Разработка вариационных алгоритмов восстановления входных сигналов конечной длительности в линейных системах
На наш взгляд, основной особенностью большинства известных методов решения обратной задачи на основе уравнения (1) является формально-математический подход без изучения вопроса о том, какие входные воздействия или их компоненты доступны восстановлению на основе эмпирических данных, и какова форма их представления. Ответ на этот вопрос позволяет построить адекватные вычислительные процедуры… Читать ещё >
Содержание
- Глава 1. Восстановление сигналов в линейных системах
- 1. 1. Линейные системы и методы обработки сигналов
- 1. 2. Математические основы теории восстановления сигналов
- 1. 3. Методы вычислений приближенных решений интегральных уравнений Фредгольма первого рода
- 1. 4. Задачи исследований
- Глава 2. Разработка математических основ восстановления сигналов
- 2. 1. Интегральные уравнения Фредгольма первого рода и их свойства
- 2. 2. Математическое представление доступных восстановлениям на основе эмпирических данных компонент входных сигналов
- 2. 3. Потенциальные возможности восстановления входных воздействий
Разработка вариационных алгоритмов восстановления входных сигналов конечной длительности в линейных системах (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Интегральное соотношение вида ь и{у)= *)/(*>&, с<�у<�Л, (1) а достаточно часто используется в качестве модели, описывающей зависимость отклика и (у) линейной системы с аппаратной функцией Я (у, х) от воздействующего на ее вход сигнала/(х) (входного воздействия).
Такого рода системы имеют широкое распространение, а представление (1) позволяет с достаточной степенью точности вычислить значения откликов по заданным значениям входных воздействий и аппаратной функции системы (прямая задача).
Вместе с тем, часто возникает необходимость рассмотрения обратной задачи, которая заключается в определении неизвестного входного воздействия на основе результатов регистрации откликов на входе системы (восстановление входного сигнала по эмпирическим данным). Очевидно, что речь идет о компенсации искажающего действия аппаратной функции, что особенно целесообразно для улучшения разрешающей способности различного рода измерительных приборов, включая радиолокаторы, радиометры, оптические системы регистрации сигналов и др.
Другим важным источником обратных задач служит синтез входных воздействий, которые позволяют получить наилучшую аппроксимацию желаемого отклика (например синтез диаграмм направленности антенн).
В качестве математической основы при восстановлении сигналов естественно воспользоваться представлением (1), которое при решении обратной задачи должно рассматриваться как интегральное уравнение Фредгольма первого рода (ИУФ1).
Известно, что задача решения ИУФ1 в математическом смысле является некорректной. Это существенно осложняет построение вычислительных процедур восстановления входных сигналов, так как в эмпирических данных ь у (у) = «(у)+*М= я{у, х)/(х)ск + Е{у), уе[с, с1}, (2) а неизбежно присутствуют погрешности регистрации е (у). И даже небольшой их уровень может привести к неконтролируемо большим погрешностям восстановления сигналов, если не использовать специальные методы регуляризации (повышение устойчивости результатов вычислений к воздействию погрешностей исходных данных). Таким образом, имеется возможность вычислений только приближений входных сигналов.
Широкая распространенность в различных областях науки и техники описываемых моделью (1) линейных систем и настоятельная необходимость повышения их эффективности за счет восстановления входных сигналов явились источником большого количества исследований возможных подходов к построению соответствующих вычислительных процедур. В подавляющем большинстве наиболее известных методов задача восстановления рассматривается с позиций обеспечения устойчивости вычислений, для чего должны быть использованы те или иные априорные сведения либо предположения.
Среди них особо широкую известность приобрел метод регуляризации Тихонова А. Н., в котором реализована идея преобразования исходного уравнения первого рода (1) к уравнению второго рода на основе вариационного принципа минимизации регуляризирующего функционала, в конструкции которого используются эвристический функционал — стабилизатор.
Разработке теоретических основ и применениям метода Тихонова А. Н. посвящены работы многих исследователей, в результате чего он приобрел достаточную известность и по-видимому, достигнут предел его совершенствования. Вместе с тем в виду общности подхода метод остается сложным в реализации и непрозрачен с точки зрения анализа возникающих погрешностей.
На наш взгляд, основной особенностью большинства известных методов решения обратной задачи на основе уравнения (1) является формально-математический подход без изучения вопроса о том, какие входные воздействия или их компоненты доступны восстановлению на основе эмпирических данных, и какова форма их представления.
Ответ на этот вопрос позволяет построить адекватные вычислительные процедуры, устойчивые к воздействию погрешностей регистрации, и позволяющие осуществить анализ погрешностей определения доступных восстановлению компонент входных сигналов. Этот подход и реализован в данной диссертации.
Целью работы является разработка вариационных алгоритмов восстановления сигналов в линейных системах на основе адекватного учета имеющейся о них информации в обрабатываемых исходных данных.
Для достижения этой цели были сформулированы и решены следующие задачи:
1. Разработка математических представлений доступных для восстановления компонент входных сигналов в линейных системах, информация о которых имеется в зарегистрированных откликах.
2. Разработка адекватной вариационной процедуры устойчивых вычислений приближенных значений доступных для восстановлений компонент входных сигналов с адаптивным оцениванием непосредственно по эмпирическим данным евклидовой нормы погрешности регистрации отклика.
3. Исследование устойчивости и точностных характеристик разработанной вычислительной процедуры.
4. Разработка вычислительных процедур обработки эмпирических данных для повышения разрешающей способности радиолокационных измерений и восстановления линейно смазанных фотографических изображений с адаптивным оцениванием величины смаза.
5. Разработка программно-алгоритмической поддержки восстановления входных сигналов в линейных системах и ее апробация при решении реальных и модельных задач обработки эмпирических данных.
Методы исследований:
• Методы системного анализа и синтеза на основе использования вариационных принципов.
• Методы теории линейных пространств и линейной алгебры.
• Вычислительные эксперименты. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.
Диссертация состоит из Введения, четырех глав и Заключения. Глава 1. Восстановление сигналов в линейных системах.
Заключение
.
Список литературы
- Агекян Т. А. Распределение истинных конфигураций тройных звезд. Астрон. журн., 1954,31, вып. 6, с. 544—549.
- Алексеев Г. А., Жиляков Е. Г. О численном решении обратной задачи рефракции. Тезисы докладов Всесоюзной конференции по распространению радиоволн. Харьков, 1990.-Часть2.-С.64.
- Алексидзе М.А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. 352 с.
- Андреянов Б.Г., Седельников Ю. Е. Использование методов восстановления для повышения угловой разрешающей способности радиометрических измерений Радиотехника и электроника, т. 34, 4,1989. 78−83.
- Арсении В.Я., Винокуров В. А., Свешников А. Г. Конференция, но некорректно поставленным задачам (Фрунзе, 1979 г.) Успехи мат. наук, 1980, 35, вып. 6 с. 184— 188.
- Афанасьев Ю.В., Студенцов Н. В., Хореев В. Н. и др. Средства измерений параметров магнитного поля. Л Энергия, 1979. 320 с.
- Бадаев В.В., Любовцева Ю.С, Туровцева Л. С. Определение микроструктуры аэрозоля по ореольным измерениям методом В. Ф. Турчина. Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1973,9, Ю, с. 1044−1053.
- Бакушинский А.Б. Замечания о методе Кунрадзе-Алексидзе Дифференциальные уравнения, том 4, J27, июль 1970г.
- Бакушинский А.Б., Гончарский А. В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М Изд-во Моск. Ун-та, 1989. 199 с ил. 28.
- Балабанов В.В., Жиляков Е. Г. О повышении разрешающей способности радиометрических измерений //Радиотехника и электроника, 1993, т. 38, № 12. П. Басистов Ю. А. Регуляризация по Тихонову задачи различения гипотез при неопределенности. Автоматика и телемеханика, 1981, 9, с. 49—59.
- Бахрах Л.Д., Кременецкий Д. Синтез излучающих систем (Теория и методы расчета). М.: Сов. радио, 1974. 232 с.
- Бейтс Р., Мак-Доннелл М. Восстановление и реконструкция изображений. М.: Мир, 1989.-334С.
- Берикашвили В.Ш. Комплекс процедур и программ для определения оптимальных параметров систем массового обслуживаиия. Программирование, 1976, 4, с. 101 106. 129
- Боровков А.А. Теория вероятностей. Изд. 4-е. М.: Едиториал УРСС, 2003. 472 с. Брагинская Т. Г., Клюбин В. В. Решение обратной задачи спектроскопии оптического смещения методом регуляризации Тихонова.— Л., 60 с.— (Препринт/ ЛИЯФ- 855).
- Брайсон А., Хо Ю-ши. Прикладная теория оптимального управления Оптимизация, оценка и упр. М.: Мир, 1972. 544 с.
- Бронштейн И.Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. 13-е изд. М Паука, 1986. 544 с.
- Вайнштгйн Б.К. Трехмерная электронная микроскопия биологических макромолекул. Успехи физ. наук, 1973,109, вып. 3, с. 455—497.
- Ванштейн Л.А., Зубаков В. Д. Сов.радио, 1960.-447 с. Вьщеление сигналов на фоне случайных помех. М.:
- Василенко Г. И. Теория восстановления сигналов: О редукции к идеальному прибору в физике и технике. М.: Сов. Радио, 1979. 272 с. 23.
- Васин В.В. Об устойчивом вычислении производной. ЖВМ и МФ, 1973,13, №
- Васин В.В., Танана В. П. Об устойчивости проекционных методов при решении некорректных задач. Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1975, 15, 1, с. 1929.
- Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. М.: Паука, 1980.-208 с.
- Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Справочное пособие. Киев. Паукова думка 1986.
- Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Методы решения интегральных уравнений с программами для ЭВМ. Киев Паук, думка, 1978.— 292 с. 28.
- Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Паука, 1977. 304 с. Воеводин В. В., Тыртышников Е. Е. Вычислительные процессы с теплицевыми матрицами. М.:Паука, 1987 г.
- Войтович П.П., Савенко П. А. Синтез антенн по заданной амплитудной диаграмме и родственные задачи квазиоптики (обзор). Радиотехника и электрон., 1979, 24, вып. 8, с. 1485—1500. 31.
- Воробьев Ю.В. Метод моментов в прикладной математике. М. Физматгиз, 1
- Галайдин П.А., Замятин И. А., Иванов В. А. Расчет и проектирование электромагнитных систем магниторезонансных томографов. Уч. Пособие СПб: Издво ИТМО, 1998.29 с. 130
- Гласко В.Б., Володин В. А., Мудрецов Е. А., Нефедова Н. Ю. О решении обратной задачи гравиразведки для контактной поверхности на основе метода регуляризации.Физика Земли, 1973, 2, с. 3 0 1
- Гласко В.Б., Гущин Г. В., Старостенко В. Я. О применении метода регуляризации А.Н. Тихонова к решению нелинейных систем уравнений. Жури, вычисл. математики и мат. физики, 1976,16, 2, с. 283—292.
- Гласко В.Б., Тимофеев Ю. М. Использование метода регуляризации для решения задачи термического зондирования атмосферы. Физика атмосферы и океана, 1968, 4, Jo3,c. 303—310.
- Гласко В.Б., Тихонов А. Н., Тихонравов А. В. О синтезе многослойных покрытий. Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1974,14, 1, с. 135—144. 39.
- Голд В., Рейдер Ч. Цифровая обработка сигналов. М.: Сов. радио, 1973. 367 с. Гольденберг Л. М., Матюшкин Б. Д., Поляк М. Н. Цифровая обработка сигналов. М.: Радио и связь, 1985. 308 с.
- Гончарский А.В., Черенащук A.M., Ягола А. Г. Численные методы решения обратных задач астрофизики. М Наука, 1978.
- Горчакова И.А., Малкевич М.С, Турчин В. Ф. Определение вертикального профиля влажности атмосферы по измерениям собственного излучения Земли. Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1970, 6, 6, с. 565—576.
- Гурари Л.М., Рукман Г. И., Толпина СП. О решении уравнения Фредгольма I рода с лоренцевским ядром в задачах допплеровской спектроскопии.— Метрология, 1977, 7, с. 26—30.
- Демидович В.Б. Восстановление функции и ее производных по экспериментальной информации. В кн.: Вычисл. Матем. И программирование, VIII, М.: МГУ, 1967.
- Денисов A.M. Об аппроксимации квазирешений некоторых интегральных уравнений первого рода.— Там же, 1974,14, 1, с. 222—230. 46.
- Джейсуол Н. Очереди с приоритетами. М.: Мир, 1973. 280 с. Дженкинс Г., Вате Д. Спектральный анализ и его приложения. М.: Мир, 1971. Вып. I.-315C.
- Джонсон Д. X. Применение методов спектрального оценивания к задачам определения угловых координат источников излучения. ТИИЭР, 1982, 70, 9, с. 126—139. 131
- Долгополова Т.Ф., Иванов В. К. О численном дифференцировании. ЖВМ и МФ, 1966,6, № 3. 51.
- Дружкин Л.А. Задачи теории поля. М.: Изд-во МИРГЭ, 1964. 462 с. Есепкина Н. А., Корольков Д. В., Парийский Ю. М. Радиотелескопы и радиометры. М.: Наука, 1973.
- Жиляков Е.Г. Метод построения восстанавливающих операторов для уравнений типа свертки Проблемы передачи информации, 1993, I. 25−32.
- Жиляков Е.Г. Метод построения ядер обратных операторов для приближенного решения интегральных уравнений типа свертки Электронное моделирование, 1992, N2 2. 34−40.
- Жиляков Е.Г. О восстановлении сигналов. Радиотехника и электроника, 2002, том 47, № 1,с. 1−6.
- Жиляков Е.Г. О вычислении приближенных решений интегральных Фредгольма первого рода с использованием эмпирических уравнений данных. Дифференциальные уравнения, № 7,2003 г.
- Жиляков Е.Г. О приближенном решении интегральных уравнений типа свертки. Тезисы докладов Всесоюзной конференции «Математическое моделирование в энергетике», Киев, 199О. Часть2.-С. 116.
- Жиляков рассеяния. Е. Г. Повышение разрешающей Тезисы докладов Всесоюзной способности метода по некогерентного распространению конференции радиоволн. Харьков, 1990, 116.
- Жиляков Е.Г. Теория и методы обработки сигналов в задачах автоматизации технологических процессов и научных исследований. Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук. Харьков 1993.
- Жиляков Е.Г., Попов И. Г. Метод восстановления входных сигналов в линейных системах Вестник Национального технического Сборник научных университета «Харьковский выпуск: политехнический институт». трудов. Тематический Информатика и моделирование. Харьков: НТУ «ХПИ». 2003. № 26. с.58−62
- Жиляков Е.Г., Попов И. Г. Программная система анализа и восстановления сигналов по эмпирическим данным Зарегистрировано в Отраслевом фонде алгоритмов и программ Федерального агентства по образованию, свидетельство 5494, номер государственной регистрации 50 200 501 790 от 20.12.2005г. 132
- Жиляков Е.Г., Попов И. Г., Чижов И. И. О дифференцировании, интерполяции, экстраполяции и фильтрации дискретных сигналов Научные ведомости Белгородского государственного университета. 2004. № 1(19), вып 1, с.3−14
- Жуков В. Б. Расчет гидроакустических антенн по диаграмме направленности.— Л.: Судостроение, 1977.— 184 с.
- Зелкин Е.Г., Соколов В. Г. Методы синтеза антенн: фазированные антенные решетки и антенны с непрерывным раскрывом. М.: Сов. радио, 1980.— 296 с.
- Зюко А.Г., Кловский Д. Д., Назаров М. В., Финк Л. М. Теория передач сигналов.— М. Связь, 1980. 2 8 8 с.
- Иванов В.К. О линейных некорректных задачах. ДАН СССР, 1962, 145, 2, с. 270 272.
- Иванов В.К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.206 с.
- Интегральные уравнения. П. П. Забрейко, Л. И. Кошелев, М. А. Красносельский и др. М.: Наука, 1968.-448 с. 70. Кеч В., Теодореску П. Введение
- Клей К., МедБИн Г. Акустическая океанография Основы применения.— М. Мир, 1980.—582 с. 72.
- Клейнрок Л. Теория массового обслуживания.— М.: Машиностроение, 1979.— 431 с. Колмогоров А. Н., Фомин С В Элементы теории функций и функционального анализа. М., 1968 г., 496 стр. с илл. 74.
- Краснов М.Л. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1
- Красный Л.Г., Скрипниченко С В Оптимальное измерение координат источников шумовых акустических сигналов.— Акуст. журн., 1979,25, вып. 6, с. 893—901.
- Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики.Новосибирск: Изд-во Сиб. отд-ния АН СССР, 1962.- 68 с.
- Лаврентьев М.М., Романов В. Г., Шишатский СП. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 287 с.
- Лисковец О. А Вариационные методы решения неустойчивых задач. Минск: Наука и техника, 1981. 344 с. 133
- Ловелл Б., Клегг Дж. Радиоастрономия. М.: Изд-во иностр. лит., 1953. 240 с. Мальцев И. А. Линейная алгебра. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2001. 316 с.
- Морозов В. А, О решении методом регуляризации некорректно поставленных задач с нелинейным неограниченным оператором. Дифференц. уравнения, 1970, 6, 8, с. 1453—1458.
- Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.- Наука, 1987.240 с. 83.
- Немировский М. Цифровая передача информации. М Связь, 1980. 255 с. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы: Пер. с англ.-М.: Мир, 1983. 384 с.
- Натрик Е.А. Основы теории распознавания образов. М. Сов. радио, 1980. 408 с.
- Петров Ю.П., Третий класс задач физики и техники промежуточных между корректными и некорректными. СПб.: Изд-во СпбГУ, 1998. 30 с.
- Петров Ю.П., Сизиков B.C. Корректные, некорректные и промежуточные задачи с приложениями: Учебное пособие для вузов. О СПб: Политехника, 2003. 261 с ил.
- Пози Дж. Л., Брейсузлл Р. Н. Радиоастрономия.— М.: Изд-во иностр. лит., 1958.— 350 с.
- Попов И.Г. О восстановлении входных сигналов в линейных системах Системный анализ и обработка информации в интеллектуальных системах сб. науч. тр. каф. автоматизир. систем обр. инф. и упр. Вып. 3 под общ. ред. Ф. Ф. Иванова Сургут. Гос. Ун-т. Сургут Изд-во СурГУ, 2005. с. 66−73
- Попов И.Г. О регуляризации приближенного решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода 8-й международный молодежный форум «Радиоэлектроника и молодежь в XXI веке»: Сб. материалов форума. Харьков: ХНУРЭ.Ч.2.2004Г.С.160
- Попов И.Г. Повышение разрешающей способности линейных измерительных приборов //Сборник студенческих научных работ: В 3-х ч. Белгород: Изд-во БелГУ, 2004. Вып. VII. Ч. I. с.35−40
- Попов И.Г. Устойчивый алгоритм приближенного решения интегрального уравнений Фредгольма первого рода Научные ведомости Белгородского государственного университета. 2006. № 1(21), вып. 2, с. 7−12
- Преображенский Н.Г., Пикапов В. В. Неустойчивые Новосибирск: Наука, 1982. 134 задачи диагностики плазмы.
- Пытьев Ю.П. Методы анализа и интерпретации эксперимента. М.: Изд-во МГУ, 1990.-288 с.
- Пытьев Ю.П., Чулличков А. И. Прибор+ЭВМ=новые возможности. М.: Знание, 1983. 6 4 с. 97. 98.
- Раутиан Г. Реальные спектральные приборы. УФН, 1958, т. 66, вып.
- Ректорис К. Вариационные методы в математической физике. М.: Мир, 1
- Саульев В.К. Математические модели теории массового обслуживания. М. Статистика, 1979. 96 с.
- Сборник научных программ на Фортране /М.: Статистика, 1974. Вып. 1. 314 с- Вып. 2. 222 с.
- Свистов В.М. Радиолокационные сигналы и их обработка. М.: Сов. радио, 1977. 448 с. 102.
- Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. СПб.: Питер, 2003. 604 с ил. Сизиков B.C. Математические методы обработки результатов измерений: Учебник для вузов. СПб: Политехника, 2001. 240 с ил.
- Сизиков B.C. Применение метода интегрального уравнения в задаче углового разрешения сигналов. Вопр. судостроения. Сер. общетехн., 1981, вып. 60, с. 34−38.
- Сизиков B.C., Ахмадулин Р. И., Николаев Д. Б. Синтез магнитного поля вдоль оси катушки ЯМР-томографа Изв. вузов. Приборостроение, 2002, т. 45, № 1, с. 52−57.
- Сизиков B.C., Белов И. А. Реконструкция смазанных дефокусированных изображений методом регуляризации Оптич. Ж., 200, т. 67, 2 4, с. 60−63 Г
- Смарышев М. Д. Направленность гидроакустических антенн. Д.: Судостроение, 1973. 2 8 0 с.
- Смирнов В.И. Курс высшей математики, том четвертый, часть первая. М., 1974 г., 336 стр. с илл.
- Сосулин Ю.Г. Теория обнаружения и оценивания стохастических сигналов. М. Сов. радио, 1978. 3 2 0 с.
- Старостенко В.И. Устойчивые численные методы в задачах гравиметрии. Киев: Наук, думка, 1978. 228 с.
- Страхов В.Н. К вопросу о скорости сходимости и методе простой итерации. Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1973, 6, с. 1602 -1606. 135
- Титчмарш Е. Введение
- Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач. ДАН СССР, 1963, 153, 1 с. 49−52.
- Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач. ДАН СССР, 1963, 151, № 3.
- Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач. ДАН СССР, 1943, 39, 5, с. 195 198.
- Тихонов А.Н., Арсенин В. Я., Тимонов А. А. Математические задачи компьютерной томографии. М.: Наука, 1987.160 с. Тихонов А. Н., Виткевич В. В., Артюх B.C. и др. О восстановлении распределения радиояркости по источнику. Астроном, журн., 1969,46, 3, с. 472—480.
- Тихонов А.Н., Гончарский А. В., Степанов В. В. Обратные задачи обработки фотоизображений Некорректные задачи естествознания Под ред. А. Н. Тихонова, А. В. Гончарского. М.: Изд-во МГУ, 1987, с. 185−195.
- Тихонов А.Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990. 232 с.
- Тихонов А.Н., Дмитриев В. И. О методах решения обратной задачи теории антенн. Вычисл. методы и программир., 1969, 13, с. 209—214. 124.
- Троицкий М.Н. Статистическая теория томографии. М.: Радио и связь, 1989. 240 с. Турчин В. Ф., Козлов В. П., Малкевич М. С. Использование методов статистики для решения некорректных задач 386.
- Уилкинсон, Райнш Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. Перевод с английского. Под ред. д-ра техн. наук проф. Ю. И. Топчева. М., «Машиностроение», 1976 г. Успехи физических наук, т. 102, вьш. З, 1970. 345- 136
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, т. I.-1969.-608 с.
- Халфин Л. А. Статистический подход к решению некорректных задач геофизики. В кн.: Исследования по статистической теории оценивания. П. Л. Наука, 1978, с. 67— 81.
- Хермен Г. Восстановление изображений по проекциям: Основы реконструктивной томографии. М.: Мир, 1983. 352 с. 132. 133.
- Христиансен У., Хегбом И. Радиотелескопы. М Мир, 1972. 239 с. Хургин Я. И., Яковлев В. П. Финитные функции в физике и технике .М.:Наука, 1971 г. Шамис В. А. C-b+Builder
- Техника визуального программирования. Издание второе, переработанное и дополненное. М.: «Нолидж», 2000.-656 с ил. 135.
- Ширман Я.Д. Разрешение и сжатие сигналов. М.: Сов. радио. 1974. 360 с. Якубов В. П., Симакова Н. А. Обратная задача рефракции в атмосфере Земли Радиотехника и электроника, 1987, т. 32- вьш. 7. 1367−1373. 137. Chu В., Gulari Е. Photon correlation measurements of colloidal size distributions. II. Details of histogram approach and comparison of methods of data analysis. Phys. scr., 1979, 19, N 4, p. 476—485.
- Hadamard J. Sur les problemes aux derivees partielles et leur signification physique.— Bull. Univ. Princeton, 1902,13, p. 49—52.
- Hadamard J. Le probleme de Cauchy et les equations aux derivees partielles Iineaires hiperboliques. Paris Hermann, 1932. 352 p.
- Holt J.H., Bracken A.J. First kind Fredholm integral equation of liver kinetics: numerical solutions by constrained least squares. Math. Biosci., 1980, 51, N ½, p. 11—24.
- Lavrentiev M.M. Numerical solution of conditionally properly posed problems.— In: Numerical solution of partial differential equations. II. SYNSPADE—1970. New YorK London: Academic, 1971.
- Levintal C. Molecular model-building by computer. —Sci. Amer., 1966, 214, N 6, p. 42— 52.
- Marchuk G. I. Formulation of the theory of perturbations for complicated models.— Appl. Math, and Optim., 1975,2, N 1, p. 1—33. 137