Аппроксимация функций. 
Прикладная математика: технологии применения

Аппроксимация — замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным. В данном контексте аппроксимация рассматривается как замена одной функции другой, в каком-то смысле более подходящей, чем исходная.

Постановка задач аппроксимации

Формулировка задачи аппроксимации в обобщенном виде может быть следующей: каким-то образом задана функция/(х), которую называют аппроксимируемой функцией. Требуется найти такую аппроксимирующую функцию g (x), чтобы отклонение g (x) отДх) было в некотором смысле наименьшим. Рассмотрим наиболее характерные типы задач аппроксимации.

1. Известна функциональная зависимость у =/(х). Требуется при заданных значениях аргумента вычислить соответствующие значения функции. Очевидно, что это задача прямого вычисления и ее решение не вызывает принципиальных трудностей. Для всех элементарных и некоторых часто встречающихся сложных функций разработаны стандартные программы, обеспечивающие их численное решение. Они входят в состав различных пакетов прикладных программ общего назначения, а следовательно, доступны широкому пользователю. В специализированных математических пакетах программ (типа MathCAD, Matlab, Mathematika и др.) имеются также средства и для символьного вычисления функций.

Проблемы возникают тогда, когда в процессе решения задачи манипулирование данной функцией обременительно. В этом случае целесообразно заменить ее на более простую функцию. Например, когда программа часто обращается к процедурам вычисления значений функций, требующим существенных затрат машинного времени. Выходом из такой ситуации может стать замена (аппроксимация) заданной функции у (х) некоторой новой функцией g (x), которая более удобна при вычислениях и дает значения, достаточно близкие к тем, что дает функция у (х). Это задача приближения функции.

2. Пусть величины у и х связаны неизвестной функциональной зависимостью у = /(х). Для некоторых заранее назначенных или выбранных значений аргумента {х,} (в узлах) заданы значения функции {у,}. Требуется найти такую зависимость у = g (x), которая дает совпадающие су =/(х) значения функции в узлах, т. е. /(х_;) = g (x;), а вне их — некоторое «хорошее» приближение.

Это так называемая задача интерполяции. Решение этой задачи может быть также осуществлено путем построения аппроксимирующей функции g (x), которая в некотором смысле слова близка к неизвестной функции Дх).

3. Исследуется неизвестная зависимость величины у от х. В ходе эксперимента получены приближенные значения у~у при выбранных значениях х,. Это обстоятельство говорит о том, что значения функции в узлах известны лишь приближенно, так как содержат по крайней мере ошибку эксперимента. Требуется построить зависимость у = g (x), хорошо отображающую неизвестную зависимость у =/(х) во всех точках рассматриваемого отрезка изменения аргумента х. Поскольку в экспериментальных данных всегда содержатся ошибки, которые желательно сглаживать, то данная задача часто называется задачей сглаживания. Эта задача рассматривается во второй части книги.

Таким образом, в целом ряде практических задач при различных условиях требуется построить некоторую функцию, приближенно заменяющую (аппроксимирующую) известную или неизвестную функцию, основываясь на некоторых сведениях об исследуемой зависимости.

Эти сведения могут носить самый разнообразный характер: аппроксимируемая функция известна; известны значения функции лишь в отдельных точках; известны некоторые общие характеристики функции (например, гладкость, монотонность, четность и т. п.); известен класс функции (например, линейная зависимость); известен критерий выбора аппроксимирующей функции, известна требуемая точность приближения и многие другие факторы и обстоятельства.

В общем случае решение задачи аппроксимации распадается на последовательное решение трех вопросов:

• 1) определение общего вида аппроксимирующей функции;
• 2) формирование критерия аппроксимации;
• 3) нахождение параметров аппроксимирующей функции.

Рассмотрим методологические основы решения этих вопросов.