Расплывчатые цели, ограничения и решения

В общепринятом подходе главными элементами процесса принятия решения являются следующие:

• 1. Множество альтернатив.
• 2. Множество ограничений, которые необходимо учитывать при выборе между различными альтернативами.
• 3. Функция предпочтительности, ставящая каждой альтернативе в соответствие выигрыш (или проигрыш), который будет получен в результате выбора той или иной альтернативы.

При рассмотрении этого процесса с более общих позиций принятия решений в расплывчатых условиях естественной представляется другая логическая схема, важнейшей чертой которой является симметрия по отношению к целям и ограничениям. Эта симметрия устраняет различия между целями и ограничениями и позволяет довольно просто сформулировать на их основе решения.

Действительно, пусть X = {x} - заданное множество альтернатив. Тогда расплывчатая цель, или просто цель, G будет отождествляться с фиксированным расплывчатым множеством G в X. Например, если X = R1 (действительная прямая), а расплывчатая цель формулируется как «х должно быть значительно больше 10», то ее можно представить как расплывчатое множество в R1 с функцией принадлежности, имеющей следующий вид:

Аналогично цели " х должно быть в окрестности 15″ может быть поставлено в соответствие расплывчатое множество с функцией принадлежности.

Следует также отметить, что оба эти множества выпуклы в вышеуказанном смысле.

При обычном подходе функция предпочтительности, используемая в процессе принятия решения, служит для установления линейной упорядоченности на множестве альтернатив. Очевидно, что функция принадлежности? G (x) расплывчатой цели выполняет ту же задачу и, конечно, может быть получена из функции предпочтительности с помощью нормализации, сохраняющей установленную линейную упорядоченность. В сущности, такая нормализация приводит к общему знаменателю различные цели и ограничения и позволяет обращаться с ними одинаковым образом. Это также является важным аргументом в пользу того, чтобы в качестве одного из основных компонентов в логической схеме принятия решений в расплывчатых условиях пользоваться понятием цели, а не функцией предпочтительности.

Подобным же образом расплывчатое ограничение С, или просто ограничение, в пространстве X определяется как некоторое расплывчатое множество в X. Например, в случае X = R1 ограничение " х должно находиться приблизительно в диапазоне 2−10″ может быть представлено расплывчатым множеством с функцией принадлежности, скажем, вида.

где а — положительное число и т — четное положительное число, выбираемое так, чтобы передать смысл, в котором следует понимать «приближение» к интервалу [2, 10]. Если, в частности, положить т = 4 и а = 5−4, то в точках х=2 и х = 10 функция принадлежности равна? С (х) = 0,71, в го время как при х=1их=11 ?С (х) = 0,5, а при х = 0 и х = 12 — ?С (х) = 0,32.

Важным аспектом приведенных выше определений является то, что и цель, и ограничение рассматриваются как расплывчатые множества в пространстве альтернатив; это даст возможность нс делать между ними различия при формировании решения. В противоположность этому при традиционном подходе к принятию решения множество ограничений считается нерасплывчатым множеством в пространстве X, тогда как функция предпочтительности является функцией перехода из X в некоторое другое пространство. Но даже и в этом случае очевидно существование некоторого внутреннего сходства между функциями предпочтительности и ограничениями. Это сходство — а на самом деле тождественность — становится совершенно естественным при приведенной формулировке.

Действительно, если предположить, что, например, расплывчатая цель G и расплывчатое ограничение С соединены между собой союзом «и», который соответствует пресечению расплывчатых множеств, это означает, что в рассматриваемом примере совокупное влияние расплывчатой цели G и расплывчатого ограничения С на выбор альтернатив может быть представлено пересечением GCC. Функция принадлежности для пересечения задастся соотношением.

или в развернутой форме:

Обратимся теперь к понятию «решение». Интуитивно ясно, что решение — это, по существу, выбор одной или нескольких из имеющихся альтернатив. Предыдущий пример показывает, что расплывчатое решение, или просто решение, следует определять как расплывчатое множество в пространстве альтернатив, получающихся в результате пересечения заданных целей и ограничений. Следующее определение уточняет данную мысль.

Пусть в пространстве альтернатив X заданы расплывчатая цель G и расплывчатое ограничение С. Тогда расплывчатое множество D, образуемое пересечением G и С, называется решением. В символической форме соответственно . Взаимосвязь между G и С показана на графике (рис. 2.21).

Рис. 2.21. Взаимосвязь цели и ограничения.

В более общем случае, если имеется п целей и т ограничений, результирующее решение определяется пересечением всех заданных целей и ограничений, т. е.

и соответственно.

В приведенном определении расплывчатого решения цели и ограничения входят в выражение для D совершенно одинаковым образом, что и доказывает утверждение о тождественности целей и ограничений в сформулированной ранее логической схеме процессов принятия решений в расплывчатых условиях.

Однако следует учитывать тот факт, что определение решения как пересечения целей и ограничений соответствует пониманию союза «и» в «жестком» смысле. Если вопрос об интерпретации союза «и» остается открытым, то следует считать, что решение, понимаемое как расплывчатое множество, является слиянием целей и ограничений. В этом случае «слияние» приобретает смысл «пересечения» или «алгебраического произведения» в зависимости от интерпретации союза «и», кроме того, ему может быть приписано какое-либо другое конкретное значение, если возникает необходимость в специальной интерпретации союза «и». Таким образом, обобщенное определение решения можно сформулировать так:

Решение = Слияние целей и ограничений.

В качестве иллюстрации можно привести простой пример, в котором X = {1, 2, …, 10}, a G1, G2, С1 и С2 определяются таблично (табл. 2.33). Образуя конъюнкцию µG1, µG2, µG1 и µG2 получим таблицу значений для µD (x) (табл. 2.34).

Таблица 2.33

Определение целей и ограничений

x
		0,1.	0,4.	0,8.	1,0.	0,7.	0,4.	0,2.
	0,1.	0,6.	1,0.	0,9.	0,8.	0,6.	0,5.	0,3.
	0,3.	0,6.	0,9.	1,0.	0,8.	0,7.	0,5.	0,3.	0,2.	0,1.
	0,2.	0,4.	0,6.	0,7.	0,9.	1,0.	0,8.	0,6.	0,4.	0,2.

Таблица 2.34

Обобщенное определение решения

Решение в этом случае есть расплывчатое множество.

D= {(2; 0,1), (3; 0,4), (4; 0,7), (5; 0,8), (6; 0,6), (7; 0,4), (8; 0,2)}.

Рассмотрим теперь работу методики многокритериальной оптимизации финансовых параметров инвестиций в условиях неопределенности с использованием методов теории нечетких множеств.

Для оценки финансовой стороны планируемых инвестиций принято использовать параметры эффективности, для расчета которых применяется дисконтирование. При этом чаще всего применяются следующие показатели: чистая текущая стоимость NPV, внутренняя норма рентабельности IRR, срок окупаемости капитальных вложений РР, доходность проекта PI, точка безубыточности.

Упрощенный вариант методики формулируется при допущении, что доходность проекта характеризуется лишь параметром NPV. Последнее, как правило, вполне оправданно и для реальной практики, поскольку целесообразно оптимизировать лишь те проекты, которые уже отобраны по критериям IRR, РР, PI.

Таким образом, речь идет об оптимизации проектов, которые удовлетворяют рамочным условиям инвесторов и инициаторов проекта и требуют определения оптимального во времени распределения денежных потоков, максимизирующего NPV проекта при ограничениях, связанных с финансовым риском.

Чистая текущая стоимость NPV представляет собой дисконтированную на конкретный момент времени (обычно на год начала реализации проекта) разность показателей дохода и капиталовложений. Потоки доходов и капитальных вложений обычно представляются в виде единого потока — чистого потока платежей (cash flow), равного разности текущих доходов и расходов.

При заданной норме дисконтирования формулу расчета чистой текущей стоимости можно представить в виде.

(2.13).

где T — время реализации инвестиционного проекта в годах; tn — год начала производства продукции; Рt — чистый поток доходов в году t; d — ставка дисконтирования; tc — год окончания строительства по проекту и начала выпуска продукции; KVt - инвестиционные расходы (капитальные вложения) в году t.

Обычно NPV оценивается путем задания ставки дисконта d равной норме прибыли при вложении капитала в другие альтернативные проекты и ценные бумаги с тем же уровнем риска.