Краевые задачи теории аналитических и обобщенных аналитических функций с нагруженными свободными членами и с дополнительными заданиями граничных моментов

Большую известность и актуальность в теории краевых задач аналитических, обобщенных аналитических функций и сингулярных интегральных уравнений сыграли монографии И. Н. Векуа [3], Ф. Д. Гахова [5], Н. И. Мусхелишвили [16] и Л. Г. Михайлова [17]- что касается их дальнейших продвижений, то прежде всего следует указать на сыгравшую важную роль в построении теории обобщенных систем Коши-Римана (О. С. К. Р) статью Л. Г. Михайлова [20]. Здесь было дано полное исследование и эффективное решение задачи сопряжения и решений О. С. К. Р.- достаточно четкая ссылка на [20], имеется также в завершающей монографии И. Н. Векуа 1959 г. [3].

К настоящему времени наибольшего развития достигла теория краевых задач для аналитических, обобщенных аналитических функции и соответствующие им особые интегральные уравнения. Это развитие обеспечено в основном трудами всемирно-известных математиков Н. И. Мусхелишвили, Ф. Д. Гахова, И. Н. Векуа, Л. Г. Михайлова, В. Н. Монахова, С. Н. Антонцева, Э. И. Зверовича, С. М. Никольского, В. А. Ильина, Н. Р. Раджабова, 3. Д. Усманова и их учеников. В подавляющем большинстве исследований искомые функции являются либо аналитическими всюду, кроме линии разрыва, либо мероморфными. Например, часто ищутся функции, допускающие определенный конечный порядок на бесконечности.

В краевых задачах теории аналитических функций (а. ф.) и обобщенных аналитических функций (о. а. ф.) центральное положение занимают две основные краевые задачиэто задача Римана (или задача сопряжения) [5], а также задача Гильберта [3], [5]. К ним примыкает теория сингулярных интегральных уравнений с ядрами Коши и Гильберта. За многие годы развития теории краевых задач а.ф. и о.а.ф. было изучено немалое количество различных обобщений, задачи Римана и Гильберта и соответствующие им сингулярные интегральные уравнения. С другой стороны еще с 19го — века была известна теория интегральных уравнений Фредгольма, а также её обобщения на так называемые нагруженные интегральные уравнения изучавшиеся в работах А. Кнезера ([31], стр.156), Лихтенштейна [14], Гюнтера Н. М. [2]. В силу этого вполне естественным будет рассмотреть нагруженные краевые задачи.

В настоящей диссертации будут рассмотрены следующие три типа обобщений указанных краевых задач в классе а.ф. и два типа обобщений в классе о.а.ф.

1) Свободный член краевых условий нагружается новыми членами, состоящими из линейной комбинации заданных линейно-независимых функций 6}(1), 02(1),., 0п (1) с п коэффициентами а, а2,., ссп, которые наряду с искомой функцией ф (г) считаются неизвестными, либо остающиеся произвольными;

2) Из всего многообразия решений задачи, коэффициенты а, а2,., ап следует подобрать так, чтобы они удовлетворяли дополнительны^ заданиям^ граничных моментов (1.1.2) от искомых функций.

Задачи с нагруженными свободными членами и с дополнительными заданиями граничных моментов от искомых функций могут возникать в тех или иных ситуациях, как это было, например, в фундаментальных исследованиях Л. Г. Михайлова [18 — 21] в котором для общего линейного уравнения в частных производных второго порядка с лапласианом в главной части было получено интегральное представление многообразия всех решений через одну а.ф. комплексного переменного (это, во первых), а во вторых с его помощью пару вещественных условий сопряжения первых производных от решения удалось редуцировать к задаче сопряжения а.ф. (1.1.1) с дополнительными условиями типа моментов (1.1.2).

3) На искомую функцию ф (г) налагаются следующие дополнительные условия: кроме нагруженных краевых условий задается конечное множество точек Г = Г+ иГ = расположенных в областях о.

2)+ и и в проколотой окрестности и (Рк) каждой точки Рк задается Н — непрерывная функция (г). Считается, что неизвестная функция ф (г) имеет в окрестности точки ¥-к заданную главную часть (г), если она о непрерывно продолжима через границу окрестностей д и (Гк), а разность о ф (г) — 4к (г) для каждой к = 1,2,., п аналитична в окрестности и (Рк). Наиболее важный частный случай краевых задач с учетом заданных главных частей мы получим, если предполагать, что каждая функция аналитична в соответствующей проколотой окрестности о и (Гк) точки.

Первые исследования по краевым задачам теории а.ф. с учетом заданных главных частей и соответствующие им особые интегральные уравнения за рубежом были проведены румынскими математиками Якобом Каюсом (7соЬ КашБ) [32−36] и Сорином Гогонеа (Бопп Gogonea) [37 — 43] в связи с приложением к механике, а в отечественной литературе — автором [44 — 79].

Краевые задачи с учетом заданных главных частей и соответствующие им особые интегральные уравнения недостаточно еще исследованы. Основной причиной является на наш взгляд, сложившееся мнение, согласно которому условия нахождения функций аналитических в данной области, кроме дискретного множества точек, в которых заданы главные части Лорановского разложения искомых функций (первая проблема Кузена [15]) содержатся в качестве частных случаев в неоднородности который несёт свободный член краевого условия задачи. Однако с этим полностью согласиться нельзя, так как свободный член краевого условия всегда задается на линиях, а условия типа первой проблемы Кузена носят локальный характер, т. е. задаются в окрестностях отдельных точек.

Ввиду выше указанных различий 1) — 3), мы считаем, что проблема исследования нагруженных краевых задач с дополнительными условиями типа моментов на искомые функции является самостоятельной и более того актуальной и исследуется в настоящей диссертации для некоторых наиболее важных краевых задач в классе а.ф. и о.а.ф.

Эти три перечисленные дополнительные условия отличают исследуемые задачи от классических [3], [5], [16], [17], [28], [31].

Основными методами, применяемыми в диссертации являются:

1. Метод аналитического продолжения;

2. Метод интегральных уравнений;

3. Метод симметрии;

4. Метод введения дополнительных контуров (ВДК).

Ввиду важности, изложим кратко идею метода ВДК. Вводится о дополнительный контур, состоящий из границ дИ (?к) окрестностей о и (Гк). Рассматривается новая неизвестная функция, которая совпадает со о старой вне окрестностей и (Гк) и равна ф (г)-?к (г) внутри окрестности о и (Рк). Относительно новой функции получается краевая задача без учета заданных главных частей (классическая постановка) на новом контуре. Из решения этой последней задачи можно получить решение исходной задачи в случае РфФ. Метод ВДК хорошо известен в теории краевых задач. Например, с его помощью краевые задачи на разомкнутых кривых сводились к краевым задачам на замкнутых кривых с разрывными коэффициентами [5], [16]. Однако для исследования нагруженных краевых задач с дополнительными заданиями граничных моментов на искомой функции, впервые этот метод применяется нами в диссертации.

При исследовании краевой задачи методом ВДК обычно возникает краевая задача без учета заданных главных частей, имеющая тот же индекс коэффициента, что и исходная задача и вообще, остаются без изменения, все параметры, от которых зависят дефектные числа задачи (т.е. число произвольных постоянных входящих в общее решение, и число условий разрешимости неоднородной задачи).

Основной целью является исследование нагруженных краевых задач с дополнительными заданиями граничных моментов на искомые функции в классе а.ф. и о.а.ф. При этом основные вопросы, исследуемые в диссертации являются:

1. Нахождение необходимых и достаточных условий существования решений нагруженных краевых задач и соответствующие им особые интегральные уравнения с дополнительными условиями типа граничных моментов на искомые функции;

2. Вывод формул для общих решений и условий разрешимости нагруженных краевых задач и им соответствующие особые интегральные уравнения с дополнительными заданиями граничных моментов на искомые функции, причем особое внимание уделяется вычислению вкладов в общие решения, происходящих от нагруженных свободных членов и заданных главных частей;

3. Нахождение условий разрешимости и общих решений в тех частных случаях, когда предполагается аналитическая продолжимость заданных главных частей в некоторые области.

Научная новизна работы состоит в следующим:

1) Нагруженная краевая задача сопряжения и его соответствующее характеристическое сингулярное интегральное уравнение (х.с.и.у.) с дополнительными заданиями граничных моментов на искомые функции решено в замкнутой форме;

2) Нагруженная общая задача линейного сопряжения и ряд других задач (Римана, Гильберта) с дополнительными заданиями граничных на искомую функцию исследована в новой постановке;

3) К исследованию нагруженных краевых задач с дополнительными заданиями граничных моментов на искомые функции, впервые применен метод введения дополнительных контуров (ВДК);

4) Решена нагруженная краевая задача Гильберта с дополнительными заданиями граничных моментов на искомую функцию и его соответствующее х.с.и.у.;

5) Получены новые формы решения и условия разрешимости нагруженных краевых задач Римана и Гильберта с дополнительными заданиями граничных моментов на искомые функции и соответствующие им х.с.и.у. более удобные с практической точки зрения;

6) В замкнутой форме решена нагруженная смешанная краевая задача Римана-Гилберта для круга с дополнительными заданиями типа моментов на искомую функцию в более общей постановке;

7) В замкнутой форме решена х.с.и.у. с ядром Гильберта, соответствующего нагруженной краевой задаче Римана-Гильберта для круга с дополнительными заданиями граничных моментов на искомую функцию в классе симметричных функций;

8) Решена нагруженная краевая задача Римана с дополнительными заданиями граничных моментов в классе о.а.ф.;

9) Определены способы нахождения неизвестных коэффициентов. Полученные в работе результаты являются новыми и носят теоретический и практический характер. Нагруженные краевые задачи с дополнительными заданиями граничных моментов на искомые функции и им соответствующие особые интегральные уравнения имеют приложения к механике, теории упругости, гидродинамике, электродинамике, фильтрации, дифракции и других задач математической физики. Методы разработанные в диссертации с успехом можно применять к исследованию многоэлементных краевых задач.

Остановимся кратко на содержании диссертации. Работа состоит из введения и трех глав, изложена на 367 страницах. Библиография включает 84 наименований.

1. Боярский Б. В. Некоторые граничные задачи для эллиптической системы с двумя независимыми переменными, канд. дис., МГУ, 1955.

2. Берс Л. (Bers L.), Remarks on an application of pseudo «Iflytic function. American Journal Mathematic, 1956, 78, № 3.

3. Векуа И. H. Обобщенные аналитические функцийхНаука", 1959.

4. Векуа Н. П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи. М., «Наука», 1970.

5. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М., «Наука», 1977.

6. Гаврилов С. К." ^^иссертация «Исследования по смешанным двухэлементным краевым задачам теории аналитических функций». Одесса, 1974.

7. Hoseman С., Anwendung der Thtorie intgralgleicilunden auf ewiige Rand wertaufgaben, Gottinger, 1907.

8. Гюнтер H. M., etudia mathematica, t. IV, 1932.

9. Джураев A. Д. Метод сингулярных интегральных уравнений. М., «Наука», 1988.

10. Зверович Э. И. Краевые задачи теории аналитических функций в гельдеровских классах на римановых поверхностях. УМН, т.26, вып. 1(157), 1971, 113−179.

11. Carleman T., Surjja thorie des equations integralts et sec applications, Verhane. des internat. Mathem. Kondr., 1, Znrich, 1932.

12. Кваселава Д. А. Решение одной граничной задачи'^функций, ДАН СССР 53,8(1946), 683−686.

13. Кваселава Д. А. Некоторые граничные задачи теории функций, труды матем. инст-та Груз. ССР 16 (1948), 38−80.

14. ЛихтенштейнЙшйа МаШетайса, г. III, 1931.

15. Лоран Шварц. Анализ, II., м., «Мир», 1972.

16. Мусхелишвили Н. И., Сингулярные интегральные уравнения. М., «Наука», 1968.

17. Михайлов Л. Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе, 1963, 195 стр.

18. Михайлов Л. Г. О задаче сопряжения решений уравнения в частных производных второго порядка на плоскости, ДАН СССР, т.256, № 2, 1981, стр. 276−281.

19. Михайлов Л. Г. Задача линейного сопряжения решений системы дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа с аналитическими функциями. Уч. записки Тадж.госунверситета, т. Х, 1957. с7(>.3−31.

20. Михайлов Л. Г. Краевая задача типа задачи Римана для системы дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа и некоторые интегральные уравнения. Уч. записки Тадж.госунверситета, Сталинабад, т. Х, 1957, стр. 32−79.

21. Михайлов Л. Г. Точные теоремы о разрешимости задач сопряжения с производными. Исследования по краевым задачам теории функций и дифференциальных уравнений. Душанбе, 1964, стр. 7−26.

22. Михайлов Л. Г. О задаче сопряжения гармонических функций. ДАН, Тадж. ССР, 1980, т. ХХШ, № 4, стр. 276−281.

23. Михайлов Л. Г. О представлении решений уравнений в частныхпроизводных второго порядка на плоскости через голоморфные функции. ДАН, Тадж. ССР, 1980, т. ХХШ, № 7.

24. Михайлов Л. Г. Об одной граничной задаче линейного сопряжения. ДАН, 1961, т. 139, № 2, стр. 294−297.

25. Михайлов Л. Г., Акбаров Р. Задачи сопряжения аналитических функций с дополнительными членами в правых частях и с дополнительными условиями на их решения. ДАН, РТ, № 2, 2006, стр. 124−126.

26. Монахов В. Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений, «Наука», Сибирское отделение, Новосибирск, 1977.

27. Чикин Л. А. Особые случаи краевой задачи Римана и сингулярных интегральных уравнений. Уч.зап. Казанского университета, т 1, 113, кн. 10, 1952.

28. Чибрикова Л. И. Основние граничные задачи для аналитических функций, изд-во Казанского университета, 1977.

29. Рогожина И. С. Задача Гильберта дЗкля кусочно-аналитической функции. Уч.Зап. Кабардино-Балкарск. Университета, выпуск 19. 1969, 259−269.

30. Симоненко И. Б. Краевая задача Римана с измеримым коэффициентом, ДАН, 135, № 3, 1960, стр. 538−541.

31. Смирнов В. И. Курс высшей математики, t. IV, часть первая, «Наука», М., 1974.

32. Якоб Каюс. О решениях задач Римана и Гильберта с заданными особенностями, «Revue math. Purees et аре» (RPR), T. 5, № 1, 1960, стр. 5−19.

33. Jacob С. Sirr le probleme de Dirichlet a singular, donntts, «Jonrnae de math. Pures et appl» ., serie 9, т.40 № 6, 1961, 157−188.

34. Jacob C. Sur la resolution explicite du probleme plan de Dirichlet pour certains domains canoniques, «Bulletin mathematique», T. 10 (58), nr. 1−2, 1966, 13−26.

35. Jacob C. Sur ^uel^ues nouvells extension du theoreme du cercle, «Annali di matematuca pura ed applecata, T. LXXXIV, 1970, 263−278.

36. Jacob C. The V^ltera problem with prescribed singularites and some of its appl to fluid mechanics, «Fluid Dunamic Transuctions, vol. 6, part 11, 1971, 317−332.

37. Gogonea S. Sur le problemes dede Riemaun et de Hilbert a' singular. Donnes et a' coeffic discontinues, «Revue de math. Pures at appl» ., (RPR), T. 14, № 1969, 999−1015.

38. Gogonea S. Sur un probleme de Riemann a' Singularites donnes' «Atti delia Accad. Nationale dei lincei, Rend. Classe di seienze fisiche, matemat c naturali» vol. XL VI, 1969, 526−529.

39. Gogonea S. Sur le probleme de Dirichlet a' singularites donees pour le plan mini de coupures rectilignes alignees, «Atti delia Accad. Nationale dei luncei, Rend. Classe de Sci ente fisiche, matemft c naturali», vol. XL VII, 1969, 151−156.

40. Gogonea S. Sur un probleme mixte a' singularites donees. Pour le plan mini des coupures rectilignes alignees. «Atti delia Accad. Nationale dei luncei, Rend. Classe di Sciente fisiche, matemft e naturali», vol CCCLXVIII, 1970, 33−38.

41. Gogonea S. Sur le probleme de Dirichlet a' singularites donees pour le plan mini de coupures le longd’une circonfeerence, «Revue de math. Pures et appe» T. XV, № 6, 1970, 825−835.

42. Gogonea S. Un probl mixte pour le plan mini de connpares le loud dine circonfeerence, «Revue de math. Pures et appe» T. 16, № 6, 1971, 849−864.

43. Gogonea S. Sur guclgues problemes aux limites pour le plan muni de coupureset leurs applications ala theo-rie de la filtration, «Bull. math, de la Soc. Sce. Math de la R.S. de Roumanie, T. 18 (66), № 1974, 103−116.

44. Акбаров Р. О краевой задаче Римана с заданными главными частями. ДАН Тадж. ССР, т.21, № 3, 1978, стр. 3−6.

45. Акбаров Р. Задача Гильберта с заданными главными частями. Рукопись депонирована в НИНИТИ 4 апреля 1978 через журнал «Вестник», Белорусского ун-та, № 1155−78 ДЕП.

46. Акбаров Р. Задача Гильберта кусочно-аналитической функции с заданными главными частями. ДАН БССР, т.22, № 7, 19 787 стр. 588 591.

47. Акбаров Р. задача линейного сопряжения с заданными главными частями для векторов. ДАН Тадж. ССР, т. XXI, 1978, ст.3−6.

48. Акбаров Р. О задаче Римана для аналитических функций с особенностями. «Вестник» Белорусского ун-та, серия 1, № 1, 1979, стр. 67−69.

49. Акбаров Р., Зверович Э. И. Задача Римана для кусочно-мероморфных функций с заданными главными частями на римановых поверхностях. «Вестник. Белорусского университета», серия 1, № 1, 1979, стр. 46−49.

50. Акбаров Р. Однородная краевая задача Римана с заданными главными частями, известия АН Тадж. ССР, № 3, 73, 1979, стр. 76−79.

51. Акбаров Р. Об общей задаче линейного сопряжения с особенностями. «Вестник. Белорусского университета», серия 1, № 2, 1979, стр. 75−78.

52. Акбаров Р. О краевых задачах теории аналитических функций с заданными главными частями на плоскости. Сибирский матем. журнал, т.21, № 4, 1980.

53. Акбаров Р. Линейные краевые задачи теории аналитических функций с заданными главными частями. Автореферат канд.дис. Минск 1980, стр. 3−15.

54. Акбаров Р. Задача Римана с заданными главными частями, Известия АН Тадж. ССР, № 4 (78), 1980, стр. 3−7.

55. Акбаров Р. Смешанная краевая задача Гильберта для односвязной области с заданными главными частями, ДАН Тадж. ССР, т.24, № 3,1981. стр. 3−6.

56. Акбаров Р. О краевой задаче Римана с заданными главными частями на замкнутой римановой поверхности. ДАН Тадж.ССР. t. XXV, № 6,1982, стр. 315−319.

57. Акбаров Р. О краевой задаче Римана с заданными главными частями для векторов. Тезисы республиканской конференции по уравнениям математической физики. Душанбе, 1983, стр. 101−102.

58. Акбаров Р. Смешанная векторно-матричная задача Римана-Гильберта с заданными главными частями для односвязной области. Сибирский математический журнал, т. ХХУ, № 2, 1984, стр. 13−20.

59. Акбаров Р. О векторно-матричной задаче линейного сопряжения с заданными главными частями. ДАН Тадж.ССР. т. ХХУШ, № 9, 1985, стр. 489−492. 4.

60. Акбаров Р. О смешанной векторно-матричной задаче Римана-Гильберта с заданными главными частями. Тезисы Всесоюзной конференции по теории функциональных уравнений. г. Душанбе, 1987, стр. 18−19.

61. Акбаров Р. О смешанной задаче Римана-Гильберта с заданными главными частями на римановой поверхности. Сибирский математический журнал, т. ХХУШ, 1987, стр. 3−6.

62. Акбаров Р. О решении особого интегрального уравнения, соответствующего краевой задаче Римана с заданными главными частями. Тезисы докл. Респ. конф. «Дифференциальные уравнения и их приложения». Куляб, 1991, стр. 10−12.

63. Акбаров Р. Задача Римана с мультипликативными заданными главнымиГРукопись депонирована в ВИНИТИ через журнал Известия АН Тадж. ССР, № 3376−91 ДЕП.

64. Акбаров Р. Шилин ¡-Я. П. О краевой задаче Римана с бесконечным числом заданных главных частей. ДАН Тадж. ССР, т. ХХХУ, № 1, 1992, стр. 3−5.

65. Акбаров Р. Решение особого интегрального уравнения, соответствующего краевой задаче Римана. ДАН Тадж. ССР, № 12, стр. 3−5.

66. Акбаров Р. О краевой задаче Римана с заданными главными частями. Тезисы науч.конференц. ЮГУ, 1993, стр. 170−171.

67. Акбаров Р. О краевой задаче Римана с заданными главными частями. Известия АН Тадж. ССР, № 1, 1993, стр. 3−6.

68. Акбаров Р. Решение особого интегрального уравнения, соответствующего краевой задаче Римана с заданными главными частями, международ, конф. диффер. Уравнении с сингул. коэффициент. Душанбе. 17−19 ноября 1996, стр. 18.

69. Акбаров Р. Решение особого интегрального уравнения, соответствующего краевой задаче Римана с заданными главными частями. Сборник научных трудов КГУ, серия «Математика», выпуск 1. Куляб, 1996, стр.3−10.

70. Акбаров Р. О краевой задаче Римана с заданными главными частями. Сборник научных трудов КГУ, серия «Математика», выпуск 1. Куляб, 1996, стр.11−13.

71. Акбаров Р. Решение характеристической системы сингулярных уравнений, соответствующих векторно-матричной задаче сопряжения с заданными главными частями. Сборник научных трудов КГУ, серия «Математика», выпуск 2. Куляб, 1999, стр.37−46.

72. Акбаров Р. Особые случаи задачи Римана с заданными главными частями. Сборник научных трудов КГУ, серия «Математика», выпуск 2. Куляб, 1999, стр. 47−59.

73. Акбаров Р. О решении характеристической системы сингулярных уравнений, соответствующих векторно-матричной задаче сопряжения с заданными главными частями. ДАН РТ, т.42, 1999, стр. 3−6.

74. Акбаров Р. Решение характеристического уравнения, соответствующего краевой задаче Римана с заданными главными частями в исключительных случаях, ДАН РТ, и. ХЫП, № 4, 2000, стр. 64−69.

75. Акбаров Р. Краевые задачи теории аналитических функций с заданными главными частями и им соответствующие особые интегральные уравнения. Душанбе, 2006, стр. 245.

76. Акбаров Р. О характеристическом сингулярном интегральном уравнении с дополнительными членами в правой части и с дополнительными условиями на решение. ДАН РТ, т.49, № 5, 2006, стр. 409−411.

77. Акбаров Р. Однородная краевая задача Римана для обобщенных аналитических функций с дополнительными условиями на искомые функции, ДАНРТ, т.49, № 10−12, 2006, стр. 908−913.

78. Акбаров Р. Нагруженное характеристическое сингулярное интегральное уравнение с ядром Гильберта с дополнительными заданиями граничных моментов. ДАН РТ т.51., № 8, 2008. стр. 568 -571.

79. Акбаров Р. Нагруженная краевая задача сопряжения обобщенных аналитических функций с дополнительными заданиями граничных моментов. ДАН РТ т.51№ 9, 2008. стр. 633 637.

80. Акбаров Р. Нагруженная смешанная краевая задача с дополнительными заданиями граничных моментов. ДАН РТ т.51., № 11',.

81. Акбаров Р. Характеристическое сингулярное уравнение с ядром Гильберта с дополнительными заданиями граничных моментов смешанной задачи. ДАН РТ т.51№ 10, 2008, ет?. у 5- К1.

82. Михайлов Л. Г., Акбаров Р. Краевые задачи теории аналитических функций с нагруженными свободными членами и с дополнительными заданиями граничных моментов. ДАН России, т!#Г, № 5, 2009, 1−5.