Автоморфизмы исключительных простых алгебр ЛИ

Работа относится к актуальному направлению теории алгебр Ли — классификации и исследованию простых алгебр Ли над полями характеристики р > 0. Классификация простых р-алгебр Ли была получена Р. Блоком и Р. Вильсоном [29] в 1984 г. для р > 7. В 1991 г. X. Штраде и Р. Вильсон [44] анонсировали доказательство гипотезы Кострикина-Шафаревича в общем случае также при р > 7. Согласно этой гипотезе простая алгебра Ли либо является классической, либо изоморфна простой алгебре Ли картановского типа. В последние годы появились результаты А. Премета и X. Штраде по классификации простых алгебр Ли при р = 5,7. Классификация простых алгебр Ли для р = 2,3 неизвестна. Здесь существуют отдельные серии простых исключительных алгебр Ли, которые не встречаются в больших характеристиках.

Для классификации простых алгебр Ли особый интерес представляют структурные свойства известных простых алгебр. Основными классами простых алгебр Ли являются классические алгебры Ли и алгебры Ли картановского типа. Автоморфизмы и дифференцирования алгебр Ли картановского типа исследовались М.Ю. Целоусо-вым, В. Кацем, Р. Вильсоном, М. И. Кузнецовым, С. М. Скрябиным ([27], [7], [45], [12], [34], [24], [40], [41]). Автоморфизмы классических алгебр Ли изучались особенно тщательно в связи с классификацией конечных групп (теория групп Шевалле). Однако автоморфизмы классических алгебр в случае малой характеристики основного поля были исследованы сравнительно недавно Д. Фрохардтом и Р. Гриссом

321).

В настоящей работе исследуются автоморфизмы и дифференцирования следующих простых алгебр Ли: алгебр Меликяна д (ш), алгебр Скрябина Z (m) и ^(т), алгебры серии R. Все эти алгебры градуированные и тесно связаны с алгебрами Ли картановского типа.

Описание автоморфизмов основано на инвариантности некоторых максимальных подалгебр. В работе доказывается, что подалгебра /2(о) = Ro + R + • • • + Rs алгебры серии R инвариантна относительно автоморфизмов. Аналогичные результаты для алгебр 2(т) и F (m) получены С. М. Скрябиным в 1992 г. ([23]), для алгебры Франк Fr (m) — О. А. Муляр в 2001 г. ([18]), для алгебры Ме-ликяна — М. И. Кузнецовым в 1991 г. ([34]). В 1990 г. С. А. Кириллов показал, что максимальная подалгебра алгебры Меликяна является нормализатором сэндвичевой подалгебры, откуда также следует ее инвариантность ([6]).

Обозначим через L одну из рассматриваемых алгебр. Инвариантность фильтрации, соответствующей градуировке, позволяет определить фильтрацию в группе автоморфизмов Aut L = Aut (p)L D Aut ()L D. D Aut (j)L D. следующим образом:

Aut (i)L = {ip? Aut L ip — I: L^ —" L (J+i)}.

Обозначим AutoL группу автоморфизмов, сохраняющих Z-градуи-ровку. Очевидно, Aut L — полупрямое произведение AutoL и Aut^L. Таким образом, проблема описания автоморфизмов разбивается на две задачи: описать группы AutoL и Aut^L.

Рассматриваемые алгебры обладают также Z^-градуировкой где Lq — алгебра Ли картановского типа, Lj, г ф 0 — Lg-модуль тензорных плотностей. В таком случае говорят, что алгебра L имеет геометрическую реализацию. Отметим, что для алгебры Меликяна б (т) <7 = 3, для алгебры Скрябина 2(т) q = 4, а для алгебр У (ш) и R (m) q = 2.

Обозначим Aut^L подгруппу геометрических автоморфизмов (так называются автоморфизмы, сохраняющие Lq). Нетрудно видеть, что AutoL С AutoL. В работе доказывается следующее

Предложение 1 Пусть res: АиЦЬ —> Aut W (n: m) — гомоморфизм ограничения (Lq = W (n: m)), fiq — групповая схема корней степени q из 1. Тогда следующая последовательность точна:

1 —> р, ч —> АиЦЬ Aut W (n: m) —> 1. П

Затем описывается группа Aut^L. Отметим, что Ф Е Aut (k) L можно записать следующим образом:

Ф = 1 + Фк + Ф^+1 +. + Ф, + ., где Фj: Ls —" Ls+j, j > к. Нетрудно показать, что Ф&является дифференцированием алгебры L. Очевидно, что Ф&Е Der& L, где Der^L — соответствующий член градуировки в алгебре дифференцирований Der L. Таким образом, описание Aut^L сводится к следующей задаче: найти все дифференцирования D Е Derk L, такие что D = Ф&для подходящего автоморфизма Ф.

Сначала находим все дифференцирования. Для серий g, Z, У выделим следующие общие свойства:

1) L-i = Llx, г = 1,., q — попарно неизоморфные нетривиальные неприводимые Lo-модули;

2) для любого От^ х Е Li, i > О, [х, Li] ф 0 и [х, L-q] ф 0;

3) в соответствующей Zg-градуировке

L = Lq + Lj +——Ь L^pj, Ls = ®i=s (q)Li, a) Lq = W (n: m) = W, где m = (mb ., mn), b) L^ - неприводимый Lq-модуль, s = 1, q — 1;

4) Подалгебра L (o) = Фг>о^г инвариантна относительно автоморфизмов L;

5) Н*(Ь0,Ь-г) = 0, г = t = 0,1;

6) Lo-модули L-i, i = 1,., q не являются факторами композиционного ряда первого члена Wji] стандартной градуировки алгебры W.

Теорема 1 Пусть L — простая алгебра Ли, удовлетворяющая условиям 1)-6).

1) DerL = где Lq — р-замыкание Lq в DerL, Lj = Lj, если Ls = cw (Ls-q) и Lj = Bk (Q) С Zj С Zk (Q), если L" ^ cw{Ls-q)

2) Для I G L (, i = —1,., — (q — 1) существует V G Lpi, такое что (ad l) p = ad I'. ?

Из теоремы 1 непосредственно получаем

Следствие 1 (1) Если L = ?J (mi, гаг) — алгебра Меликяна, то

Der L = Z^ 4- Ly + Z/2.

2) Если L = У (т1,т2,тз), то

DerL = Lj.

3) Если L = Я (т1,Ш2,тз), то

DerL ^ Z^ + LT + Lz + Z2(Q), где Z2(Q) — пространство замкнутых форм степени 2. ?

Теперь, зная дифференцирования, мы должны выяснить, продолжается ли D Е Der L до автоморфизма алгебры L, где L — это или алгебра Меликяна д (т) или алгебра Скрябина У (ш). Этот вопрос решается с помощью когомологий, так как препятствие к продолжению является элементом Z2(L, L). Для алгебр 0(ш), ^(ш), используя вложение в W, мы сводим вычисление препятствий к нахождению группы Hl (L, W/L). И вот здесь существенным образом используются коиндуцированные модули.

Теорема 2 Пусть L — простая алгебра Ли, удовлетворяющая условиям 1)-6). Предположим, что q < р и Lj — неисключительный W-модуль для любого s G

1) Если i ф 0{mod q), i > 0, то

Aut (i)L/Aut (i+i)L = Li.

2) Если D € Li, i > О, г = 0(mod q), то ad D продолжается до автоморфизма алгебры L тогда и только тогда, когда ad D продолжается до автоморфизма алгебры Lq = W (n: m). ?

Алгебра серии R не удовлетворяет этим б свойствам, поэтому для нее приведено отдельное доказательство.

Теорема 3 DerR = Rq + Q2, где Rq — р-замыкание Rq в DerR, Q2 -пространство форм степени 2. ?

Пусть G = Aut R, Lie G — алгебра Ли G, Lie G = Qq © Qj — индуцированная Z2—градуировка.

Теорема 4 Qq = Lie Aut W (2: m), QT = m (2)f22, где m — максимальный идеал 0(2: ш). ?

Опишем структуру диссертации и содержание отдельных глав. В главе 1 собраны сведения из теории алгебр Ли, которые используются в работе. Приводятся определения алгебры разделенных степеней, общей алгебры Ли картановского типа, дифференциальных форм, когомологий алгебры Ли, транзитивных градуированных алгебр Ли, а также приведена общая схема исследования автоморфизмов градуированных алгебр Ли.

Во второй главе дано описание исключительных простых алгебр Ли: алгебр Меликяна g (m), алгебр Скрябина Я (т), ^(т), алгебр серии R.

В третьей главе описаны геометрические автоморфизмы.

В четвертой главе собраны основные определения и теоремы из теории усеченных коиндуцированных модулей ([12]). Приведена теорема о минимальном вложении, формула для вычисления когомоло-гий транзитивной алгебры Ли с коэффициентами в усеченном коин-дуцированном модуле.

В главе 5 доказаны три теоремы об абелевых подалгебрах в W (n: m), У (т) и R (m), которые существенно используются для нахождения алгебры Ли группы автоморфизмов алгебр ^(т) и алгебр серии R.

В шестой главе описаны дифференцирования исключительных простых алгебр Ли. Отдельно рассмотрены алгебры, удовлетворяющие условиям 1)-6) (алгебры Скрябина >2(т), ^(ш), алгебры Меликяна д (т)), и алгебры серии R.

В седьмой главе приведено доказательство инвариантности стандартной максимальной подалгебры алгебры серии R.

В главе 8 исследована продолжаемость дифференцирования до автоморфизмов алгебры Меликяна g (mi, тг) характеристики 5 и алгебры Скрябина У (ш1,т2,тз) характеристики 3.

В девятой главе найдена алгебра Ли группы автоморфизмов алгебры Скрябина ^(m) = У Для однородного дифференцирования D G DeriY, г > 0, продолжающегося до автоморфизма, строится однопараметрическое семейство s Е К} С Aut У, такое что рау2 = ехР 5 ad D. Очевидно, что ^f-|s=o|y2 = ad D |у2. В работе доказывается, что дифференцирование D G DeriY, i > 0 однозначно определяется своим действием на У12- Отсюда получаем, что ^|s=0 = ad De Lie Aut Y.

В главе 10 получено описание автоморфизмов алгебр серии R, найдена алгебра Ли группы автоморфизмов.

Результаты диссертации докладывались на XI Международной школе-семинаре по современным проблемам теоретической и математической физики, Казань, 1999; IV нижегородской сессии молодых ученых, Н. Новгород, 2000; XXII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ, Москва, 2000; IV Международной алгебраической конференции, посвященной 60-летию профессора Ю. И. Мерзлякова, Новосибирск, 2000; международном семинаре по теории групп, посвященном семидесятилетию А. И. Старостина и восьмидесятилетию Н. Ф. Сесекина, Екатеринбург, 2001; международной алгебраической конференции, посвященная памяти З. И. Боревича, С.-Петербург, 2002; V международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», Тула, 2003; на алгебраическом семинаре МГУ (Москва) и опубликованы в работах [13] - [16], [18] - [21], [36], [37].

1. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Гл. 1. III. — М.: Мир, 1976. -496 с.

2. Гишарде А. Когомологии топологических групп и алгебр Ли. -М.: Мир, 1984. 258 с.

3. Джекобсон Н. Алгебры Ли. М.:Мир, 1964.

4. Джумадильдаев А. С. Деформации алгебр Ли ^&bdquo-(т) // Матем. сб. 1989. — Т. 180 (№ 2). — С. 168−185.

5. Ермолаев Ю. Б. Семейство простых алгебр Ли над полем характеристики 3. V Всесоюзный Конгресс по теории колец, алгебр и модулей: Тез. докл. 1982. — С. 52−53.

6. Кириллов С. А. Сэндвичева подалгебра в алгебрах Меликяна. Ин-т прикладной физики АН СССР, Препринт № 285, Горький. 1990.

7. Кац В. Г. Описание фильтрованных алгебр Ли, с которыми ассоциированы градуированные алгебры Ли картановского типа // Изв. АН СССР, сер. матем. 1974. — Т. 38. — С. 800−834.

8. Кострикин А. И. Параметрическое семейство простых алгебр Ли // Изв. АН СССР, сер. матем. 1970. — Т. 34. — С. 744−756.

9. Кострикин А. И., Шафаревич И. Р. Градуированные алгебры Ли конечной характеристики // Известия АН СССР, сер. матем. -1969. Т. 33. — С. 251−322.

10. Крылюк Я. С. Алгебры картановского типа: представления и продолжения. Дисс. канд. физ.-мат. наук. М., 1978.

11. Кузнецов М. И. Классификация простых градуированных алгебр Ли с неполупростой компонентой Lq / / Матем. сб. 1989. — Т. 180 (№ 2). — С. 147−158.

12. Кузнецов М. И. Усеченные индуцированные модули над транзитивными алгебрами Ли характеристики р // Изв. АН СССР, сер. матем. 1989 — Т. 53. — С. 557−589.

13. Кузнецов М. И., Муляр О. А. Алгебры Меликяна и их автоморфизмы. XI Международная школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики: Тез. докл. -Казань: «Хэтер», 1999. С. 68.

14. Кузнецов М. И., Муляр О. А. Автоморфизмы р-алгебры Меликяна. Четвертая нижегородская сессия молодых ученых: Тезисы докл., Ч. I. Н. Новгород: Нижегородский гуманитарный центр, 2000. — С. 69−70.

15. Кузнецов М. И., Муляр О. А. Алгебры Меликяна и их автоморфизмы. IV Международная алгебраическая конференция, посвященная 60-летию профессора Ю. И. Мерз л якова: Тез. докл. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2000. — С. 99−100.

16. Меликян Г. М. О простых алгебрах Ли характеристики 5 // УМН. 1980. — Т.35, вып.1. — С. 203−204.

17. Муляр О. А. Автоморфизмы неклассических простых алгебр Ли. V Международная конференция «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения»: Тез.докл. Тула: Изд-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого, 2003. — С. 163−164.

18. Муляр О. А. Автоморфизмы и дифференцирования исключительных простых алгебр Ли серии R. Записки научных семинаров ПОМИ

19. Рудаков А. Н. Деформации простых алгебр Ли // Изв. АН СССР, сер. мат. 1971. — Т. 35. — С. 1113−1119.

20. Скрябин С. М., Новые серии простых алгебр Ли // Матем. сб. -1992. Т. 183 (№ 8). — С. 3−22.

21. Скрябин С. М. Изоморфизмы и дифференцирования модулярных алгебр Ли картановского типа // Успехи мат. наук. 1987. т. С. 201−202.

22. Фукс Д. Б. Когомологии бесконечномерных алгебр Ли. М.: Наука, 1984. — 272 с.

23. Хамфри Дж. Линейные алгебраические группы. М.:Наука, 1980. — 400 с.

24. Целоусов М. Ю. Дифференцирования алгебр Ли картановского типа // Изв. вузов. Математика. 1970. — № 7. — С. 126−134.

25. Чан Нам Зунг. О двух классах простых алгебр Ли над полем характеристики 3 // Вестн. МГУ, сер. Математика и механика.- 1992. №. — С. 12−15.

26. Block R.E., Wilson R.L. Classification of the restricted simple Lie algebras // J. Algebra. 1988. — V.114. — P.115−259.

27. Brown G. Families of simple Lie algebras of characteristic two // Commun. Algebra. 1995. — V. 23. — P. 941−954.

28. Brown G. On the structure of some Lie algebras of Kuznetsov // Michigan Math.J. 1992. — V. 39 (№ 7). -P. 85−90.

29. Frohardt D.E., Griess R.L.(Jr.). Automorphisms of modular Lie algebras // Nova J. Alg. Geom. 1992. — V.l. — P. 339−345.

30. Hochschild G., Serre J.P. Cohomology of Lie algebras // Ann. Math.- 1953. V. 57 (№). — P. 591−603.

31. Kuznetsov M. I Melikyan Algebras as Lie Algebras of Type G2 // Communications in Algebra. 1991. — V. 19 (№ 4). — P. 1281−1312.

32. KuznetsovM.I. On Lie algebras of contact type//Communications in Algebra. 1990. — V. l8 (№ 9). — P. 2943−3013.

33. Kuznetsov M. I, Mulyar O.A. Automorphisms of exceptional simple Lie algebras // Communications in Algebra. 2001. — V.29 (№ 9). -P. 3919−3934.

34. Mulyar O.A. The automorphisms and derivations of exceptional simple Lie algebras of series R (p = 3). International algebraic conference dedicated to the memory of Z.I. Borevich: Abstracts.-St.Peterburg: POMI, 2002. P. 130−131.

35. Seligman G.B. Modular Lie algebras. N.Y.:Springer-Verlag, New York. Inc., 1967.

36. Skryabin S.M. Tori in Melikyan algebra // J. Algebra, to appear

37. Skryabin S.M. Modular Lie algebras of cart an type over algebraically non-closed fields, I // Communications in Algebra. 1991. — V.19. P. 1629−1741.

38. Skryabin S.M. Modular Lie algebras of cartan type over algebraically non-closed fields, II // Communications in Algebra. 1995. — V.23. P. 1403−1453.

39. Strade H. The classification of the simple Lie algebras over fields with positive characteristic. Hamburger Beitrage zur Mathematik, Heft 31: Hamburg, 1997.

40. Strade H.- Farnsteiner R. Modular Lie algebras and their representations. Marcel Dekker Textbooks and Monographs, v. 116- Marcel Dekker, Inc.: New York, 1988.

41. Strade H., Wilson R.L. Classification of simple Lie algebras over algebraically closed fields of prime characteristic // Bull. Amer.Math.Soc. 1991. — V.24 (№ 2). — P. 357−362.

42. Wilson R.L.Automorphisms of Graded Lie Algebras of Cartan Type. // Communications in Algebra. 1975. — V. 3 (№ 7). — P. 591−613.

43. Wilson R.L. Classification of generalized Witt algebras over algebraically closed fields // Trans.Amer.Math.Soc. 1971. — V. 153. -P. 191−210.

44. Zassenhaus H. The representations of Lie algebras of prime characteristic // Proc. Glasgow Math. Assoc. 1954. — V.2. — P. 1−36.