Нелинейные модели оптимизации и их конечномерные аппроксимации для эллиптических уравнений с управлениями в коэффициентах

Актуальность темы

исследования. В настоящее время математическое моделирование становится неотъемлемой частью сколь-нибудь крупных научно-технических проектов и разработок. Широкое и повсеместное внедрение методов математического моделирования, вычислительного эксперимента в большой степени определяет научно-технический прогресс сегодня. Вычислительный эксперимент предназначен для исследования, прогнозирования и оптимизации сложных многопараметрических процессов. Он частично или полностью заменяет натурное экспериментирование, которое в ряде случаев затруднено пли даже невозможно, позволяет в несколько раз уменьшить сроки и стоимость разработок. Сущность вычислительного эксперимента кратко выражает триада «модель-алгоритм-программа» [165]. Математическая модель выделяет наиболее существенные связи исследуемого объекта, дает возможность получить точные количественные характеристики. Универсальность математических моделей позволяет легко переходить к исследованию новых явлений и процессов. Для изучения математических моделей используются численные методы — мощный аппарат вычислительной математики. Современные вычислительные алгоритмы позволяют на базе ЭВМ получить приближенное решение очень сложных задач с требуемой точностью за приемлемое время. Анализ расчетов, уточнение модели по результатам ее калибровки с данными натурных экспериментов являются необходимыми составными частями вычислительного эксперимента.

В последние десятилетия весьма актуальными стали вопросы наилучшего (в том или ином смысле) управления различными процессами физики, техники, экономики и др. на базе математического моделирования процессов. Неформальная постановка задач оптимального управления такова. Имеется некоторая система (объект управления, управляемая система), поведение которой характеризуется двумя видами параметров — состояния и управления. Требуется выбрать параметры управления таким образом, чтобы поведение систвхмы было в некотором смысле наилучшим. Формальные математические постановки задач оптимального управления чаще всего формируются с использованием интегро-диффереициального исчисления, записываются с помощью дифференциальных, интегральных или интегро-днфференциальных уравнений и являются существенным обобщением задач вариационного исчисления.

Из обширной литературы, посвященной различным аспектам современной теории оптимального управления, ее приложений, постановкам различных прикладных задач оптимального управления, связанных с оптимизацией самых разнообразных процессов в различных отраслях науки и техники, упомянем [2]-[11], [15] [17] - [19], [21], [23], [26], [32], [34], [36], [37], [39]-[41], [45], [47], [68], [71], [72], [76], [79], [80], [84], [86], [87], [89], [90], [122], [131] - [135], [137], [138], [141], [143] - [145], [146], [150], [181] - [187], [189], [190].

Математические модели оптимизации процессов в подавляющем большинстве не поддаются аналитическому исследованию и требуют применения численных методов и современных ЭВМ (аналитическое решение задач оптимального управления даже на основе известных методов исследования задач оптимального управления, вошедших в золотой фонд теории оптимального управления, возможно лишь в крайне простых случаях, которые слишком далеки от запросов современной практики). В настоящее время задачи оптимизации для систем обыкновенных дифференциальных уравнений сравнительно хорошо изучены, а методы их решения достаточно хорошо известны. Что касается задач оптимального управления системами с распределенными параметрами, то опыт численного решения таких задач еще невелик. Математические модели оптимизации для систем с распределенными параметрами (описываемых уравнениями математической физики (УМФ)) — это наиболее сложный класс задач в оптимизации, особенно для нелинейных задач оптимальног управления, что является главной причиной, почему в настоящее время все большее внимание уделяется в научной литературе развитию численных методов оптимального управления и использованию вычислительной техники.

Под «нелинейными задачами оптимизации «для УМФ мы понимаем такие, в которых отображение д —» и (д) из множества допустимых управлений ?/ в пространство состояний является нелинейным. Характер конкретных постановок задач оптимального управления для распределенных систем существенно зависит от того, куда входят управления: в свободные члены уравнений состояния или в коэффициенты уравнений, а также линейными или нелинейными УМФ описываются состояния систем управления. В настоящее время наиболее полно исследован случай линейных моделей оптимального управления, когда функция состояния линейно зависит от управления, т. е. когда управления достаточно простым образом входят в линейные уравнения состояния и линейные предельные условия (в правые части линейных уравнений и/или слагаемыми в линейные краевые условия) и наиболее мало изучены нелинейные задачи оптимального управления (особенно, когда нелинейность вызвана вхождением управлений в коэффициенты уравнений состояний, в том числе в коэффициенты при старших производных), хотя развитие теории и методов их решения вызвано потребностями математического моделирования, большой прикладной важностью таких задач при оптимизации процессов теплофизики, диффузии, фильтрации, теории упругости и др., а также при решении обратных задач для УМФ, рассматриваемых в вариационной постановке. Линейные задачи оптимального управления (в частности, задачи управления теплои массообменными и диффузионными процессами) достаточно полно изучены в работах А. Г. Бутковского (см. [17] — [19]), А. И. Егорова (см. [41]), Ж.-Л. Лионса (см. [86], [88], [89]), В. И. Плотникова (см. [146], [147]), их учеников и многих других. Интенсификация многих технологических процессов, где доминирующими являются процессы передачи тепла, диффузии, фильтрации и т. д., приводят к необходимости учета нелинейных эффектов при моделировании процессов и построении моделей оптимизации для нелинейных задач управления. Следует также отметить, что математическое моделирование с использованием ЭВМ в большинстве случаях является практически единственным средством исследования сложных нелинейных оптимальных процессов. При исследовании таких задач (особенно задач с управлениями в старших коэффициентах, являющихся «сильно нелиней11ыми» оптимизациониыми задачами и весьма существенно отличающимися от задач, где управления осуществляются путем внешних воздействий на систему) возникает ряд трудностей, связанных с их нелинейностью, некорректностью, невыпуклостыо, а также с малой гладкостью состояний.

Проблема численного решения задач оптимального управления приводит к необходимости их аппроксимаций задачами более простой природы. Правильно построенная аппроксимация позволяет получить содержательные результаты качественного и численного характера о изучаемом процессе.

Основы теории и методов устойчивости и аппроксимации экстремальных задач заложены в работах Б. М. Будака, Ф. П. Васильева, В. В. Васина, Р. Ф. Габбасова, А. Дончева, А. И. Егорова, Ю. М. Ермольева, Ю. Г. Евтушенко, В. Г. Карманова, Ф. М. Кирилловой, В. Б. Колмановского, А.И. А. И. Короткого, П. С. Краснощеного, A.B. Кряжимского, М. А. Куржанского, Е.С.

Левитина, Ж.-Л. Лионса, П. Ж. Лорана, В. И. Максимова, H.H. Моисеева, Ю. С. Осипова, В. И. Плотникова, А. Н. Тихонова, В. М. Тихомирова, Р. П. Федоренко, В. В. Федорова, Ф. Л. Черноусько и многих других. Первые результаты по общим условиям сходимости, в том числе для конечно-разностных аппроксимаций экстремальных задач были получены в работах Б. М. Будака, Б. М. Беркович, E.H. Соловьевой (см. [13], [14]) и Ю. М. Ермольева, В. П. Гуленко, Т. Н. Царенко (см. [42] —[45]). В них были получены общие условия сходимости по функционалу, а для сходимости по аргументу использовался метод регуляризации А. Н. Тихонова (см. [178]). В дальнейшем эта методика развилась во многих работах (см. [3], [16], [22], [23], [25] [31], [37], [50], [56], [57], [61], [62], [138], [201]).

Вопросам устойчивости, аппроксимаций в задачах оптимального управления системами с распределенными параметрами посвящено большое число работ, среди которых, прежде всего, следует отметить работы K.P. Айда-Заде, Ф. П. Васильева, А. Дончева, Ю. Г. Евтушенко, А. И. Егорова, Ю. М. Ермольева, А. З. Ишмухаметова, В. В. Колмановского, А. И. Короткого, A.B. Кряжимского, O.A. Кузенкова, A.A. Кулешова, М. А. Куржанского, Ж.-Л. Лионса, В. Г. Литвинова, Ф. В. Лубышева, Н. Д. Морозкина, П. Нейтаанмяки, М. М. Потапова, В. И. Плотникова, A.B. Разгулина, М. Р. Рахимова, М. И. Сумина, В. И. Сумина, Р. К. Тагиева, Я. Хаслингера, Ф. Л. Черноусько, Т. Ю. Шамиевой, А. Д. Юрия и многих других. Исследования этих вопросов для задач оптимального управления эллиптическими системами проводилось, например, в работах [70], [74], [91] - [101], [108], [110], [112], [ИЗ]), для параболических систем в работах (см. [38], [46], [48] [63], [64], [66], [73], [78], [91], [103]-[107], [109]-[112], [114], а для гиперболических систем в [1], [28] — [30], [49], [51] — [53], [55], [58] - [60], [69], [75], [150], [152], [176], [177], для систем Гурса-Дарбу в [1], [35], [147], [148], для уравнения Шредингера в [153], [159], [160], [188]. Конечномерные аппроксимации с помощью разложений в ряды рассматривались в работах [4], [54], [63], [73], [139], [140], [162]. Обзор работ, посвященных различным аспектам современной теории оптимального управления и ее приложений, постановкам различных прикладных задач оптимального управления, основам общей теории и методов устойчивости и аппроксимации экстремальных задач, вопросам аппроксимации задач оптимального управления и результатов в данной области представлен в работах Ф. П. Васильева (см. [24]), А. З. Ишмухаметова (см. [61], [62]), Ф. В. Лубышева (см. [110]), М. М. Потапова (см. [150]).

Центральными здесь являются вопросы «конструирования аппроксимаций», сходимости аппроксимаций по состоянию, функционалу, управлению, регуляризации аппроксимаций. Анализ литературы по данной проблеме показывает, что для систем с распределенными параметрами, даже в линейном случае, вопросы аппроксимации исследованы еще недостаточно. Построение и исследование аппроксимаций проводились в основном для систем управления с постоянными коэффициентами и линейных задач оптимизации для УМФ, когда функция состояния систем достаточно просто, линейно, зависит от управления (функции управления появлялись либо в неоднородном члене линейных УМФ, либо в начальных или линейных граничных условиях для линейных УМФ). Поэтому особенно актуальными являются вопросы построения и исследования конечномерных аппроксимаций для нелинейных задач оптимального управления (в том числе для задач, когда нелинейность обусловлена вхождением управлений в переменные коэффициенты УМФ и/или нелинейностью самих УМФ). При этом, так как функции состояний систем управления могут не обладать наперед заданной гладкостью (что, вообще говоря, характерно для задач оптимального управления), то это важно учитывать при построении и исследовании аппроксимаций, т. е. представляется естественным и актуальным строить и исследовать аппроксимации по состоянию и функционалу на решениях (состояниях) той естественной, незавышенной степени гладкости, которая гарантируется теоремами о разрешимости как задач для состояния, так и задач управления. Кроме того, актуальным является вопрос о построении таких аппроксимаций, результаты о сходимости которых не зависели бы от способа решения аппроксимирующих конечномерных сеточных задач оптимального управления.

Цели и задачи диссертационной работы. Основной целью работы является теоретическое изучение вопросов аппроксимации нелинейных задач оптимального управления процессами, описываемыми линейными и нелинейными уравнениями эллиптического типа, в которых отображение д —" и (д) из множества допустимых управлений и в пространство состояний iv является нелинейным.

В соответствии с целью поставлены задачи:

1. Исследование математических вопросов корректности содержательных нелинейных моделей оптимизации для эллиптических уравнений, в которых нелинейность обусловлена вхождением управлений в переменные коэффициенты линейных, а также квазилинейных эллиптических уравнений (для которых нелинейность моделей оптимизации еще более усугубляется) с различными содержательными вариантами задания множеств допустимых управлений и критериев оптимальности (функционалов цели);

2. Построение и исследование вопросов корректности и сходимости (точности) конечномерных разностных аппроксимаций поставленных нелинейных задач оптимизации;

3. Разработка эффективных численных методов решения построенных конечномерных сеточных задач оптимального управленияпроведение вычислительных экспериментов.

Общая методика исследований базируется на математической теории оптимального управления системами с распределенными параметрами, теории численных методов, теории дифференциальных уравнений в частных производных и функциональном анализе.

Научная новизна.

• Поставлены и исследованы новые нелинейные задачи оптимального управления процессами, описываемыми линейными и квазилинейными уравнениями эллиптического типа с обобщенными решениями, управлениями в переменых коэффициентах уравнений состояний, отвечающих различным видам «управляющих воздействий»: управления в переменных коэффициентах при старших производных, младших производных, в переменном коэффициенте нелинейного члена уравнения, зависящего от функции состояния и различными вариантами критериев оптимальности. На управления накладываются как локальные, так и интегральные ограничения, а также ограничение на градиент старшего коэффициента уравнения. Нелинейность моделей оптимизации обусловлена наличием управлений в коэффициентах (в том числе и в старших коэффициентах). Эта нелинейность еще более усугубляется при учете нелинейности в самих уравнениях состояний, обусловленной, например, нелинейной активностью среды. Исследованы математические вопросы корректности поставленных моделей оптимизации. Построенные модели можно трактовать также и как вариационные формулировки коэффициентных обратных задач для УМФ. В постановках нелинейных моделей оптимизации от состояний требуется лишь обобщенная разрешимость в классах Соболева. Это естественно, так как входные данные моделей оптимизации и управления, вообще говоря, не являются достаточно гладкими функциями. Сужение же класса допустимых управлений (как это иногда делается) крайне нежелательно, так как при этом существенно изменится постановка задач оптимизации.

• Разработаны новые конечномерные разностные аппроксимации построенных нелинейных моделей оптимизации с обобщенными решениями уравнений состояний. Для аппроксимации уравнений состояний в диссертационной работе предложены некоторые «модифицированные» разностные схемы, отличные от известных в литературе традиционных схем другим способом задания переменных сеточных коэффициентов в главной части сеточного оператора.

• Исследованы вопросы сходимости аппроксимаций: установлены оценки точности аппроксимаций по состоянию и функционалу и сходимость аппроксимаций по управлению. Оценки точности и сходимость по управлению получены без дополнительных априорных предположений о гладкости обобщенных решений для состояний процессов управления (при той естественной, незавышенной степени гладкости входных данных и управлений, при которых гарантируются теоремы о обобщенной разрешимости как задач для состояния в классах Соболева, так и задач управления).

• Проведена регуляризация предложенных аппроксимаций, позволяющая, на основе полученных результатов, строить минимизирующие последовательности для функционалов цели нелинейных задач оптимального управления, сильно сходящиеся в пространствах управлений к множествам точек минимумов функционалов исходных постановок. Все полученные результаты о сходимости конечномерных аппроксимаций не зависят от способа решения конечномерных сеточных задач оптимального управления.

• Разработаны эффективные алгоритмы численного решения конечномерных сеточных задач оптимального управления, аппроксимирующих исходные нелинейные задачи оптимального управления.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации могут быть использованы при изучении теории численных методов решения УМФ, теории и численных методов решения задач оптимального управления для УМФ. Методика исследования конечномерных разностных аппроксимаций, применявшаяся в диссертации, может быть использована при изучении конечномерных аппроксимаций нелинейных оптимальных процессов, описываемых другими краевыми задачами.

Математические постановки нелинейных задач оптимального управления для линейных и квазилинейных уравнений эллиптического типа и методы их конечномерных разностных аппроксимаций, разработанные в диссертации, учитывают ту особенность, что решения задач для состояний обладают, вообще говоря, малой гладкостью, что характерно для реальных физических процессов, как правило, протекающих в неоднородных средах, когда разные области решения обладают разными физическими характеристиками (при недостаточно гладких входных данных, в том числе управлений, например, недостаточно гладких характеристиках сред, при наличии недостаточно гладких источников (стоков) и др.). Сужение же, например, множества допустимых управлений (как это иногда делается) может быть крайне нежелательным, так как это существенно изменяет постановку задачи, снижая практическую ценность оптимизационной модели. Разработанный и обоснованный в работе метод конечномерных сеточных аппроксимаций для нелинейных задач оптимального управления носит конструктивный характер, обладает универсальностью, гибкостью и модульностью — качествами, которые требуются от методов, реализуемых при проведении вычислительных экспериментов, соответствующих структуре и возможностям современных ЭВМ. Полученные результаты о сходимости аппроксимаций не зависят от выбора метода решения конечномерных аппроксимирующих задач, что обеспечивает автономность выбора численных методов реализации аппроксимаций на практике и в этом смысле ставит разработанный метод в выгодное положение. Построенные нелинейные модели оптимального управления, а также разработанные и обоснованные методы конечномерных аппроксимаций могут найти широкое применение при оптимизации и численном исследовании таких систем управления, где доминирующими являются процессы переноса тепла, диффузии, фильтрации, конвекции-диффузии-реакции и др., в которых необходимо учитывать неоднородность и активность сред, способных взаимодействовать с переносимыми субстанциями — веществом или энергией по нелинейному закону, а также учитывать в моделях оптимизации диффузионную и конвективную составляющие переноса вещества или энергии. Нелинейности задач для состояний в математических моделях оптимизации могут быть обусловлены интересными для практики случаями: наличием стоков субстанции (например, диффузия вещества в активных средах с поглощением вещества по нелинейному закону, в которых диффундирующее вещество вступает в химические реакции со средой, сопровождающиеся нелинейным стоком субстанции), биохимическими процессами и др. Нелинейные модели оптимального управления, в которых нелинейности обусловлены вхождением управлений в переменные коэффициенты уравнений состояния и/или нелинейностью самих уравнений состояний имеют большую прикладную важность. Например, полученные в работе результаты могут найти широкое приложение к проблемам механики сплошных сред — в процессе проектирования и разработки новой техники, технологических процессов, включающих поиск оптимальных конструкций путем выбора функций управления, описывающих распределение упругих характеристик материалапри оптимальном тепловом проектировании различных сложных технических систем, находящихся под тепловым нагружением, связанных с определением теплофизических характеристик теплопроводящей среды, в том числе при стендовых испытанияхпри оптимальном управлении нелинейными стоками вещества (энергии) в активных средах с поглощением вещества (энергии) по нелинейному законупри «конструировании» моделей экологичекого прогнозирования норм загрязнения окружающей среды.

Результаты работы внедрены в учебный процесс кафедр вычислительной математики и математического моделирования Башгосуниверситета.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, разбитых на пункты, заключения, приложения и списка литературы. Объем диссертации, исключая приложение, составляет 131 страницу.

Список литературы

содержит 201 наименование.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ.

1. Поставлены и исследованы новые нелинейные задачи оптимального управления процессами, описываемыми линейными и квазилинейными уравнениями эллиптического типа с обобщенными решениями, управлениями в переменных коэффициентах уравнения состояния, отвечающих различным видам управляющих воздействий: управления в переменных коээфициептах при старших производных, младших производных, в переменном коэффициенте нелинейного члена уравнения, зависящего от функции состояния и различными вариантами задания критериев оптимальности. На управления накладываются как локальные, так и интегральные ограничения, а также ограничения на градиент старшего коэффициента уравнения. Исследованы математические вопросы корректности поставленных нелинейных моделей оптимизации, от функций состояния которых требуется лишь обобщенная разрешимость в классах Соболева. Рассмотренные постановки нелинейных задач оптимального управления включают в себя в качестве частных содержательных вариантов постановок круг конкретных прикладных оптимизационных задач теории теплопроводности, диффузии, конвекции-диффузии-реакции, теории упругости и др. Построенные модели могут рассматриваться также и как вариационные постановки коэффициентных обратных задач для УМФ.

2. Разработаны новые конечномерные разностные аппроксимации нелинейных моделей оптимизации на обобщенных решениях уравнений состояний. Для аппроксимации уравнений состояний предложены некоторые модифицированные разностные схемы, отличные от известных в литературе традиционных схем другим способом задания переменных сеточных коэффициентов в главной части сеточного оператора. Исследованы вопросы сходимости аппроксимаций по состоянию и функционалу, а также сходимость аппроксимаций по управлению без каких-либо дополнительных априорных предположений о гладкости обобщенных решений для состояний процессов управления (при той естественной незавышенной степени гладкости входных данных и управлений, при которых гарантируются теоремы об обобщенной разрешимости как задач для состояния в классах Соболева, так и задач управления).

3. Проведена регуляризация аппроксимаций, позволяющая строить, на основе полученных результатов, минимизирующие последовательности для функционалов цели задач оптимального управления, сильно сходящиеся в пространстве управлений к множествам точек минимумов функционалов. Все полученные результаты о сходимости не зависят от способа решения конечномерных сеточных задач оптимального управления. Разработанный метод конечномерных аппроксимаций носит конструктивный характер, обладает универсальностью, гибкостью и модульностью — качествами, которые требуются от методов, реализуемых при проведении вычислительных экспериментов, соответствующих структуре и возможностям современных ЭВМ.

4. Разработаны эффективные алгоритмы численного решения сеточных задач, аппроксимирующих исходные нелинейные задачи оптимального управления. Построенные алгоритмы численной минимизации сеточных функционалов основаны на методах проекции градиента, проекции сопряженных градиентов, условного градиента, локальных вариаций (методе Хука-Дживса), на сочетании метода штрафных функционалов и градиентных методов. Вычисление градиентов сеточных функционалов эффективным образом базируется па решении соответствующих вспомогательных линейных сопряженных задач. На основе построенных аппроксимаций создано программное обеспечение реализации алгоритмовпроведены вычислительные эксперименты, иллюстрирующие применение разработанных методов, достаточно простых в реализации, позволяющих эффективно, за приемлемое время численно решать широкие классы нелинейных задач оптимального управления.

Заключение

.