Особенности функций и геометрия многообразий

Настоящая диссертационная работа посвящена некоторым вопросам конечномерной теории Морса. Теория Морса — теория функций на многообразиях — возникла в 30-х годах после того, как Марстон Морс заметил, что множество невыржденных критических точек функции на многообразии находится в непосредственной связи со структурой самого многообразия. Таким образом информация о критических точках различных индексов функции на многообразии позволяет делать выводы о многообразии в целом: например, если только на замкнутом многообразии существует функция с двумя критическими точками — максимумом и минимумом, — то такое многообразие является сферой.

Дадим некоторые определения. Кобордизмом между V0 и VJ. — многообразиями размерности П.-1 — называется такое многообразие w размерности П, что 9W= VoUV, и v" п х = &. Заметим, что V" или Vt или оба могут быть пустыми. Если 9 V0 * 9!, то потребуем, чтобы.

9W (i>iit Vo U ifbt Vi) было изоморфно (диффеоморфно или гомеоморфно или кусочно линейно изоморфно в зависимости от рассматриваемой категории) • В этом случае w называется кобордизмом с краем.

Для обозначения категорий в этой работе приняты такие сокращения:

DIFF — категория гладких многообразий и диффеоморфизмов между ними, Р L — категория кусочно линейных многообразий и кусочно линейных изоморфизмов между ними,.

ТОР.

— категория топологических многообразий и гомеоморфизмов между ними.

Рассмотрим функцию f: (W", Y0 VJ [ О, i], f (0) = V0 ,.

Г (1)=Vi, где (W^^V*) — кобордизм с краем или без него. Точка X в {.fa называется невырожденной критической точкой индекса Л функции f, если в окрестности этой точки существует такая локальная система координат, что в нейf имеет вид: f (xlf ., Xh) *f (О) + х} +. .+ Х*-. Х£.

Точка X € /Л называется регулярной точкой функции f, если в окрестности ОС существует такая локальная система координат, что в нейf имеет вид: -f л f (o) + Х^.

Функция f. cwh, Vo, Vt) — г ОД], f ¦-'Со) = V0, fl (l) =, регулярная всюду на W^, за исключением невырожденных критических точек (различных индексов), лежащих во внутренности многообразия называется функцией Морса на кобордизме (VI) • Морсом было показано, что на любом гладком кобордизме существует такая функция.

Первоначально техника работы с критическими точками требовала сложных технических рассуждений, связанных с векторными полями — градиентно-подобными векторными полями функции f Позднее Смейлом и Уоллесом была разработана теория ручек, которая более удобна при доказательстве теорем. Основная идея заключалась в следующем: кобордизм («W^, Vi) 0 еДинст: венной критической точкой индекса, А гомеоморфен фактормногообразию.

V,* [оД] U, Dax D" -a .где диффеоморфизм на образ. Приклейка D* * вдоль «$*л~4х к верхнему краю кобордизма и называется приклейкой ручки индекса, А. Используя процедуру сглаживания углов (см. С 5]) получаемое многообразие можно считать гладким, что позволяет теории ручек быть весьма полезным инструментом и в категории DIFf. Язык теории ручек позволил существенно упростить доказательства ранее известных фактов и получить новые.

Из первых важных результатов в теории Морса было доказательство неравенств.

I) (f) (н, сW, V,)) + уи (Tors им v0)) где — число критических точек индекса Л произвольной функции Морса f на кобордизме (Wnf Vo, Vi) «yw (G) — минимальное число образующих группы G, Tors G кручение группы G. Зти неравенства называются неравенствами Морса. Функция Морса, для которой неравенства (X) превращаются в равенства для кавдого индекса, называется минимальной функцией Морса. Дадим также определение точной функции Морса. Пусть F (W) гпространство всех функций Морса на многообразии W, f (W).- функции Морса, у которых число критических точек индекса А. минимально. Функция, f такая, что f e Hf^iW) л называется точной функцией Морса, т. е. -f точная функция Морса на кобордизме (W, Vo, V±), если (f)= •.

Заметим, что минимальная функция Морса автоматически является точной. .

Смейлом в конце пятидесятых годов была доказана теорема: на кобордизме (Wh, V0, Vi). Ь. >, 6, *4(W J-fi] существует минимальная функция Морса (см. C50J). Доказательство этой теоремы основывалось уже на теории ручек. Используя этот результат, Смейл решил обобщённую гипотезу Пуанкаре — показал, что односвязная гомологическая сфера размерности больше 4 гомеоморфна стандартной сфере. В размерности 4 этот результат получен Фридманом в 1981 году (см. [331)• При доказательстве использовались весьма тонкие рассуждения и филигранная техника (см. [ 33, 48,43]).

Теория гладких односвязных многообразий размерности > 5 была практически завершена работой С. П. Новикова в 1964 году (см. Г ИЗ). Для гладких односвязных многообразий невыясненными остались вопросы лишь в размерностях 3,4 и 5.

Основные трудности в теории многообразий малых размерностей состоят в том, что в них несправедливо основное техническое утверждение — лемма Уитни, которая позволяет избавиться от точек пересечения подмногообразий дополнительных размерностей (см. Г123). Зто обстоятельство вынуждает искать специальный подход к решению вопросов в каждой из размерностей.

В размерности 3 — см. [9, 27, Hi, 42], в размерности 4 — см. С 3, 32, 33, У<8, 43], в размерности 5 — см. С 9, 2&3. Отметим существенные черты каждого из подходов: размерность.3 — ото либо изучение разветвлённых накрытий над S3 с узлом в качестве множества точек ветвления, либо комбинаторно — групповой подход, либо исчисление линковразмерность 4 — это техника, связанная с доказательством ослабленной леммы Уитни — точки пересечения подмногообразий разъединяются при помощи топологической изотопии, а не гладкойразмерность 5 — это приём Бардена, редуцирующий возникающие трудности к изучению шестимерных кобордизмов.

В размерности 3 решение гипотезы Пуанкаре пока остаётся открытым. Можно сказать, что, в некотором смысле, это самая трудная размерность.

В размерности 4 существенные результаты (в том числе и решение гипотезы Пуанкаре) получены в 1981 году, однако вопросы построения минимальных функций Морса на пятимерных кобордизмах остались открытыми (чтобы строить минимальную функцию Морса на пятимерном кобордизме (V^fSJV0/Vt) приходится в основном работать в многообразии уровняr4t). teio. il, которое является четырёхмерным многообразием).

В размерности 5 — классификация пятимерных замкнутых одно-связных многообразий была проведена Барденом в 1965 году см. с г 81).

Топологическая теория Морса — теория Морса в категории тор — была существенно продвинута в работах Кёрби. и Зибен-мана в конце шестидесятых — начале семидесятых годов. Эти результаты подытожены в книге. [3 6], вышедшей в 1975 году. В строгой форме топологическая версия теоремы об hкобордизме — одного из основных результатов теории Морса — появилась в работе Окабе (см. I 40]). Впервые минимальная топологическая функция Морса рассматривалась в работе В, В. Шарко (см. [5 3]). (Заметим, что все понятия в топологической теории Морса определяются точно также как и в гладком случае, только вместо гладких функций следует рассматривать непрерывные и вместо гладких замен координат — непрерывные замены координат.).

Основные трудности топологической теории Морса состоят в том, что, во-первых, требуется специальное доказательство существования функций Морса (на кобордизмах размерности > 5 оно дано вГ 3 6], на пятимерных замкнутых многообразияхв СЧЧ], а в размерности 4 построено замкнутое односвяз-ное топологическое многообразие, на котором не существует функции Морса (см. 32,33]) — во-вторых, требуется теория трансверсальности (теория общего положения) (см. [36]) и, в-третьих, теория простого гомотопического типа для неодносвязных многообразий (см. [36]).

Особо следует сказать о теории Морса для неодносвязных многообразий. В основном она развита в работах С 19, 14,15, 26} V7J — • Главной трудностью здесь является привлечение весьма сложного алгебраического аппарата. Основные результаты по теории неодносвязных гладких компактных многообразий размерности > 5 получены В. В. Шарко. Отметим, что многообразия малых размерностей доставляют существенно больше осложненийнапример, в размерности 3, 4 или 5 не выполняется теорема об Sкобордизме (см. [46]). Заметим, что на неодносвязных многообразиях могут не существовать минимальные функции Морса и, поэтому, на них изучаются точные функции Морса.

Вопросами, связанными с изучением некомпактных кобордизмов, занимались Куин, Зибенман, Уолл (см. 47, SZ ]) и другие. Построение точных функций Морса для некомпактных кобордизмов размерности > 5 проведено в работе автора (см. 133).

Теперь, после краткого исторического обзора, остановимся на результатах полученных в диссертации. Первая глава посвящена исследованию функций Морса на гладких многообразиях малых размерностей. В первом параграфе изучаются трёхмерные многообразия. Основной техникой, которая здесь применяется, являются методы комбинаторной теории групп. Применение последних объясняется следующим обстоятельством: всякое гладкое трёхмерное замкнутое многообразие WS может быть представлено в виде разложения на ручки, прчём сначала приклеиваются ручки индекса I, а потом — индекса 2 (см. [10]), причём из двойственности Пуанкаре (см. [3]) следует, что. Поскольку фундаментальная группа клеточного комплекса совпадает с фундаментальной группой его 2-остова, то 7t± (W5,) —.

D U (I-ручки) U (2-ручки)). Тогда известно (см. 211) что.

7ц. (W3) имеет копредставление.

2) где аАобразующие, задаваемые I-ручками, а лт) «fit, R& «соотношения, вносимые 2-ручками.

Теория ручек позволяет делать с соотношениями следующие преобразования:

1) Заменить R^ на (замена ориентации на о братию как в срединном так и в ко срединном дисках ручки).

2) (?< заменить на Rt Rz (сложение ручек).

3) Переставить и Rj (перегруппировка ручек).

4) Заменить R^ на g" *1 g (изменение базисной точки).

5) Вычеркнуть образующий (Х1 и соотношение си±- (уничтожение ручек).

6). Внести образующий и соотношение (добавление пары взаимно уничтожающихся ручек) .

Операции 1−5 называются движениями Эндрюза-Кэртиса, а операции I — б — расширенными движениями Эндрюза-Кэртиса (см. С 2.7]). Таким образом, если. копредставление (2) — некоторое копредставление. тривиальной группы и мы знаем, что движениями 1- 6- его можно. привести к тривиальному, .то на многообразии, построенному по этому копредставлению, существует функция Морса с одним максимумом и одним минимумом, т. е. это многообразие — стандартная сфера. Так что из гипотезы А-С вытекает гипотеза Пуанкаре. Гипотеза А-С (предположение о том, что от любого копредставления тривиальной группы с равным числом образующих и соотношений можно при помощи движений 1−5 перейти к тривиальному копредставлению) выдвинута в работе С 2 7 3. Гипотеза А~Сэто гипотеза А-С без предположения о том, что число образующих равно числу соотношений. Копредставление, в. котором число образующих не равно числу соотношений, называется несбалансированным.

В § 1.1 настоящей работы изучаются несбалансированные ко-представления тривиальной группы. Это объясняется тем, что в таком виде полученные результаты могут быть применены не. только к построению функций на многообразиях, но и к теории двумерных клеточных комплексов.

Автором доказаны следующие теоремы:

ТЕОРЕМА I.I. Пусть — cxK — базис свободной группы ранга К — FK «» исL ;

Щ € Li. Если Г? 4, то от CL движениями.

1−4 можно перейти к Ц' - О*!,^, .). оез некоторого ttj.

ТЕОРЕМА 1.2. Для справедливости гипотезы, А «» С' необходимо и достаточно, чтобы для любого 1L ~. f Uh,)c Гк } lUi.f. <. 7Ит — F< существовал примитивный элемент р такой, что ре U), где Gp (ti) -группа, порождённая набором US, и каждый ZC получен из 1L движениями 1−4 и объединение берётся по всем таким 1L (рассматриваются как подмножества).

Если бы в теореме I. I удалось доказать, что её заключение справедливо при любом Г, то тем самым была бы решена .-.¦ гипотеза, А «С' (гипотеза, А «С для несбалансированных непредставлений). .

Теорема 1.2: устанавливает эквивалентность гипотезы А-С' более простому утверждению^ которое может быть использовано для поиска контрпримера.

Наиболее интересные результаты в этом направлении получены ©-оветской школой математиков (ем. [54]), а также японскими математиками (см. [35J).

Во втором параграфе главы I строятся минимальные, но уже топологические, функции Морса на односвязных гладких компактных пятимерных кобордизмах. Хотя построенная функция Морса и является топологической, Iно строится она (на гладком-кобордизме и. при.помощи.техники, которая существенно использует гладкую струк* туру многообразия. Ввиду этого автор счёл целесообразным включить этот результат в первую главу.

Для построения минимальных функций Морса в этом случае исt «пользуется сложная и весьма тонкая техника Кассона и Фридмана, которая содержится в работах [9,32,33,.48, 49] Аппарат, развитый в. этих работах, как уже отмечалось, позволил Фридману решить гипотезу Пуанкаре для гладких четырёхмерных многообразий.

Основная теорема § 1.2 это. ТЕОРЕМА 1.3.. На гладком компактном односвязном пятимерном кобордизме существует минимальная функция Морса.

— В последнем параграфе главы! Жубра для многообразий с краем (см.

II получен аналог теоремы [). Здесь также улучшен., один из результатов Бардена (см. [281).

ТЕОРЕМА 1.4. Если (VV f Vo, Vi) шестимерный ко бордизм, v.) -Я1.

W6 =(Ve*J)#*CSs*5s,).

—. Вторая глава диссертации посвящена исследованию топологических функций Морса, заданных на многообразиях высокой размерности (больше 5). .

В первом параграфе изучаются вопросы общего, положения для топологической категории. Кроме того,.что. ©-:ни необходимы. для применения в других параграфах работы, эти результаты име~ ют и самостоятельное значение.

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть — -f: (ЭМ") — собтвенное отображение PL многообразия в ТОР многообразиеКЭм) с9]Г и Ъ >, 2m, если же т-2, то Г) 7,5 I пусть, также, f трансверсально в окрестности V© «где С — замкнутое множество С С. fsf .

Тогда для любого компакта D с Jf ш любой окрестности V (C)c V© найдётся ^>0 так@е, что для любого? >0, и любого существует? -гомотопия F^! М. —> fsf*, t€. сод], для которой F0 — f # Fi трансверсально в V (c) UV^CD) и su/>f Ft с (D VCC)3 •.

Эта теорема отличается от обычных, теорем об общем положении в категории. ТОР тем, что первоначальное отображение не предполагается, обладающим какими -.либо свойствами, кроме непрерывности. Заметим, что образ такого отображения может иметь внутренние точки даже в том случае, еслиplW^-^ Vm и m>U. Отметим ещё, что теорема становится неверной, если.

— — ^ рассматривать отображения диска D в обобщённое многообразие (см. [31]). В этой работе построено такое обобщённое многообразие размерности П. (Н, — любое натуральное число), что если задано отображение: S*" «то любое продолжение этого отображения F • D2,, 5 f имеет в образе В1гртренние точки. Так что говорить о каком-либо естественном определении «общего положения» не представляется возможным.

Дадим определение трансверсального пересечения подмногообразий в категории.

DIFF. Два подмногообразия Р и Gl многообразия м трансверсально пересекаются в точке если касательное пространство Тх М. порождается касательными пространствами Р и T^Q, либо же х^ р л Q .

Отсутствие понятия касательного пространства в категории ТОР делает «общее положение» в этой категории весьма деликатным понятием. Существует два определения общего положения для подмногообразий — трансверсальность для микрорасслоений и стабильная трансверсальность (см. [36]). Автором. в этой ра-. боте используется понятие-трансверсальности для микрорасслоений, которая в нашем случае является просто трансверсальностью для оснащённых подмногообразий. Подмногообразие Р называется оснащённым, если оно имеет окрестность, гомеоморфкую Р * D^. Гомеоморфизм, при котором Р*{0} переходит в Р и называется оснащением.

При доказательстве используются теорема о выпрямлении локально плоского вложения (см. [3M5J) и несколько громоздкие технические рассуждения.

Теорема 2.1 носит весьма общий характер. Для применений гораздо более удобны следствия из этой теоремы:

СЛЕДСТВИЕ 2.I.I. Пусть f: (К&tradeЭ М) (ЛГ* 3N) отображение компактного PL многообразия в ТОР многообразие, Тп >, 2ТГ — если m = 2, то П % 5. Тогдаf как отображение пар? -гомотопно трансверсальному отображению.

СЛЕДСТВИЕ 2.1.2. В предположениях следствия 2.I.I, если f является вложением на 9 №., то? -гомотопию Ft из предыдущего утверждения можно считать постоянной на дМ. ,.

СЛЕДСТВИЕ 2.1.3. Пусть отображение $: (М&trade-, ЗМ.) (MntdN) ТОР многообразия в ТОР многообразие, находится в условиях теоремы, но потребуем ещё, чтобы для любой точки DC G D существовала окрестность.

Vs (X) такая, чтоf l (V|C^)) лежит в несвязном объединении карт на многообразии М тогда для такогоf справедливо заключение теоремы.. СЛЕДСТВИЕ 2.1.4. Если f: S*3W" - локально плоское вложение, п Z Z П ф Ч, и если-.-р. гомотопно нулю в W, то существует локально плоское вложение:

Dz, dD2)->(W, 3W) о^j3oi = f .

В основном в этой работе-используется следствие 2.1.4, которое позволяет построить теорию.

ТОР функций Морса, совершенно аналогичную гладкому случаю, правда, лишь в размерностях больше пяти.

Второй параграф главы 2 данной работы посвящён изложению топологической реории Морса для компактных многообразий. При помощи следствия 2.1.4 автором переносятся результате из категорий DIFF и ei, изложенные в работах [12] и С 2 5], в категорию ТОР .

Доказаны шгадующие теоремы:

ТЕОРЕМА 2.2.. На кобордизме (Wh, Y0, , П* 6 существует точная функция Морса 'с таким числом критических точек индекса, А: '.

К =yw (Н, (W, V. JJ * ум (Tors Н^ (W, %)).

ТЕОРЕМА 2.3. (3 -кобордизм) Кобордизм (Wh, Ve, V" i) «^ 6, гомеоморфен (к J, V0 х fOj Д х { f j) тогда и только тогда, когда (Wh, V» o)=: f{] и кручение Уайтхеда T (W, V0) € Wft (Z f (W)J) I равно нулю.

ТЕОРЕМА 2.4. На кобордизме" «(W Vo, Vt) «^ ^ 6 СW) = f 1], существует точная функция Мореа с таким числом. критических точек индекса Л :

1) У^^О, ;

2) А/о = О «если * / - = i, если.

Vo ;

3) = о, еели Ф ф — ffh =^, если.

—0 — причём л/2^уи Cnz (W" Vo)), л/3=у"С^гОО^Л + н3с w", v" z)) -ju. i нг с wn, Vp — О),.

W.VJby^HH-" (W Ve-fi)).

— уц (Нп.г (wn, v. -(c)).) 7ii (T^sHh.4(wh, v— z)), л/л=ум (H* (wh, v.- HA. i (wh, v0-z)).

В третьем, и последнем, параграфе второй главы доказывается существование слабо точных функций Морса на некомпактных ко бордиз мах (размерность >5).

Понятия функции Морса и точной функции Морса для некомпактных многообразий потребуют уточнений. Если рассматривать функции Морса в их стандартном определении, то на некомпактном кобордизме не по всякой функции Морса возможно построить разложение на ручки, пусть даже с бесконечным числом ручек. Под функцией Морса в данной работе мы понимаем только те функции Морса, которые допускают ассоциированное с ними разложение на ручки. Конечной функцией Морса на кобордизме назовём функцию Морса с конечным числом критических точек. Слабо точной назовём такую функцию Морсаf, что (-f) e inin где ^ ¦ ~ произвольная конечная функция Морса на CW" h-V0)Vi (мы предполагаем, что на (W* Vo, Vi) существует конечная функция Морса). .

— - Заметим, что не на всяком некомпактном кобордизме существует функция Морса в сильном смысле,-пусть .даже бесконечная. Факт существования такой функции требует специального доказательства.. .

Автору в § 2.3 удалось выделить класс некомпактных кобор-дизмов, допускающих конечное разложение на ручки и доказать существование слабо точных функций Морса на выделенном классе.

Основной результат § 2.3:

ТЕОРЕМА 2.5. Рассмотрим одцу из категорий DIFF, PL или ТОР. Пусть (YlnfVo>) «коС>ордизм и П. >6.

Если.

О* к.

1) Vo = U У о, где yo — компактные подмногообразия и VoK с tntvr1;

2) 21Тч (Vo*)l — Sкольцо для любого К ;

3) вложения 10 V0 W и CL^ W" индуцируют изоморфизмы и ЗТ^-систем на бесконечности;

4) вложеше ia: удовлетворяет условию (я**)оо либо (Н*)оо" либо (Не)оои (?*)"*> вместе;

5) СГоо (Сьо1) = <�СввСС^о])=0 ;

6) (W, Vo, VO имеет конечное кручение Уайтхеда равное нулю.

Тогда на существует слабо точная функция.

Морса.

Отметим также следствия из этой основной теоремы.

СЛЕДСТВИЕ 2.5.1. Рассмотрим одну из категорий DIFF, PL или ТОР. Пусть (W^^Vji) — кобордизм и }ПУ/Ь .

Если.

1) W, Vo, Vi — односвязны;

2) вложения индуцируют изоморфизмы 76t-систем на бесконечности;

3) вложение to^W удовлетворяет одному из условий -(я*)<*либо (Н*)ео, либо (Не)с" и СС*)^ вместе;

4) СГ"в ([1о])=Тов (1о)вО.

Тогда H*(W, Vo) конечно порождены и на (W" «, V0) VJ существует минимальная функция Морса.

СЛЕДСТВИЕ 2.5.2. Рассмотрим одну из категорий DlFf, PL или ТОР. Пусть (Wn, Vo, Vi) — кобордизм и К 6 .

Если.

1) W, Vo, V, односвязны и односвязны на бесконечности;

2) вложение l0: Vo С* W удовлетворяет одному из условийо либо (Н*)^, либо (Hejoo и (С*)*> вместе.

Тогда конечно порождены и на (W, Va," Vi) существует минимальная функция Морса.

Эти следствия интересны тем, что в них устанавливается существование минимальных функций Морса, несмотря на то, что многообразия W, Vo, Vi — некомпактны.

Отметим также, что полученные результаты не являются обобщениями уже известных теорем в категории DIFF или PL .

В доказательстве используются техника Зибенмана при исследовании некомпактных кобордизмов (см. [*/7J), теория Шарко о минимальных цепных комплексах (см. [2 5]), его же результаты о компактных неодносвязных кобордизмах (см. [26]) и конструкции, развитые в § 2.1 и § 2.2 настоящей работы (см. также [49]).

Основные результаты данной работы опубликованы в [13~19] .

Результаты диссертации докладывались на Международной топологической конференции в Ленинграде (1982 г.), У1П школе по теории операторов в функциональных пространствах в Риге (1983 г.), XIУ Воронежской зимней математической школе (1979 г.), Летней математической школе в Кацивели (1980 г.), на научных семинарах МГУ и Института математики АН УССР.

В заключение автору хочется выразить благодарность своему научному руководителю К). К). Трохимчуку за постоянное внимание к работе, а также В. В. Шарко за огромное число информативных и стимулирующих бесед, которые позволили автору в достаточной степени овладеть методами современной теории Морса.

1. Атья М., Лекции по К — теории. М., Мир, 1967, 264 с.

2. Басс X. Алгебраическая К теория. М., Мир, 1973, 592 с.

3. Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. М., Мир, 1976, 464 с.

4. Жубр А. В. Теорема о разложении для односвязых шестимерных многообразий. Записки научных семинаров ЛШИ, 1973, 36, с. 40 — 49.

5. Коннер П., Флойд Э. Гладкие периодические отображения. М., Мир, 1969, 340 с.

6. Курош А"Г. Теория групп. М., Мир, 1967, 648 с.

7. Ливдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М., Мир, 1980, 448 с.

8. Магнус В., Каррас А., Солитер Д. Комбинаторная теория групп. М., Наука, 1974, 456 с.

9. Маццельбаум Р. Четырёхмерная топология. Математика. Новое в зарубежной науке. Выпуск 28, М., Мир, 1981, 286 с.lb. Милнор Дж. Теорема об Ькобордизме. М., Мир, 1969, 112 с.

10. Новиков С. П. Гомотопически эквивалентные гладкие многообразия. Изв. АН СССР сер. математика, 1964, 28, с. 365 474.12. fypK К., Сандерсон Б.

Введение

в кусочно линейцую топологию. М., Мир, 1974, 208 с,.

11. Солопко И. О. Существование точных функций Морса на односвязных пятимерных гладких кобордизмах. В кн. Международная конференция по теории приближения функций. Киев, Ин-т математики АН УССР, 1983, С. 171.

12. Солопко И. О. Трансверсальность для отображений кусочно линейных и топологических многообразий в топологические. В кн. Теория функций и топология. Киев, Ин-т математики АН УССР, 1983, C. III-II9.

13. Солопко И. О. Точные функции Морса в категории ТОР (размерность > 5). УМ!, 1983, 35, № 6, с.792−796.

14. Солопко И. О. Точные функции Морса. Препринт 83.60, 1983, Киев, Ин-т.математики АН УССР, 28 с.

15. Спеньер Э. Алгебраическая топология. М., Мир, 1971, 680 с.

16. Фукс Д. Б., Фоменко А. Т., Г^тенмахер В. Л. Гомотопическая топология. М., МГУ, 1969, Ч59 с.

17. Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства. М., Мир, 1970, т с.

18. Andrews J. J., С и, ft is М. L. Free grOLVpSимd n a, n Ale bodies г f о с. л m"г. Matb. Soc., /56 5, 16, p. 192 195″ .

19. Bscrden D. Sym^ly connected 5-ma.rufolds.- Ann. of 1965, 82} № 5,p. 365 385.29. browcler W. j Levlne X, Lives а. у G. R. Findings a, bou-nolanyfor an open manifold.- Amen. J. Ma^h., 1965, 87, Nz Ц, p. 1017 Jf02 3.

20. Bnown A. r Gluk H. Stable struktu-hes on ma, nifold ffi. Ann. of Mat/?., /564, 7?- /уч, yo.

21. D&v er> m slh R. I, WaAsh I J. A ghastlygeneralized h-mznifoid, — 111, J. ofMath. 1984 j 25, № 4, p. 555−577.

22. Freedman АН. Л Uke S3*lR.-Лпн. of Matb., 1979, Ш, № 2,p 177−201.

23. Fj^eectma-n М. Н. The tocology of {our cL’i mention a, 1 manifolds.- X D’ff.Geo™., 198>2, 17, 35 7−4⁵³.

24. Hempei J. 3 ~ m&. hi fo 4ds. Ann. of Study, 1977, S?, Princetoh Uhivx Press.

25. Hоттъ Т., OcUibi Л., Tkk^asW M. fv &lgorithtrj for recognizing S5 />>3 tncini fo ids with Нее? а.&г<1 splittings of genus «Lwo Os&ka. J. fA&tln, 17,3, p. 62 5−649.

26. Norma.* R.A. Oehn’s lemma. forcertain ms. ni folds.- I h v e n t. Math., 1969, I, y p. 1ЧЬ -147.

27. Oka. be Т. The exisiense of topological Morse functions.- J. of the Рьс. of Science Ihe Univ. of Tokyo, 1971 i*, N4, p 23 35.

28. P^pakyriakopouios C. D. Оm Dehh’s lemm*dud ihe^sphericity of knots.- /W QfWith., 1357, Uf N°-z, 1−26.

29. P&pz. к у r i a. ko рои. los C. 0. solid tori Proc. Lohdon Walh. Soc. r 1957 7 /V-e3p. 281 239.43. Qulnn F. Ends of ihe^of Maifc., 1973, iiO, №-2, p.27S-33i.

30. Qu. inn F. Ends of the tv^ps ffi. D"meh-t.'ons 4 and 5. J. D"ff. Geom, i77 * 1^p. 502> -52i.

31. Rushing T. Taming codi mention three embedings.- Bull, of ihe AtAS, 1969, 75, л 815- 820.

32. Siebenmznn L. C, Disruption of low-dim&h-iiona.1 h&ndiebody theory by Rohlin’S theorem.' I* the Look: Topology 0f hifolds. Chicago, М&пкЬ&т, t$ 7i, Si4p.} p. 5 7 76.

33. Siebenm&nn L, C. La. conjecture de Poih care topo {o g i cj и e eh dimensionSem. (bounbzki, r,°5&S.

34. S. Generalized Poin c&re's conjecture in clime nil о ns > 4Ahn. off 74 9 УЗ — p, 331 466.^51. Venem a Approximating (disks Ыli-sps.ce, — Michigzh Mbth, 1,1378, 25, N4, p. i3−27.

35. ШИ С. T.C. S ungery of попsimply connected ma. hi fo 1 AsAnn. of M&th. SJ{N-Ь 7 fx 217 2 76.

36. Шарко В. В. Точные функции Морса. Препринт 75.9, 1975, Киев, Ин-т математики АН УССР. Фоменко А. Т. Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы. М., МГУ, 1983, 216 с.