Основные теоремы метода разделения движений

Полученные в результате рассмотренной процедуры разделения независимые подсистемы быстрых и медленных движений можно исследовать отдельно. Вывод относительно свойств исходной системы позволяют сделать теоремы, которые мы далее приведем без доказательства.

Теорема 9.2 (А. Н. Тихонова). Если подсистема быстрых движений (9.30) экспоненциально устойчива, то для любого как угодно малого момента времени t₀ > 0 найдется такое достаточно малое значение параметра р, что траектория движения исходной системы (9.26) будет находиться к моменту времени t₀ в какой угодно малой окрестности поверхности ц>(х, у) = 0.

Доказательство теоремы основано на использовании второго метода Ляпунова. Поскольку подсистема быстрых движений (9.30) экспоненциально устойчива, то существующая для нее функция Ляпунова используется при оценке устойчивости полной системы (9.26).

Теорема 9.2 технически означает, что при экспоненциальной устойчивости подсистемы быстрых движений поведение исходной системы будет близко к поведению медленных движений, т. е. процессы системы (9.26) можно с достаточной точностью оценивать по уравнению (9.28).

Теорема 9.3 (Н. Н. Красовского). Если подсистемы быстрых и медленных движений порознь экспоненциально устойчивы, то существует такое р, при котором исходная система (9.26) будет также экспоненциально устойчива.

Таким образом, эти теоремы устанавливают связь между свойствами полной системы и двух упрощенных и дают обоснование замены исследования точного решения системы с малым параметром анализом приближенного, а именно, решения подсистемы медленных движений.

Пример 9.7. Используя метод разделения движений, определить устойчивость системы.

В результате описание подсистемы медленных движений имеет вид.

Решение

Полагая р = 0, получим откуда следует.

Получили линейное уравнение первого порядка, которое соответствует устойчивой подсистеме.

Уравнение подсистемы быстрых движений следующее:

Как видим, это тоже линейное уравнение первого порядка, причем подсистема быстрых движений устойчива.

Согласно приведенным теоремам 9.2 и 9.3 исходная система будет экспоненциально устойчива, а процессы в ней имеют монотонный характер в соответствии с описанием подсистемы медленных движений.