Изоморфизм пространств гладких функций и теорема вложения

Актуальность темы

Теория банаховых пространств насчитывает более чем 70-летшою историю, однако в пей все еще не решена до конца задача различения основных объектов. В коротком обзоре невозможно осветить всю лакомленную к настоящему моменту информацию, поэтому мы ограничимся сведениями о так называемых пространствах с «кир-пормой». Прежде всего сюда относятся пространства С (К) непрерывных функций на компактах, а также их «родственники» — например, пространства С^(МП) I раз непрерывно дифференцируемых функций на 77-мерном торе (тор взят просто как простейший пример 77-мерного компактного многообразия) или пространства сл (с?) функций, аналитических в области С, лежащей в с", и непрерывных вплоть до границы.

Классическая теорема Милютина 1953 года (доказательство см., например, в |1С]) гласит, что пространство С (К) линейно гомеоморфпо пространству С[0,1] для всякого несчетного метрического компакта К. Можно сказать поэтому, что пространство С (К) «не знает ничего» о множестве, на котором заданы составляющие его функции.

В 00-е годы XX века стал популярен следующий вопрос: если определение пространства опирается па более тонкую структуру (например, гладкость или аналитичность), то, может быть, пространство «запоминает» хотя бы такой грубый инвариант подлежащего многообразия, как размерность?

Сейчас по этому поводу имеется некая информация, по она янно недостаточна. Например, известно, что пространства Сл (Ю>") в полидисках попарно не изоморфны (см. |1|), а про соответствующие пространства в комплексных п-мерпых шарах Вп известно лишь то, что Са{В) и Са{Вп) не изоморфны при п > 1 (см., например, [8|). Схожая картина имеет место и для пространств гладких функций: неясно, например, изоморфны ли пространства Т2) и С^(Т3). Размерность 1 в этом контексте удалось отличить от высших размерностей (подробности см. ниже), однако в теоремах такого сорта речь идет фактически об отличии пространств гладких функций на многообразии размерности, но крайней мере 2 от пространств вида С (К). Впрочем, даже и в такой постановке остаются важные нерешенные вопросы. Таким образом, тема диссертации актуальна.

Цель работы состоит в нахождении условий отсутствия линейного гомеоморфизма между пространствами типа С (К) и пространством гладких функций с «пр-нормой, порожденным заданным набором дифференциальных выражений, а такжев исследовании теоремы вложения, возникшей для нужд этого доказательства.

Основные результаты работы.

— Пуст1> А = (7),. — набор однородных дифференциальных операторов одного порядка с постоянными коэффициентами на торе Т". Если этот набор содержит хотя бы 2 линейно независимых оператора, то пространство С (Л)(Т") = {/: 7 у.е. С{Т1),] = 1 ,., к} не вкладывается дополняемо в пространство вида С (К).

— Если все операторы Тукратны одному и п — 2, то пространство Тп) изоморфно пространству С (Т"). При п > 2 это утверждение, вообще говоря, перестает быть верным, однако причина лежит не в гладкой структуре, а в устройстве дополняемых пространств в С (Т").

— Исследована и обобщена теорема вложения, нужная для доказательства неизоморфности в первом утверждении.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее методы могут быть использованы в других задачах о неизоморфизме классических банаховых пространств (гл. 1), а также для исследования коэрцитивности некоторых систем дифференциальных уравнений в частных производных в разных нормах.

Аиробация работы. Результаты работы докладывались па заседаниях кафедры математического анализа РГПУ им. Герцена, на семинаре по теории оператором и комплексному анализу (рук. В. П. Хавин), на конференции «Пространства гладких и аналитических функций» в Бендлево (Польша) в мае 2005 г.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 3 работы.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения и двух глав, разбитых на 11 параграфов (нумерация параграфов сквозная), изложена на 85 стр.

Список литературы

включает 20 названий.

1. J. Bowrgain. The dimension conjecture for polydisk algebras. 1. rael J. Math., 46 № 4, 1984, 283−304.

2. С. C. Graham, О. C. McGehee. Essays in commutative harmonic analysis. Springer, Berlin (1979).

3. A. Grothendieck. Erratum an memoire: produits tensoriels topologiques et espaces nucleaires. — Ann. Inst. Fourier (Grenoble) No. 6 (1955;1956), 117−120.

4. A. Grothendieck. Sur les applications lineaires faiblement compactes d’espace du type C (K). Canad, J. Math. 5 (1953), 129 173.5j J. Lindenstrauss, H. P. Rosenthal. The? p-spaces. Israel J. Math., 7(1969), 325−349.

5. S. Kwapieri and A. Pelczyriski. Absolutely summing operators and translation-invariant spaces of functions on compact abelian groups. Math. Naclir. 94 (1980), 303−340.

6. A. Pelczynski and K. Senator. On isomorphisms of anisotropic Sobolev spaces with «classical Banach spaces» and Sobolev-type embedding theorem. Studia Math. 84 (198G), 169−215.

7. A. Pelczynski and M. Wojciechowski. Sobolev spaces in several variables in Z^-type norms are not isomorphic to Banach lattices. Ark. Mat. 40 (2002). no. 2. 3G3−382.

8. M. Wojciechowski. On the summing property of the Sobolev embedding operators. Positivity 1(1997), no. 2. 165−170.

9. P. Wojtaszczyk. Banach spaces for analysts*. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1990.

10. Глазман И. M., Любич Ю. И. Конечномерный линейный анализ // М.: Наука. 19G9.

11. С. В. Кисляков. Соболевские операторы вложения и неизоморфность некоторых банаховых пространств. — Функц. анализ и его прилож. 9, No. 4 (1975), 22−27.

12. С. В. Кисляков. В пространстве непрерывно-дифференцируемых функций на торе нет локально-безусловной структуры. — Препринт ЛОМИ Р-1−77 (1977), 18 с.

13. С. В. Кисляков и Н. Г. Сидоренко. Отсутствие локальной безусловной структуры в анизотропных пространствах гладких функций. — Сибирск. мат. журн. 29, No. 3 (1988), 64−77.

14. А. Пслчииский. Линейные продолжения, линейные усреднения и их применения. Мир, М. (1970).

15. Н. Г. Сидоренко. Неизоморфность некоторых банаховых пространств гладких функций пространству непрерывных функций. — Функц. анализ из его прилож. 21, No. 4 (1987), 91−93.

16. Г. М. Хенкин. Отсутствие равномерного гомеоморфизма между пространствами гладких функций от одного и от п переменных (n ^ 2). Матем. сб. 74, No. 4 (1967), 595−606.

17. Максимов Д. В. Одно обобщение неравенства Гальярдо. — Препринт ПОМИ Р-15−06 (2006), 15 с.