Геометрическое построение произведения и частного комплексных чисел

Рассмотрим шесть комплексных чисел а, а', а", р, р', р", связанных условием:

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Фиг. 6.

Числа а, а а" служат вершинами одного треугольника; числа р, р', р" являются вершинами другого треугольника (фиг. 6).

Условие (И) выражает тот факт, что эти два треугольника подобны между собою и одинаково расположены. Действительно, из условия (11) следует, если мы вычтем по 1 из его обеих частей:

Переходя к модулям, получим следующее соотношение:

т. е. стороны треугольника чч ч пропорциональны соответствующим сторонам треугольника [IjJ'jJ", что доказывает подобие треугольников. Докажем теперь, что наши треугольники одинаково расположены, т. е. если точка а* лежит справа от направления ад', то и точка лежит справа от направления если же точка а" расположена слева от направления аа', то и точка (}* находится слева от р{5'. Иначе говоря, вершины аа’а" и проходятся в одинаковом направлении. Действительно, из условия (11) следует:

Так как число а*— а изображается вектором аа", то arg (а" — а) характеризует направление этого вектора относительно действительной оси; аналогичные заключения будут иметь место для arg (а' — а), arg (ji" — р), arg (f$' — j?). Следовательно, если точка а" лежит справа, от направления вектора аа', т. е. arg (a" — a)<^arg (a' — а), то из последнего равенства заключаем, что arg (p" —Р)<�С^аг&(?^/ — Р)" ^т— ^е— точка (Г лежит справа от вектора Аналогичное заключение будет иметь место, если точка а" расположена слева от вектора аа!.

Если из точек а, а', а*, р, Р', р" даны, например, первые пять точек, то легко построить шестую точку:

Для этого необходимо построить треугольник РР’Р" с данной стороной рр', который был бы подобен и одинаково расположен с треугольником аа’а*.

Принимая в частности р = 0, а = 0, а' = 1, мы получим построение произведения р'*а", а выбору Р = 0, р' = 1, а = 0 будет CO;

ci" .

ответствовать построение частного .