Функциональные детерминанты в полях дионов и калоронов с нетривиальной голономией

С открытием асимптотической свободы в неабелевых калибровочных теориях (теории Янга-Миллса [1]) в 1973 году [2], квантовая хромодинамика (КХД) стала общепризнанной теорией сильных взаимодействий. В силу асимптотической свободы в теории Янга-Миллса, для расчётов процессов с большой передачей импульса достаточно использовать теорию возмущений, в этой области результаты хорошо проверены экспериментально.

КХД описывается плотностью лагранжиана гдеF®" - напряжённость неабелевого калибровочного поля, a ipi — поля кварков различных ароматов, преобразующихся по фундаментальному представлению калибровочной группы. Неабелевой калибровочной группой КХД является группа SU (3), однако при теоретических исследованиях часто работают с более общим случаем групп SU (N), либо с более простым случаем группы SU (2). Параметрами теории является масштаб Aqcd и массы кварков mi. Следует заметить, что параметра A qcd нет в лагранжиане теории, он является масштабом «размерной трансмутации» и входит в выражение для бегущей константы связи д.

Предполагается, что при низких энергиях КХД описывает связанные бесцветные ад-ронные состояния и, тем самым, согласуется с экспериментальными фактами об удержании цвета. Однако механизм удержания цвета (конфайнмента) до сих пор не выяснен.

Имея успешно (по крайней мере, в области высоких энергий) работающую теорию, естественно пытаться исследовать её свойства при необычных условиях, в частности, при высокой температуре.

Теории с конечной температурой хорошо исследованы решёточными методами, собрано множество данных о фазовых диаграммах калибровочных теорий при конечной температуре и (или) химическом потенциале (см., например, обзоры [3, 4]). Исследуются теории с различным количеством цветов и ароматов, различными массами кварков, а также делаются некоторые упрощения, например, часто пренебрегают обратным влиянием кварков i=i.

1) на глюоны.

Теория при конечной температуре может рассматриваться как теоретический полигон для исследования КХД. Дело в том, что при высокой температуре эффективная константа взаимодействия становится малой, что даёт возможность пользоваться разложением по константе связи.

Известно, что с повышением температуры в КХД происходит переход в фазу свободных кварков и глюонов, называемую кварк-глюонной плазмой. При реалистических массах фермионов этот переход происходит непрерывно (типа crossover). Если рассматривать теорию без фермионов, глюодинамику, то из численных вычислений на решётке известно, что в SU (2) глюодинамике этот фазовый переход второго рода, а в SU (3) — первого.

Статистическая сумма и корреляторы в ансамбле с конечной температурой могут быть записаны как функциональный интеграл в евклидовом пространстве-времени, где евклидово время ограничено интервалом х4 € [0,1 /Т) и бозонные поля имеют периодические граничные условия, а фермионные поля — аптипериодические на границах временного интервала (/3 = 1/Т): [5],[6].

J DADi) D$e~SCYM (2).

A (S, 0)=A{x, P) ф{х, 0)=-ф{х, Р).

Ряд теории возмущений при конечной температуре имеет в старших порядках инфракрасные расходимости. Это связано с медленным затуханием корреляторов пространственных компонент калибровочного поля в теории возмущений и невозможностью пер-турбативного вычисления магнитной массы [7].

Теория возмущений не описывает фазовый переход конфайнмент-деконфайнмент и для его описания следует учитывать непертурбативные вклады в стат. сумму. При понижении температуры, непертурбативные эффекты начинают доминировать и приводят к переходу в фазу конфайнмента (адронную фазу).

В теории с конечной температурой появляется новая нелокальная калибровочно-инвариантная величина — голономия (или петля Полякова [8]).

•1 /т.

L — P exp I I dtA4. (3) рехр (Г.

Калибровочная инвариантность голономии следует из того, что поля должны быть периодичными по Евклидовому времени, и, следовательно, допустимы только периодические калибровочные преобразования. Другими словами, теорию можно рассматривать как определённую на цилиндре. Среднее от следа голономии < tr L > есть где М — энергия статического кварка, помещённого в систему. В фазе деконфайнмента < tr L >ф 0, в то время, как в фазе конфайнмента < tr L >— 0, что говорит о том, что свободная энергия одного статического кварка стремится к бесконечности. Поэтому среднее от следа голо-номии является калибровочно-инвариантным параметром порядка для фазового перехода конфайнмент-деконфайнмент в чистой глюодинамике (теории без динамических кварков) [8].

Если эффективная константа связи в теории мала, то можно предположить, что непер-турбативные вклады сосредоточены вблизи локальных нетривиальных минимумов классического действия, т. е. классических решений уравнений поля. Классические решения в теории Янга-Миллса удовлетворяют условию самодуальности (или антисамодуальности) F/iv = F^, — ^e^sF'rSДля вычисления вклада в стат. сумму от полей, лежащих вблизи классических решений, следует разложить действие в ряд по константе связи вблизи соответствующего решения и далее использовать теорию возмущений. Главный вклад соответствует величине действия на классическом решении и суммированию (интегрированию) по семейству решений^{решения} Fe~s. Однопетлевая поправка сводится к вычислению функционального детерминанта для оператора квадратичных флуктуаций действия. Функциональный детерминант и мера на пространстве классических решений определяют предэкспоненциальный множитель F. Подробнее это будет изложено в главе 1.

Голономию называют тривиальной, если она принимает значения в центре Z (N) калибровочной группы SU (N), при этом tr L может принимать значения NeiTlk^N, к = 1,., N. Простейшим классическим решением с тривиальной голономией на пространственной бесконечности является периодический инстантон Харрингтона-Шепарда [9], также называемые калороном. Это решение схоже с инстантоном Белавина-Полякова-Шварца-Тюпкина (BPST) [10] в теории с нулевой температурой, но «подправлено» так, чтобы иметь периодические граничные условия по Евклидовому времени.

Вклад таких решений в стат. сумму в однопетлевом приближении был вычислен в работе Гросса, Писарского и Яффе [11]. Вакуум, сделанный из калоронов был изучен на основе вариационного принципа в работе [12].

Однако ниже температуры деконфайнмента в адронной фазе < tr L >= 0. Это означает, что-либо след голономии просто усредняется до нуля благодаря учёту всех вкладов jVe7rifc/W, k = l,., iV, т. е. в среднем происходит восстановление центральной симметрии, либо, благодаря некоторому динамическому механизму, в стат. сумме начинают доминировать конфигурации полей с нетривиальной голономией, то есть, восстановление Ъп симметрии происходит на уровне классических полей. Одна из целей работы — исследовать последнюю из упомянутых возможность, предполагая, что адекватные низкоэнергетические степени свободы соответствуют классическим решениям с нетривиальной асимптотикой А4.

Заметим, что в работе Гросса, Писарского и Яффе был выдвинут аргумент против решений с нетривиальной голономией, опирающийся на то, что благодаря электрическому экранированию эти решения будут сильно подавлены в одной петле. Это действительно так, и мы увидим, что функциональные детерминанты калоронов с нетривиальной голономией имеют ИК-расходимости, старшие из которых пропорциональны объёму. Эти N расходимости описываются пертурбативным потенциалом VT3 (2тг (дт — //")), где п, т=1.

Hi — собственные значения А4 и Р (и) = ^ — 2)2 (^)2J (см. Рис. 2.3). Несмотря на это, будет показано, что при снижении температуры Т этот потенциал становится слабее, чем энтропийный вклад в свободную энергию, и происходит фазовый переход в фазу с нетривиальной голономией.

Простейшим классическим решением с нетривиальной голономией является BPS монополь (дион). Дионы — это самодуальные решения уравнений движения Янга-Миллса с независящей от времени плотностью действия, имеющие и магнитное, и электрическое поля, затухающие как 1 /г2 на больших расстояниях от центра дионов. Таким образом, эти объекты несут и электрический и магнитный заряды.

В 3+1-мерной SU (2) калибровочной теории существует два типа самодуальных дионов [13]: М и L с зарядами (+,+) и (—, —), а также два типа антисамодуальных дионов М и L с зарядами (-I-, —) и (—,+), соответственно. Точное выражение для их полей можно найти, например в [14]. В SU (N) теории есть N различных дионов [13, 15]: N — 1 различных М — дионов: Мь М2, .Mjv-i с зарядами, соответствующим N — 1 простым корням в группе, и один L дион с зарядом, компенсирующем заряды М. Мдг i, а также их анти-самодуальные версии.

Как упомянуто выше, для вычисления вклада дионов в стат. сумму требуется вычислить функциональный детерминант (т.е. детерминант оператора квадратичной флуктуации действия) в поле диона. Попытка вычисления функционального детерминанта в поле BPS диона была предпринята в работе К. Зарембо [16]. Проблема с этим вычислением заключается в том, что из него невозможно даже приближённо определить, чему равен функциональный детерминант в поле нескольких дионов. Из-за того, что поле А4 у диона затухает медленно (как 1 /г), детерминант инфракрасно расходится, и поэтому нельзя просто перемножить детерминанты нескольких дионов, считая их независимыми. По этой причине следует рассматриваеть обобщение нейтрального инстантонного решения.

Инстантонное решение с нетривиальной голономией было построено несколько лет назад (1998) Крааном и ван Баалем [17] а также Ли и Jly [18]- оно было названо калорон с нетривиальной голономией, т.к. голономия для этой конфигурации не лежит в центре группы. Для краткости мы будем называть его KvBLL калороном. Он также, как и кало-рон Харрингтона-Шепарда, является периодическим самодуальным решением классических уравнений поля Янга-Миллса с единичным топологическим зарядом. В предельном случае, когда голономия KvBLL калорона становится тривиальной, он сводится к калорону Харрингтона-Шепарда. Замечательной чертой конструкции KvBLL является то, что ка-лорон с единичным топологическим зарядом можно рассматривать как «сделанный» из N монополей Богомолыюго-Прасада-Зоммерфельда (BPS) или дионов [19, 20]. Из точного решения уравнений самодуальности видно, что в случае, когда решение с тривиальной го-лономией имеет размер р (5 = 1 /Т, решение с нетривиальной голономией приближённо совпадает с суперпозицией М и L дионов, находящихся на пространственных расстояниях порядка р2/(3.

Калороны с нетривиальной голономией изучаются в работах многих авторов. Так, были получены интересные результаты для плотности фермионных нулевых мод на калоро-нах и на базе этого был предложен метод нахождения этих конфигураций в решёточных ансамблях [21]. Найдена метрика пространства модулей калорона в работах [22, 48]. Были построены (хотя и не в явном виде) мультикалоронные решения и выявлены некоторые их свойства [23, 24]. Калороны были также исследованы в решёточной КХД [25, 26]. Ансамбль калоронов приближённо рассматривался в численных симуляциях в работах [27] а также аналитически в работе [28].

Однако, функциональные детерминанты в поле KvBLL калорона раннее не изучались. Это явилось главной целью работы. Вычисление функциональных детерминантов необходимо для учёта вкладов KvBLL калоронов с нетривиальной голономией в стат.сумму. Кроме того, в силу электрической и магнитной нейстральности KvBLL калорона, именно вопрос о квантовом детерминанте KvBLL калорона является правильно поставленной задачей о квантовом детерминанте для BPS дионов.

Детерминанты в полях калоронов можно использовать для построения калоронных или дионных моделей вакуума как в чистой глюодинамике, так и в КХД. В последнем случае, помимо нулевых мод фермионных полей, вычисленных в работах [21] необходимо также учитывать эффекты, связанные с ненулевыми модами фермионных полей (кварков), которые также вычислены в диссертации. А именно, для фермионов были вычислены квантовые детерминанты для ненулевых мод флуктуаций. Задача построения реалистичной модели калоронного вакуума остаётся открытой.

Проблема вычисления эффектов от квантовых флуктуаций около калорона с нетривиальной голономией является проблемой того же типа что и вычисление для обычных ин-стантонов (решенная 'т Хофтом [29]) и для стандартного калорона Харрингтона-Шепарда решенная Гроссом, Писарским и Яффе [11]). Инстантон при нулевой температуре является 0(4) симметричным, и для него можно [29] вычислить детерминант прямым способом — перемножая собственные значения и используя регуляризацию С-функцией Или другие эквивалентные методы регуляризации. Калорон Харрингтона-Шепарда имеет О (З) симметрию, KvBLL калорон имеет только 0(2) симметрию для случая группы SU (2) Рис. 1.2 и не имеет пространственных симметрий вообще для N > 2. В этих случаях трудно вычислить детерминант прямым методом и проще вначале найти вариацию детерминанта по некоторому параметру решения. Вариацию регуляризованного детерминанта можно выразить через вариацию поля и пропагатор (функцию Грина) для периодического по мнимому времени возмущения на фоне классического решения. Далее оказывается возможным проинтегрировать вариацию детерминанта вдоль пути в пространстве параметров, соединяющего BPST — инстантон (или калорон Харрингтона-Шепарда) с интересующим нас решением. Детерминант для калорона Харрингтона-Шепарда уже был вычислен [11], что позволяет найти константу интегрирования. Технически удобнее оказалось вначале аналитически исследовать вариацию детерминанта в области параметров, где калорон выглядит как суперпозиция дионов, а затем провести сшивку с детерминантом калорона Харрингтона-Шепарда, частично используя численные методы вычисления.

Как сами самодуальные решения, так и точные пропагаторы в их полях могут быть построены с помощью конструкции Атьи-Дринфельда-Хитчина-Манина (ADHM) [30], адаптированной Намом [31] для случая конечной температуры.

В работе [32] (главы 1 и 2) изучается гипотеза, что эффективные глюонные степени свободы в SU (2) глюодинамике при температурах ниже Тс (температуры фазового перехода конфайнмент-деконфайнмент) соответствуют калоронам с нетривиальной голономией.

Так как сами решения и мера на пространстве модулей KvBLL калоронов были вычислены в пионерской работе [17], то основной задачей являлось вычисление функционального детерминанта для флуктуаций глюонов (и духов). В результате вычислений был найден точно однопетлевой квантовый вес KvBLL калорона. Используя этот результат, мы оценили вклад ансамбля калоронов в стат. сумму как функцию температуры и асимптотической голономии калоронов. Было обнаружено, что при понижении температуры вклады от калоронов с нетривиальной голономией начинают превалировать. Это было интерпретировано как возможный механизм фазового перехода.

В работе [33] проводится вычисление для детерминанта по ненулевым модам фермио-нов для группы SU (2). Это вычисление излагается в главе 3.

В работах [34] и [35] (Главы 4,5) результаты для глюооного и фермионного детерминантов обобщаются до калибровочных групп SU (N), а также находятся свойства калоронных решений и ADHMN конструкции, необходимые для наших вычислений. Некоторые из этих свойств были получены впервые. Так, доказано, что вклад регулярной части вакуумного тока в вариацию детерминанта в фундаментальном представлении даётся поверхностным интегралом. Установлены условия, при которых SU (N) калорон с нетривиальной голоно-мией редуцируются к SU (N-l) калорону с нетривиальной голономией. На уровне явных выражений для полей доказано, что SU (N) калорон с нетривиальной голономией состоит из BPS (Bogomolnyi, Prasad, Sommerfeld) дионов.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

1. Получена оценка температуры фазового перехода конфайнмент-деконфайнмент на основании аналитического вычисления вклада в статистическую сумму калоронов с нетривиальной голономией для калибровочной группы SU (2).

2. Получен точный результат для вклада калорона в теории с фермионами. Вычислен фермионный детерминант по ненулевым модам в поле SU (2) калорона с нетривиальной голономией.

3. Получен вклад в статистическую сумму SU (N) калорона с нетривиальной голономией. Для случая неперекрывающихся дионов получен аналитический результат.

4. Найден вклад калоронов с нетривиальной голономией в статистическую сумму SU (N) квантовой хромодинамики. Вычислен полностью фермионный детерминант по ненулевым модам в поле SU (N) калорона с нетривиальной голономией.

5. В процессе вычисления получены новые свойства калоронных решений и ADHMN (Atiyah-Hitchin-Drinfeld-Manin-Nahm) конструкции калоронов с нетривиальной голономией. Доказано, что вклад регулярной части вакуумного тока в вариацию детерминанта в фундаментальном представлении даётся поверхностным интегралом. Установлены условия, при которых SU (N) калорон с нетривиальной голономией редуцируются к SU (N — 1) калорону с нетривиальной голономией. На уровне явных выражений для полей доказано, что SU (N) калорон с нетривиальной голономией состоит из BPS (Bogomolnyi, Prasad, Sommerfeld) дионов.

Результаты диссертации были апробированы в выступлениях на международных конференциях SUSSP58, Св. Андрюс, Шотландия — Quarks 2006, Санкт-ПетербургISSP, Эри-че, Италия и докладах на семинарах ПИЯФ, Гатчина и ИТЭФ, Москва.

Результаты диссертации опубликованы в работах [32, 33, 34, 35], а также [36].

Структура диссертации следующая. В первой главе кратко рассматривается общий метод вычисления вклада инстантонов в статистическую сумму модели. Далее описывается классическое решение — SU (2) KvBLL калорон и вводятся некоторые обозначения. Хотя группа SU[2) является частным случаем групп SU (N), эти случаи рассматриваются отдельно. Причина состоит в возможности применения для группы SU (2) кватернионно-го S’p (l) формализма, а также в том, что в этом случае удалось получить получить более сильные (точные) результаты для детерминантов.

Во второй главе выводятся явные выражения для функций Грина и вакуумных токов в поле диона и SU (2) калорона, вычисляется вариация детерминанта проистекающая из разных областей пространства, и интегрируются полученные результаты. Далее оценивается стат. сумма ансамбля калоронов. В результате выводится нестабильность тривиальной голономии при температуре ниже точки фазового перехода.

В третьей главе аналогичными методами вычисляется фермионный детерминант.

В четвёртой главе рассматривается ADHMN конструкция для SU (N) калорона и выявляются некоторые новые свойства калоронных решений, которые необходимы для нахождения фермионного детерминанта в случае калибровочной группы SU (N). Существенно используя эти свойства, а также результаты Приложения В.2, находится фермионный детерминант для SU (N) калорона.

В пятой главе обобщаются результаты для квантового веса калорона на случай групп SU (N). Для этого мы используется модифицированная техника вычислений, разработанная в четвёртой главе. К сожалению, область применимости полученных формул не позволяет повторить оценку критической температуры, как это было сделано в SU{2) случае.

В Приложении, А проводится обзор общей конструкции ADHMN для самодуальных решений при конечной температуре, демонстрируется построение калоронного решения. Также приводятся вычисления функций Грина и вакуумных токов в полях диона и калорона.

В Приложении В выводятся важные общие свойства регулярной части вакуумного тока для SU{N) калорона. Показано, что вклад в вариацию детерминанта от регулярной части вакуумного тока в фундаментальном представлении является полной производной и поэтому полностью определяется асимптотическим поведением полей.

1. С. N. Yang and R. L. Mills, Phys. Rev. 96, 191 (1954).

2. Gross, D. and F. Wilczek, Phys.Rev.Lett 30, 1343- Politzer, H., 1973, Phys.Rev.Lett 30, 1346.

3. C. R. Allton, S. Ejiri, S. J. Hands, O. Kaczmarek, F. Karsch, E. Laermann and C. Schmidt, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 141, 186 (2005) arXiv: hep-lat/504 011],.

4. Z. Fodor and S. D. Katz, JHEP 0404, 050 (2004) arXiv: hep-lat/402 006].

5. E. S. Abers and B. W. Lee, Phys. Rept. 9, 1 (1973).

6. L. D. Faddeev (1976) in Methods in Field Theory, eds. R. Balian and J. Zinn-Justin, p.l.

7. A. D. Linde, Rept. Prog. Phys. 42, 389 (1979).

8. A. M. Polyakov, Phys. Lett. В 72, 477 (1978).

9. B.J. Harrington and H.K. Shepard, Phys. Rev. D 17, 2122 (1978) — ibid. 18, 2990 (1978).

10. A. Belavin, A. Polyakov, A. Schwartz and Yu. Tyupkin, Phys. Lett. 59, 85 (1975).

11. D.J. Gross, R.D. Pisarski and L.G. Yaffe, Rev. Mod. Phys. 53, 43 (1981).

12. D. Diakonov and A. Mirlin, Phys. Lett. В 203, 299 (1988).

13. К. Lee and P. Yi, Phys. Rev. D 56, 3711 (1997), hep-th/9 702 107.

14. D. Diakonov and V. Petrov, Phys. Rev. D 67, 105 007 (2003), hep-th/212 018.

15. N. M. Davies, T. J. Hollowood, V. V. Khoze and M. P. Mattis, Nucl. Phys. В 559, 123 (1999), hep-th/9 905 015- N.M. Davies, T.J. Hollowood and V.V. Khoze, hep-th/6 011.

16. K. Zarembo, Nucl. Phys. В 463, 73 (1996), hep-th/9 510 031.

17. T.C. Kraan and P. van Baal, Phys. Lett. В 428, 268 (1998) 268, hep-th/9 802 049; Nucl. Phys. В 533, 627 (1998), hep-th/9 805 168.

18. K. Lee and C. Lu, Phys. Rev. D 58, 25 011 (1998), hep-th/9 802 108.

19. E.B. Bogomolnyi, Yad. Fiz. 24, 861 (1976) Sov. J. Nucl. Phys. 24, 449 (1976)].

20. M.K. Prasad and C.M. Sommerfeld, Phys. Rev. Lett. 35, 760 (1975).

21. M. N. Chernodub, Т. C. Kraan and P. van Baal, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 83, 556 (2000) arXiv: hep-lat/9 907 001]F. Bruckmann, D. Nogradi and P. van Baal, Nucl. Phys. В 666, 197 (2003) arXivihep-th/305 063.,.

22. Т. C. Kraan, Commun. Math. Phys. 212, 503 (2000) arXiv: hep-th/9 811 179].

23. F. Bruckmann and P. van Baal, Nucl. Phys. В 645, 105 (2002) arXiv: hep-th/209 010]- F. Bruckmann, D. Nogradi and P. van Baal, Acta Phys. Polon. В 34, 5717 (2003) [arXiv:hep-th/309 008].

24. F. Bruckmann, D. Nogradi and P. van Baal, Nucl. Phys. В 698, 233 (2004) arXiv: hep-th/404 210].

25. C. Gattringer, Phys. Rev. D 67, 34 507 (2003) arXiv: hep-lat/210 001]- C. Gattringer et al., Nucl. Phys. Proc. Suppl. 129 (2004) 653 [arXiv:hep-lat/309 106]- C. Gattringer and R. Pullirsch, Phys. Rev. D 69, 94 510 (2004) [arXiv:hep-lat/402 008].

26. P. Gerhold, E. M. Ilgenfritz and M. Muller-Preussker, Nucl. Phys. В 760, 1 (2007) arXiv: hep-ph/607 315]- Nucl. Phys. В 774, 268 (2007) [arXiv:hep-ph/610 426],.

27. D. Diakonov and V. Petrov, arXiv:0704.3181 hep-th].

28. G. 't Hooft, Phys. Rev. D 14, 3432 (1976).

29. M.F. Atiyah, V.G. Drinfeld, N.J. Hitchin and Yu.I. Manin, Phys. Lett. A 65, 185 (1978).

30. W. Nahm, Phys. Lett. В 90, 413 (1980).

31. I. Jack, Nucl. Phys. В 174, 526 (1980).

32. С. W. Bernard, N. H. Christ, A. H. Guth and E. J. Weinberg, Phys. Rev. D 16, 2967 (1977).

33. S. Huang and M. Lissia, Nucl. Phys. В 438, 54 (1995)-К. Kajantie, M. Laine, K. Rummukainen and M.E. Shaposhnikov, Nucl. Phys. В 503, 357 (1997)-S. Chapman, Phys. Rev. D 50, 5308 (1994).

34. E. Corrigan, P. Goddard, H. Osborn and S. Templeton, Nucl. Phys. В 159, 469 (1979).

35. W. Nahm, Phys. Lett. В 90, 413 (1980).

36. D. Diakonov, N. Gromov, V. Petrov and S. Slizovskiy, Phys. Rev. D 70 36 003 (2004).

37. N. Gromov and S. Slizovskiy, Phys. Rev. D 71, 125 019 (2005) arXiv: hep-th/504 024],.

38. N. Gromov and S. Slizovskiy, Phys. Rev. D 73, 25 022 (2006) arXiv: hep-th/507 101].

39. Slizovskiy S, Determinant of the SU (N) caloron with nontrivial holonomy, Phys. Rev. D76, 85 019 (2007).

40. N.H. Christ, E.J. Weinberg and N.K. Stanton, Phys. Rev. D 18, 2013 (1978) — E. Corrigan, P. Goddard and S. Templeton, Nucl. Phys. В 151, 93 (1979).

41. L.S. Brown and D.B. Creamer, Phys. Rev. D 18, 3695 (1978).

42. N. Gromov, arXiv: hep-th/701 192.

43. D. Diakonov and M. Oswald, Phys. Rev. D 68, 25 012 (2003), hep-ph/303 129.

44. E. Megias, E. Ruiz Arriola and L.L. Salcedo, hep-ph/312 126.

45. P. Rossi, Nucl. Phys. В 149, 170 (1979).

46. С. Bernard, Phys. Rev. D 19, 3013 (1979).

47. D. Diakonov and V. Petrov, Nucl. Phys. В 245, 259 (1984).

48. V.M. Belyaev and V.L. Eletsky, Z. Phys. С 45, 355 (1990) — К. Enqvist and K. Kajantie, Z. Phys. С 47, 291 (1990).

49. S. Adler, Phys. Rev. D 18, 411 (1978) — ibid. 19, 2997 (1979).

50. Т. C. Kraan and P. van Baal, Phys. Lett. В 435, 389 (1998) arXiv: hep-th/9 806 034],.

51. D. Diakonov and N. Gromov, Phys. Rev. D 72, 25 003 (2005) arXiv: hep-th/502 132].

52. N. Weiss, Phys. Rev. D 24, 475 (1981) — ibid. D25, 2667 (1982).

53. E. Corrigan, D. B. Fairlie, S. Templeton and P. Goddard, Nucl. Phys. В 140, 31 (1978).