Интерполяционные шкалы банаховых пространств

Метод шкал банаховых пространств, основы которого были заложены в работах С. Г. Крейна [20, 21], является одним из вариантов развития интерполяционной теории. Правильные шкалы были исследованы в работе С. Г. Крейна и Ю. И. Петунина [22]. Подробно их свойства изложены в [23]. Метод шкал тесно связан с вещественным методом интерполяции [14]. Отметим также интересную теорему Вольфа [43] о четырёх пространствах, примыкающую к теореме о реитерации для пространств Лионса-Петре.

Метод вещественной интерполяции, имеющий своим истоком фундаментальную теорему Марцинкевича, введён Лионсом и Петре в [38], [39]. Этот метод описывается функтором, зависящим от двух параметров. В работах В. И. Дмитриева и В. И. Овчинникова [18], Ю. А. Брудного и Н. Я. Кругляка [35] построена общая теория пространств вещественного метода. Обобщённые пространства Лоренца и Марцинкевича впервые возникли в работе A.A. Дмитриева [16]. В дальнейшем некоторые задачи анализа привели к необходимости увеличения числа параметров. Впервые функтор многопараметрической интерполяции появился в работе Е.Д. Нурсултано-ва [26], одним из центральных результатов которой была теорема о реитерации для многопараметрических пространств. В 1999 году В. И. Овчинников и А. С. Титенков [41] построили пространства с бесконечным множеством параметров. Для этого им пришлось модифицировать норму в классических пространствах Лионса-Петре.

Эти соображения и послужили отправной точкой для данной работы.

Работа состоит из двенадцати параграфов, которые объединены в три главы. В первой главе даются основные определения и изучаются свойства интерполяционных шкал Ха, где 0 < а < 1. Как показано в параграфе 1.2 они являются правильными шкалами. В этом же параграфе приведён пример шкалы, внутри которой не выполняется интерполяционное свойство. Следующие параграфы посвящены доказательству того, что для произвольных шкал интерполяционное свойство всё же имеет место внутри шкалы, если исходная пара как-то связана с весовыми пространствами Ьр. Из этого результата в свою очередь вытекает классическая теорема Арази-Цвикеля об описании интерполяционных пространств между Ьр и Ьд (см. [33]), которая долгое время выглядела обособленным результатом.

Во второй главе вводится понятие свёртки двух интерполяционных функторов и показана корректность такого определения. Основными результатами этой главы являются теорема двойственности для свёртки и теорема о месте свёртки в шкале. В параграфе 2.3 как пример рассматривается свёртка двух функторов Лионса-Петре с одинаковыми вторыми индексами. При этом норму в пространствах Лионса-Петре снова приходится модифицировать.

В третьей главе рассматриваются пространства Лоренца и Мар-цинкевича с бесконечным множеством параметров. Параграфы 3.1 и 3.2 посвящены определениям и сравнительному анализу этих пространств. В параграфе 3.3 общее определение пространств с бесконечным множеством параметров проиллюстрировано на примере двумерного случая. Результаты первых трёх параграфов третьей главы аналогичны результатам из [41], но отличаются от них тем, что при использовании обобщённых пространств Лоренца рассматривается иная норма. Далее приводится теорема двойственности для рассматриваемых пространств. Последний параграф посвящён обобщению пространств Лионса-Петре с бесконечным множеством параметров на случай функциональных параметров.

Заметим, что нумерация параграфов в работе двойная, где, как обычно, сначала указывается номер главы, затем номер параграфа. Внутри каждого параграфа все определения, теоремы и т. п. нумеруются заново и получают тройную нумерацию: номер главы, номер параграфа, номер теоремы и т. п. Формулы имеют такую же тройную нумерацию.

1. Айзенштейн М. Х. Вычислимые интерполяционные функторы / М. Х. Айзенштейн, Ю. А. Брудный // Исслед. по теории функций многих вещественных переменных — Ярославль, 1986 — С. 12−36.

2. Асташкин C.B. Описание интерполяционных пространств межДУ {h (oJQ), h{uJ1)) и (/оо (^0),/оо (а-1)). / C.B. Асташкин // Мат. заметки, — 1984. Т. 35, Вып. 4. С. 497−503.

3. Асташкин C.B. Об устойчивых интерполяционных функторах / C.B. Асташкин // Функц. анализ и его нрил 1985 — Т. 19, Вып. 2, — С. 63−64.

4. Берг Й. Интерполяционные пространства.

Введение

/ И. Берг, Й. Лёфстрём. М.: Мир, 1980. 264 с.

5. Быков Ю. Н. Теорема двойственности для пространств Лионса-Петре с бесконечным числом параметров / Ю. Н. Быков // Труды математического факультета В ГУ.- Воронеж, 2004. №- 8 (новая серия).- С. 13−18.

6. Быков Ю. Н. О пространствах с бесконечным числом параметров / Ю. Н. Быков, В. И. Овчинников, A.C. Титенков // Трудыматематического факультета ВГУ.- Воронеж, 2001; №- 6 (новая серия).- С. 8−25.

7. Быков Ю. Н. Двумерные многопараметрические пространства Лоренца и Марцинкевича / Ю. Н. Быков // Воронежская зимняя математическая школа (ВЗМШ 2001). Тезисы докладов.-Воронеж, 2001. С. 46.

8. Быков Ю. Н. Теорема двойственности для пространств Лионса-Петре с бесконечным числом параметров / Ю. Н. Быков // Воронежская зимняя математическая школа (ВЗМШ 2004). Тезисы докладов. — Воронеж, 2004 — С. 30.

9. Быков Ю. Н. Описание единичных шаров в двумерных многопараметрических пространствах Лоренца и Марцинкевича / Ю. Н. Быков // Сборник статей аспирантов и студентов математического факультета ВГУВоронеж, 2000 С. 4−8.

10. Быков Ю. Н. О фрактальных пространствах вещественного метода интерполяции / Ю. Н. Быков // Научная конференция «Современные проблемы функционального анализа «. Тезисы докладов Воронеж, 2003 — С. 60−61.

11. Быков Ю. Н. О пространствах с бесконечным числом функциональных параметров / Ю. Н. Быков // «Труды молодых ученых физико-математического факультета». Межвузовский сборник трудов Курск, 2001; С. 30−37.

12. Быков Ю. Н. Об интерполяционных свойствах шкал банаховых пространств / Ю. Н. Быков, В. И. Овчинников // Материалы Воронежской весенней математической школы (дополнительный выпуск).- Воронеж, 2005; С. 4.

13. Быков Ю. Н. О свёртке двух интерполяционных функторов / Ю. Н. Быков // Труды Математического центра имени Н. И. Лобачевского. Материалы Седьмой Казанской летней школы-конференцииКазань, 2005 Т. 30 — С. 26−27.

14. Водопьянов В. В. О связи минимальных шкал и i^-метода интерполяции / В. В. Водопьянов // Мат. заметки 1981; Т. 30, Вып. 5. С. 679−684.

15. ДанфордН. Линейные операторы. Общая теория / Н. Данфорд, Дж. Шварц М.: ИЛ, 1962. 563 с.

16. Дмитриев A.A. Об интерполяции одномерных операторов / A.A. Дмитриев // Тр. НИИ Мат Воронеж, ун-та 1973 — Выи. 11 — С. 31−43.

17. Дмитриев В. И. Основы теории интерполяции линейных операторов /В.И. Дмитриев, С. Г. Крейн, В. И. Овчинников // Геометрия линейных пространств и теория операторов Ярославль, 1977 — С. 31−74.

18. Дмитриев В. И. Об интерполяции в пространствах вещественного метода / В. И. Дмитриев, В. И. Овчинников // Докл. АН СССР.- 1979. Т. 246, Вып. 4. С. 794−797.

19. Канторович JI.B. Функциональный анализ / Л. В. Канторович, Г. П. Акилов М: Наука, 1977.

20. Крейн С. Г. Об одной интерполяционной теореме в теории операторов / С. Г. Крейн // Докл. АН СССР.- I960 Т. 130, Вып. 3 — С. 491−494.

21. Крейн С. Г. О понятии нормальной шкалы пространств / С. Г. Крейн // Докл. АН СССРI960. Т. 132, Вып. 3. С. 510 513.

22. Крейн С. Г. О нонятии минимальной шкалы пространств / С. Г. Крейн, Ю. И. Петунии // Докл. АН СССР- 1964, — Т. 154, Вып. 1, — С. 30−33.

23. Крейн С. Г. Шкалы банаховых пространств / С. Г. Крейн, Ю. И. Петунии // Успехи математических наук- 1966 Т. 21, Вып. 2, — С. 89−168.

24. Крейн С. Г. Интерполяция линейных операторов / С. Г. Крейн, Ю. И. Петунии, Е. М. Семёнов.- М.: Наука, 1978. 400 с.

25. Митягин Б. С. Интерполяционная теорема для модулярных пространств / B.C. Митягин // Математический сборник 1965. -Т. 66. С. 473−482.

26. Нурсултанов Е. Д. Многопараметрические интерполяционные функторы и пространства Лоренца LPjq, q = (gi,., qn) / Е. Д. Нурсултанов // Функциональный анализ и его приложения.- 1997. Т.31, Вып. 2 С. 79−82.

27. Овчинников В. И. Об описании интерполяционных орбит / В. И. Овчинников // Функц. анализ и его прил 1979 — Т. 13, Вып. 4. С. 85−86.

28. Овчинников В. И. Об оценках интерполяционных орбит / В. И. Овчинников // Мат. сб.- 1981. Т. 115, Вып. 4- С. 642 652.

29. Овчинников В. И. Об одной гипотезе для комплексного метода интерполяции / В. И. Овчинников // «Труды молодых учёных физико-математического факультета». Межвузовский сборник трудов Курск, 2001; С. 5−9.

30. Семёнов Е. М. Об одной шкале пространств с интерполяционным свойством / Е. М. Семёнов // Доклады АН СССР 1963;Т.148 — С. 1038−1041.

31. Турищева Д. Н. О модификации нормы в пространствах Лионса-Петре / Д. Н. Турищева // «Труды молодых учёных физико-математического факультета». Межвузовский сборник трудов, — Курск, 2001, — С. 49−51.

32. Хёрмандер Л. Оценки для операторов, инвариантных относительно сдвига / Л. Хёрмандер М.: ИЛ, 1962.

33. Arazy Y. On the description of interpolation spaces between Lp and Lq / Y. Arazy, M. Cwikel // Ark. Mat.- 1984. Vol. 55. P. 253−270.

34. Aronszajn N. Interpolation Spaces and Interpolation Methods / N. Aronszajn, E. Gagliardo // Ann.Mat. Рига Appl 1965 — Vol. 68. P. 51−117.

35. Brudnyi Ju.A. Interpolation spaces and interpolation functors. / Ju.A. Brudnyi, N. Krugliak. Amsterdam: North Holland, 1991.

36. Cwikel M. Monotonicity properties of interpolation spaces, II / M. Cwikel // Ark. Mat.- 1981. Vol. 19. N. 1. P. 123−136.

37. Janson S. Minimal and maximal methods in interpolation / S. Janson // J. Functional Analysis 1981; Vol. 44 — P 50−73.

38. Lions J.-L. Sur une classe d’espaces d’interpolation / J.-L. Lions, J. Peetre // Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math.- 1964 Vol. 19-P. 5−68.

39. Ovchinnikov V.I. The Method of Orbits in Interpolation Theory / V.I. Ovchinnikov // Mathematical Reports. Vol. 1. Part 2. Chur: -Paris-London-New York: Harwood Acad. Pbl., 1984, — P. 167.

40. Ovchinnikov V.I. Pure scales of Banach spaces / V.I. Ovchinnikov, A.S. Titenkov // Международная конференция по анализу и геометрии, посвящённая 70-летию Ю. Г. Решетняка. Тезисы докладов Новосибирск, 1999 — С. 86−87.

41. Sparr G. Interpolation of weighted Lv spaccs / G. Sparr // Studia Math.- 1978. Vol. 62, — P. 229−271.

42. Wolff Т.Н. A note on interpolation spaces. / Т.Н. Wolff 11 Lect. Notes Math.- 1982. Vol. 908. P. 199−204.