Математическое моделирование процессов формирования температурного поля в экранированном полупространстве

Решение многих задач современной инженерной практики связано с необходимостью исследования и прогнозирования теплового состояния конструкций, а также разработки методов их тепловой защиты. В настоящее время одним из наиболее эффективных способов теплозащиты является нанесение на основную конструкцию слоя теплоизоляционного материала, служащего для снижения кондуктивно-го, конвективного и радиационного теплообменов на ней [1−6]. Классификацию теплоизоляций проводят с использованием различных принципов [3, 7−9], а их сравнительный анализ — по «эффективным тепло-физическим характеристикам теплозащитного слоя» [3, 10, 11], что позволяет использовать методы математического моделирования при расчете и оптимизации покрытия. В частности [3], основной характеристикой покрытия на установившейся стадии его теплообмена с высокотемпературной окружающей средой является термическое сопротивление Rt = //Ап, где I — толщина, а Ап — коэффициент теплопроводности теплоизоляционного слоя.

В рамках данного направления можно выделить класс задач, в которых сочетание теплофизических свойств материалов, геометрических размеров конструкций и интересующее исследователя время протекания процесса теплопереноса таково, что тепловыми эффектами на границе, не подверженной внешнему высокотемпературному воздействию, можно пренебречь [12]. Это означает, что толщина теплового слоя (т.е. поверхностного слоя, в котором происходит резкое изменение температуры и в котором сосредоточено основное количество теплоты, поглощенной в данный момент времени) мала по сравнению с размерами теплоизолируемого тела. В этом случае теплоизолируемое тело можно моделировать полуограниченной областью, что позволяет получить более наглядные и удобные с точки зрения практического использования представления решений задач теплопроводности [15, 68].

Задачами рассматриваемого класса являются задачи математической теории теплопроводности для двухслойной области, моделируемой полупространством с покрытием конечной толщины, на границе которой реализуется заданный режим теплового воздействия. При этом, как правило, предполагается наличие идеального теплового контакта между слоями области, т. е. между полупространством и покрытием реализуется граничное условие четвертого рода, и рассматриваются три основных режима внешнего теплового воздействия: нагрев температурой (граничное условие первого рода) — нагрев тепловым потоком (граничное условие второго рода) — нагрев средой (граничное условие третьего рода).

При изучении реальных процессов методами математического моделирования предпочтительно иметь аналитические или приближенные аналитические решения соответствующих математических задач, которые значительно упрощают не только процедуру параметрического анализа, но и решение задач оптимизации [13, 14, 3]. Кроме того, при практическом использовании аналитические представления требуют существенно меньших вычислительных затрат и необходимы для тестировании вновь создаваемых программных комплексов.

В настоящее время известны аналитические решения задач теплопроводности для двухслойной области (полупространство с покрытием) при реализации первых двух режимов теплового воздействия на ее границе: при нагреве температурой [15] и при нагреве тепловым потоком [15, 68]. Предпринимаются попытки нахождения аналитического решения задачи теплопроводности для двухслойной области (полупространство с покрытием) при реализации на ее границе третьего режима теплового воздействия — нагрева средой. Так, в работе [17] для достижения этой цели использован метод тепловых потенциаловисходная задача сведена к интегральному уравнению Вольтерра второго рода, но его решение проведено численно с использованием специальных квадратурных формул.

Существует широкий класс практически важных инженерных задач, в которых коэффициент теплообмена приходится рассматривать как функцию времени: формирование пограничного слоя в условиях нестационарного обтекания твердых поверхностей охлаждающей жидкостью, нагреве тел переменным во времени потоком, при движении баллистического тела в среде с переменной температурой и плотностью, в процессах диффузии при переменной температуре и др. [14]. Использование классических методов математической физики для получения аналитических представлений их решений связано с преодолением трудностей принципиального характера [13].

На практике используются различные подходы, позволяющие найти точные (в виде функционального ряда) или приближенные решения задач математической теории теплопроводности для пластины, цилиндра, шара и полуограниченного стержня при произвольном законе изменения коэффициента теплоотдачи во времени или при его частных зависимостях (экспоненциальной, степенной, периодической) [18−62]. Для нахождения приближенных решений чаще всего используют метод Кармана-Польгаузена из теории гидродинамики пограничного слоя [29], метод осреднений функциональных поправок [18], метод сведения уравнения теплопроводности к интегральному уравнению Фредгольма второго рода и далее к системе обыкновенных дифференциальных уравнений [46], метод неопределенных коэффициентов [26]. Следует заметить, что применение этих приближенных методов не намного облегчает практическое использование найденных решений, достаточно громоздких и требующих применения высокопроизводительной вычислительной техники.

Наиболее распространенными аналитическими методами решения рассматриваемых задач являются методы тепловых потенциалов, интегральных преобразований и функций Грина [13, 63−65, 14, 58].

Среди всего многообразия возможных временных законов изменения коэффициента теплообмена можно выделить случай кусочнопостоянной зависимости. сгтот случаи имеет место при моделировании высокотемпературных воздействий, сопровождающихся термодеструкцией поверхностных слоев твердого тела (слоя термоизоляционного материала) [1−3], когда продолжительность переходного процесса при изменении режима внешнего воздействия мала по сравнению с длительностью воздействия. В ряде случаев при помощи кусочно-постоянной зависимости можно аппроксимировать нелинейные законы изменения коэффициента теплообмена с целью получения приближенных аналитических решений. Реализация таких (называемых импульсными) режимов внешнего теплового воздействия приводит не только к улучшению или ухудшению условий теплообмена с окружающей средой, но и к специфическим особенностям эволюции температурного профиля, представляющим практический интерес.

Изучение процессов горения в твердотопливных ракетных двигателях, абляции, эрозии электрических контактов, лазерного воздействия на твердые тела и др., связанных с изменением размеров твердого тела, приводит к так называемым задачам с подвижными границами. Несмотря на кажущуюся простоту математических моделей этих процессов, соответствующие задачи являются далеко не тривиальными с точки зрения нахождения их точного аналитического решения даже в тех случаях, когда закон движения границы известен. С математической точки зрения это означает, что область, в которой ставится краевая задача для уравнения теплопроводности, не является цилиндрической. Краевые задачи такого рода (называемые обобщенными) принципиально отличны от классических и составляют новый раздел теории теплопроводности [13]. Вследствие зависимости положения границы области теплопереноса от времени к такому классу задач в общем случае также не применимы методы разделения переменных Фурье и интегральных преобразований [63], поскольку, оставаясь в рамках классических методов математической физики, не удается согласовать решение уравнения теплопроводности с движением границы области теплопереноса.

Необходимо отметить, что в большинстве случаев точные решения задач такого типа удавалось получить при помощи удачных догадок и искусственных приемов, причем для весьма ограниченного числа случаев движения границы (линейного и параболического) и для очень частного вида граничных условий. Прогресс в этой области связан с использованием специального функционального преобразования, с помощью которого обобщенная краевая задача формулировалась в подвижной системе координат.

Метод, основанный на использовании функциональных преобразований, позволящих формулировать исходную краевую задачу в подвижной системе координат, является мощным инструментом в случае, когда закон движения границы области теплопереноса известен. Тем не менее в условиях теплообмена с внешней средой по закону Ньютона (граничное условие третьего рода), использование этого подхода приводит к тому, что в преобразованной задаче коэффициент теплоотдачи оказывается функцией времени [21, 33, 30, 29, 39]. Возникающие в этом случае трудности, а также способы их преодоления описаны выше.

Кроме того, существуют специфические методы для получения аналитических решений задач в областях с подвижными границами: метод обобщенных рядов, метод дифференциальных рядов, метод обобщенных интегральных преобразований [14]. Эти методы позволяют получить точные аналитические решения краевых задач теплопереноса лишь для небольшого числа частных зависимостей коэффициента теплоотдачи от времени и частных законов движения границы. Расширение класса такого рода зависимостей представляет собой одну из открытых проблем математической теории теплопроводности.

При изучении процессов нестационарного теплопереноса, особенно в случае подвижных границ, когда не удается получить аналитическое представление решения соответствующей краевой задачи, целесообразно привлечение общих методов математического моделирования. Одним из существенных этапов последнего является построение иерархии математических моделей изучаемого процесса и определение условий их применимости [66, 67]. Использование упрощенных моделей, допускающих точное аналитическое решение соответствующей задачи, позволяет выявить основные особенности изучаемого процесса и провести качественный анализ влияния определяющих параметров. Кроме того, при получении количественных результатов выбор адекватной модели часто помогает существенно сократить вычислительные затраты.

Важное место в математической теории теплопроводности занимают исследования процессов формирования температурных полей в области, моделируемой полупространством, при воздействии концентрированных и пространственно распределенных тепловых потоков [68, 15, 13, 69]. Особый интерес эти исследования представляют в задачах прогнозирования температурного состояния конструкции при воздействии лазерного излучения [16, 70−73] и при разработке эффективных методов тепловой защиты [1−3, 74, 75].

Математическому моделированию процесса формирования температурного поля в полупространстве при воздействии пространственно распределенного осесимметричного потока с интенсивностью гаус-совского типа посвящены работы [16, 70, 76, 77], а при воздействии концентрированных тепловых потоков — работы [77, 78−88]. В [89, 90] и [91] соответственно исследовано влияние теплоотдачи со свободной поверхности на формируемое температурное поле полупространства при воздействии пространственно распределенного и концентрированного тепловых потоков. С точки зрения тепловой защиты представляют интерес задачи, связанные с исследованием температурных полей в полупространстве с покрытием в условиях реализации различных режимов теплового нагрева и охлаждении внешней средой.

В последние годы особое внимание уделяется также проблеме формирования температурных полей в анизотропных твердых телах при различных режимах внешнего теплового воздействия [92−98].

Цель и задачи исследования

Цель проведенных исследований — изучение характерных особенностей процесса формирования температурного поля в экранированном полупространстве при реализации различных режимов высокотемпературного нагрева внешней средой и известных законах движения его границы.

Для достижения поставленной цели потребовалось решение следующих основных задач.

1. Получение аналитических представлений решения задачи об определении температурного поля изотропного полупространства с теплозащитным покрытием при наличии идеального теплового контакта между ними и теплообменом с внешней средой по закону Ньютона с постоянным коэффициентом теплоотдачи.

2. Проведение параметрического анализа процесса формирования температурного поля в изучаемой системе с целью установления его характерных особенностей.

3. Разработка иерархии математических моделей для описания процесса формирования температурного поля в изотропном полупространстве с покрытием и определение области возможного применения для каждой из этих моделей.

4. Математическая постановка задачи об определении температурного поля изотропного полупространства с «термически тонким» покрытием в импульсных режимах теплообмена с внешней средой и разработка аналитического метода ее решения, позволяющего проводить параметрический анализ изучаемого процесса.

5. Разработка аналитических и численно-аналитических методов исследования процесса формирования температурного поля экранированного полупространства с подвижной границей в нестационарных условиях теплообмена с внешней средой.

6. Проведение параметрического анализа установившейся температуры наиболее нагретой точки изотропного полупространства с покрытием, находящегося под воздействием внешней среды и осесим-метричного теплового потока с интенсивностью гауссовского типа, функционирующего в импульсно периодическом режиме.

Методы исследования. Для решения задач, возникших в ходе выполнения диссертационной работы, использовались различные классы математических методов: методы математической физики и математической теории теплопроводностиметоды интегральных преобразований и теории функций комплексного переменногометоды теории обыкновенных дифференциальных уравнений, функционального и матричного анализачисленные методы решения и анализа интегральных уравнений.

Достоверность и обоснованность полученных результатов гарантируется строгостью используемого математического аппарата и подтверждается сравнением результатов, полученных с использованием различных методов и вычислительных экспериментов. Сформулированные в работе допущения обоснованы как путем их содержательного анализа, так и методами математического моделирования. Результаты диссертационной работы согласуются с результатами, полученными ранее другими авторами и другими методами в частных и предельных случаях.

Научная новизна. Разработана иерархия математических моделей для описания процесса формирования температурного поля в экранированном полупространстве при высокотемпературном нагреве внешней средой и определены достаточные условия применимости каждой из них.

В аналитически замкнутом виде найдены и теоретически обоснованы решения смешанных задач для уравнений в частных производных параболического типа и их систем, соответствующих разработанным математическим моделям иерархии, и с их использованием исследовано влияние определяющих параметров на процесс формирования изучаемого температурного поля.

С использованием разработанной иерархии моделей, а также предложенных аналитических и численных методов их реализации исследованы специфические особенности процессов формирования температурного поля полупространства с теплозащитным покрытием при различных режимах высокотемпературного нагрева внешней средой как при фиксированном положении его границы, так и при ее движении по заданному закону. Доказана теоретическая возможность реализации режимов термостатирования подвижной границы.

Определено множество допустимых значений вектора определяющих параметров рассматриваемой системы «полупространство — теплозащитное покрытие», находящейся под воздействием внешней среды и осесимметричного теплового потока с интенсивностью гауссовс-кого типа, функционирующего в импульсно периодическом режиме, при которых установившаяся температура наиболее нагретой точки полупространства не превосходит заданного значения.

Практическая ценность. Результаты диссертационной работы могут быть использованы для исследования и прогнозирования теплового состояния конструкций при реализации различных режимов высокотемпературного нагрева внешней средой, необходимых для разработки эффективных методов теплозащиты.

На защиту выносятся следующие положения:

— аналитические представления решения задачи об определении температурного поля полупространства с покрытием при наличии идеального теплового контакта между ними и теплообменом с внешней средой по закону Ньютона с постоянным коэффициентом теплоотдачи;

— иерархия математических моделей для описания процесса формирования температурного поля в полупространстве с теплозащитным покрытием;

— аналитический метод и результаты исследования особенностей процесса формирования температурного поля в полупространстве с термически тонким покрытием в импульсных режимах теплообмена с внешней средой, приводящих к кусочно-постоянным зависимостям коэффициента теплоотдачи от времени;

— методы и результаты исследования влияния подвижности границы на температурное поле экранированного полупространства;

— результаты параметрического анализа полученного решения задачи об определении установившейся температуры наиболее нагретой точки экранированного полупространства, находящегося под воздействием внешней среды и осесимметричного теплового потока с интенсивностью гауссовского типа, функционирующего в импульсно периодическом режиме, а также достаточные условия непревышения этой температурой заданного значения.

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались в МГТУ им. Н. Э. Баумана на Всероссийской конференции «Прикладные проблемы механики ракетно-космических систем», посвященной 40-летию со дня основания кафедры «Аэрокосмические системы» (декабрь 2000 г.) и на Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике» (январь 2001 г.) — в Санкт-Петербургском государственном техническом университете на XIII Школе-семинаре молодых ученых и специалистов под руководством академика РАН А. И. Леонтьева «Физические основы экспериментального и математического моделирования процессов газодинамики и тепломассопереноса в энергетических установках» (май 2001 г.).

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 5-ти научных статьях [99, 100, 62, 101, 102] и 2-х тезисах докладов [103, 104].

Личный вклад соискателя. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю, заимствованный материал обозначен в работе ссылками.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Диссертация изложена на 152 страницах, содержит 18 иллюстраций и 1 таблицу. Библиография включает 138 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

По результатам проведенных исследований могут быть сделаны следующие выводы.

1. Аналитические представления решения задачи об определении температурного поля экранированного полупространства, полученные при выполнении диссертационной работы с использованием «точной модели», позволяют проводить параметрический анализ изучаемого процесса.

2. Характерные особенности процесса формирования температурного поля в системе «полупространство-покрытие» значимо зависят от параметра Я, увеличение значения которого ассоциируется со снижением интенсивности теплообмена между высокотемпературной внешней средой и термоизолируемой областью.

3. Специфика асимптотического поведения температуры на границе экранированного полупространства полностью определяется значением критерия Био и отношением коэффициентов теплопроводности материалов покрытия и полупространства.

4. Разработанная иерархия математических моделей для описания процесса формирования температурного поля экранированного полупространства, находящегося под воздействием высокотемпературной внешней среды, позволяет корректно и эффективно решать практически важные задачи.

5. Для нахождения решения задачи об определении эволюции температуры границы полупространства с «термически тонким» покрытием при реализации импульсных режимов теплообмена с внешней средой целесообразно использование аналитического метода, разработанного в ходе проведения настоящих исследований и позволяющего корректно и эффективно решать практически важные задачи.

6. Улучшение условий теплообмена с внешней средой сопровождается резким возрастанием температуры на границе экранированного полупространства, а их ухудшение — образованием зоны релаксации, длительность которой определяется как продолжительностью предыдущей фазы, так и модулем приращения коэффициента теплоотдачи.

7. Асимптотика температуры границы экранированного полупространства не зависит от реализуемого импульсного режима теплообмена с высокотемпературной внешней средой и определяется лишь значением коэффициента теплообмена его последней фазы.

8. На основании результатов параметрического анализа аналитических представлений решений соответствующих задач математической теории теплопроводности, полученных при выполнении диссертационной работы, и проведенных вычислительных экспериментов можно утверждать, что а) при образовании на границе изотропного полупространства покрытия пленочного типа и ее перемещении с постоянной скоростью Vo увеличение скорости Vo приводит к снижению асимптотического значения температуры в каждой точке полупространства и к сокращению времени протекания релаксационных процессовб) характер влияния определяющих параметров модели на температурное поле изотропного полупространства при наличии на его границе, движущейся с постоянной скоростью Vo, покрытия пленочного типа не зависит от Voв) теоретически возможна реализация режимов термостатиро-вания движущейся границы изотропного полупространстваг) управление температурным полем полупространства с границей, движущейся по заданному закону, может быть реализовано путем программного регулирования условий теплообмена с внешней средой.

9. Установившаяся температура наиболее нагретой точки экранированного полупространства, охлаждаемого внешней средой и находящегося под воздействием осесимметричного импульсно периодического теплового потока с интенсивностью гауссовского типа, монотонно зависит от определяющих параметров рассматриваемой системы. Выполнение достаточных условий, сформулированных в ходе выполнения диссертационной работы, гарантирует непревышение этой температурой наперед заданного порогового значения.