существующего устройства, выполняющего поставленную задачу.

Математические модели, адекватно описывающие деформацию конструкций, основаны на уравнениях механики деформируемого твердого тела, служащих для определения напряжений и деформаций, исходя из заданных внешних воздействий. От точности решения поставленной задачи зависит адекватность проводимого теоретического анализа изучаемому явлению.

Развитие методов решения задач механики деформируемого твердого тела идет двумя путями: получение точных решений и разработка приближенных методов.

Точное решение краевых задач по деформации тела произвольной формы связано со значительными математическими трудностями. Поэтому для получения точных аналитических решений приходится прибегать к тем или иным отступлениям, приводящим к упрощению задачи.

Разработка различных подходов к аналитическому решению определенных классов краевых задач для дифференциальных уравнений теории упругости принадлежат JI.A. Галину [1], А. И. Лурье [2, 3], С. П. Тимошенко [4], В. В. Новожилову [5], А. Ляву [6], Л. С. Лейбензону [7], Н. И. Мусхелишвили [8] и т. д.

В теории пластичности точные методы хорошо развиты применительно к решению задач, в которых система уравнений пластического течения принадлежит к гиперболическому типу — метод характеристик (метод линий скольжения).

Первые результаты по методам решения плоских задач были получены в работах Г. Генки [9, 10] и Л. Прандтля [11]. Дальнейшее развитие метод характеристик получил в трудах Д. Д. Ивлева и Г. И.

Быковцева [12, 13, 14), С. Г. Михлина [15, 16], В. Прагера и Ф. Ходжа [17, 18], В. В. Соколовского [19, 20], Р. Хилла [21], А. Д. Томленова [22], К. Н. Шевченко [23], А. Грина [24], Е. Ли и С. Топпера [25], Ш. Кобояши [26] и других ученых.

Более широкий круг задач охватывают приближенные методы, позволяющие во многих случаях избежать математических затруднений.

Из вариационных методов широко распространены методы, в основе которых лежат экстремальные принципы возможных перемещений Лагранжа и принцип Кастильяно (минимума дополнительной работы). Применительно к различным моделям деформируемых сред эти принципы получили развитие в работах Д. Д. Ивлева и Г. И. Быковцева [27], А. А. Ильюшина [28], В. Койтера [29], А. А. Маркова [30], Ю. Н. Работнова [31] и ДР.

Оба эти принципа вытекают из принципа виртуальной мощности [21], показывающего, что для любого статически допустимого поля напряжений и кинематически возможного поля скоростей справедливо соотношение, характеризующее закон сохранения энергии [30, 32, 33, 34].

При решении задач пластичности большое распространение получил вариационный принцип возможного изменения поля скоростей на действительном поле напряжений. Построенное на этом принципе вариационное уравнение преобразуют с учетом уравнений неразрывности и состояния деформируемой среды к функционалу, достигающему при определенных условиях минимума на истинных скоростях перемещений.

Точное решение построенного уравнения или определение минимума функционала связано с неменьшими математическими трудностями, чем точное решение системы дифференциальных уравнений пластического течения. Поэтому прибегают к приближенным методам [36, 37, 38].

На практике широкое распространение получил метод Ритца работы И. Я. Тарновского, А. А. Поздеева, B.JI. Колмогорова и др. [39, 40]. Суть его состоит в том, что приближенное решение задачи отыскивают в виде суммы ряда координатных функций, удовлетворяющие условию полноты и нулевым условиям на границе области течения и ряда функций, удовлетворяющих заданным условиям на поверхности. Построенные ряды подставляют в вариационное уравнение, из которого получают систему алгебраических уравнений, сложность решения которой определяется сложностью физической модели деформируемой среды и видом координатных функций.

При решении многих задач механики получил распространение метод локальных вариаций [41, 42]. Процедура метода состоит в последовательном улучшении положения узлов через которые проходит ломаная, удовлетворяющая дискретизированным условиям связи. Улучшение узлов осуществляется в результате поочередного варьирования каждой компоненты вектора фазовых координат. Такое локальное варьирование осуществляется для всех узлов ломанной. В результате к моменту окончания итерации получается новая ломаная, на которой функционал принимает значение не большее, чем на начальном приближении. Последующие итерации выполняются аналогично [43]. Применение данного подхода для решения задач пластичности вызывает значительные трудности, поскольку локальность вариаций имеет место только при условии минимизации полного функционала.

Метод конечных разностей (метод сеток) — численный метод, суть которого заключается в том, что на исследуемую область накладывается сетка, образованная семействами ортогональных линий, значения производных заменяются их приближениями через конечные разности, неизвестные функции определяются в узловых точках. В результате получается система линейных или нелинейных алгебраических уравнений, матрица которой имеет для всей области ленточную структуру [44, 45, 46, 47]. Широкое применение, в основном к задачам теории упругости, этот метод получил благодаря сравнительной простоте реализации на ЭВМ.

Метод прямых (дифференциально-разностный метод). Сущность метода состоит в аппроксимации операции дифференцирования по некоторым направлениям конечно-разностными выражениями, что позволяет понизить размерность задачи и заменить решение исходной системы дифференциальных уравнений с частными производными расчетом аппроксимирующей ее системы дифференциальных уравнений с меньшим числом независимых переменных [48].

При решении задач пластичности эти два метода не так широко применяются в виду сложности свойств деформируемой среды и необходимости удовлетворения условия несжимаемости.

Наиболее широкое применение при решении различного рода инженерных задач в настоящее время получил метод конечных элементов (МКЭ) и его различные варианты [49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56]. Название метода происходит от некоторых его вариантов решения задач строительной механики и теории упругости [57, 58], в которых он трактуется как метод разбиения упругого тела на отдельные элементы, определяемые ячейками сетки и взаимодействующим между собой в узлах сетки. Развитие МКЭ связано прежде всего со стремлением свести задачи механики континуальных систем к задачам стержневых систем. МКЭ сочетает в себе математические достоинства вариационных и проекционных методов с разреженностью матриц получаемых систем алгебраических уравнений, характерной для систем уравнений разностного типа и существенно облегчающей процесс нахождения решений таких систем.

Кроме того алгоритм МКЭ достаточно просто поддается програмной реализации на ЭВМ [59].

Однако несмотря на указанные достоинства, пакеты прикладных программ, основанные на МКЭ не всегда способны удовлетворить потребности исследователя. Так, например, в своей работе [60] B.JI. Колмогоров отмечает, что положительный имидж пакетов МКЭ создан за счет описания кинематики течения материалов, хорошо соответствующей физической картине течения. Однако в плане рассчета напряжений результаты, с точки зрения точности могут не удовлетворять уравнениям динамики и граничным условиям в напряжениях, и как следствие неадекватно отражают физическую картину явлений.

В данной работе используется метод разработанный В. И. Одиноковым [61, 62] для решения задач упругости и пластичности в случае когда геометрия деформируемого тела может быть описана системой ортогональных поверхностей. Преимуществом данного метода является простота и алгоритмичность, а так же единство подхода к решению различных классов задач. При этом одновременно определяются с одинаковой точностью поля напряжений и скоростей перемещений в рассматриваемой области, в зависимости от заданных статических и кинематических граничных условий.

Целью работы является построение математических моделей процессов изготовления элементов силового шпангоута, составных элементов трубопроводов планера летательного аппарата, исследование указанных процессов с помощью разработанных моделей и выработка рекомендаций по оптимизации процессов изготовления этих деталей.

Заключение

.

1. На основе численного метода решения дифференциальных уравнений теории пластического течения разработана численная схема решения широкого класса задач по деформированию тел пространственной формы, имеющих приложения в вопросах связанных с исследованием технологических процессов в машиностроении.

2. По разработанной численной схеме построен алгоритм решения пространственных задач, с помощью математического эксперимента проведено исследование сходимости численной схемы, показавшее высокую эффективность и устойчивость процесса решения.

3. Разработана численная схема и построен алгоритм решения осесимметричной задачи по упругопластическому деформированию тел. Исследована сходимость численной схемы с помощью математического эксперимента.

4. Продемонстрирована эффективность разработанных численных схем при исследовании сложных процессов по пластическому деформированию металлических тел.

5. Проведено исследование процесса получения муфты термомеханического соединения. С этой целью построена математическая модель процесса формоизменения стальной трубной заготовки в средней ее части под действием внутреннего наполнителя. Решена задача в аналогичной постановке о деформировании двух трубных заготовок, вложенных одна в другую. На основе анализа полученных результатов по решению выше указанных задач делается вывод о необходимости создания противодавления со стороны внешней поверхности деформируемой заготовки. С этой целью построена математическая модель процесса раздачи трубной заготовки в средней части с внешним подпором.

6. По разработанной численной схеме решения пространственных задач построена математическая модель и проведено исследование процесса изготовления полотна силового шпангоута летательного аппарата. Полученные в ходе решения задачи результаты позволили провести анализ напряженно-деформированного состояния и определить параметры данного технологического процесса.