Обобщенные силы. 
Курс общей физики

Каждой обобщенной координате q_Q соответствует некоторая обобщенная сила Q_Q} которая определяется следующим образом. Элементарная работа всех сил, действующих в системе, при произвольных виртуальных перемещениях

при помощи формулы (14.22) может быть преобразована к виду где величина.

называется обобщенной силой, сопряженной с координатой q_Q.

На практике для определения обобщенной силы Q_a системе дают такое бесконечно малое виртуальное перемещение, при котором изменяется только одна координата q_Q. При этом 6А = Q_a dq_Q. Затем вычисляют работу 6А и по формуле

находят обобщенную силу.

Если активные силы являются потенциальными, а связи — идеальными, то обобщенная сила.

В таком случае уравнения движения имеют вид (14.31). В общем случае, когда связи не являются идеальными и не все активные силы являются потенциальными, обобщенная сила.

При этом уравнения дви;

где Qc — непотенциальная обобщенная сила, жения принимают вид.

Интегралы движения. Законы сохранения

Уравнения движения (14.31) и (14.40) механической системы, имеющей s степеней свободы, представляют собой систему из s дифференциальных уравнений второго порядка. Поэтому общее решение этих уравнений должно содержать 2s произвольных постоянных сj, С2, …, c^s-

где а = 1, 2,…, s. Продифференцировав эти функции по времени, получим обобщенные скорости.

Равенства (14.41) и (14.42) можно рассматривать как систему, состоящую из 2s алгебраических уравнений с неизвестными с j, сг, …, C2S- Разрешив эти уравнения относительно величин cj, сг, …, C2S, получим равенства.

Функция f (q, q, t) называется интегралом уравнений движения, если для любой функции q = q (t), описывающей действительное движение системы, выражение f (q (t), q (t), t) не зависит от времени, т. е. при движении системы сохраняет постоянное значение:

Однако постоянная с может изменяться при переходе от одной функции q = q (t) к другой, т. е. различным движениям системы соответствуют, вообще говоря, различные значения величины с. Согласно этому определению функции fk (q, <)" стоящие в правых частях равенств (14.43), есть интегралы уравнений движения.

Очевидно, что произвольная функция Ф (/ь /г,…, /25) от интегралов движения также будет интегралом. Поэтому интерес представляют только независимые интегралы, т. е. такие функции Д, Д, …, /2s, каждая из которых не может быть выражена через другие. Если найдены все 2s независимых интегралов, то движение систеы можно считать известным, так как, разрешив уравнения (14.43) относительно обобщенных координат и скоростей, получим конечные уравнения движения (14.41). Чем большее число интегралов движения установлено, тем более полное представление может быть составлено о движении исследуемой механической системы.

Рассмотрим случай, когда функция Лагранжа не зависит явно от времени:

Вычислим производную по времени от этой функции. Согласно правилу дифференцирования сложной функции’будем иметь.

Из уравнения (14.40) найдем, что.

Подстановка этого выражения в правую часть равенства (14.45) дает.

Преобразуем это равенство так:

Для системы со стационарными связями равенства (14.21) и (14.22) приводят к формуле.

Используя эту формулу, кинетическую энергию системы можно выразить через обобщенные скорости:

Коэффициенты зависят только от обобщенных координат и не зависят явно от времени. Кроме этого они обладают свойством симметрии:

где.

Выражение (14.48) называется однородной функцией второй степени от обобщенных скоростей. С учетом симметричности коэффициентов р_ар найдем, что.

При этом справедливо соотношение.

называемое формулой Эйлера для однородной функции. Так как.

будем иметь Используя равенства (14.50) — (14.52), нетрудно доказать тождество.

При помощи этого тождества равенство (14.47) можно преобразовать к виду.

где Е = T+U — полная механическая энергия системы. Стоящее в правой части равенства (14.54) выражение есть мощность неконсервативных сил, а само это равенство эквивалентно равенству (5.50).

Непотенциальные силы называются гироскопическими, если их мощность равна нулю:

При этом равенство (14.54) принимает вид.

Таким образом, для системы со стационарными связями, в которой действуют консервативные и гироскопические силы, полная механическая энергия является интегралом движения:

Непотенциальные силы называются диссипативными, если их мощность отрицательна или равна нулю:

При этом сама система также называется диссипативной. В таком случае из (14.54) следует, что

т.е. полная механическая энергия диссипативной системы убывает с течением времени.

Если функция Лагранжа не зависит явно от какой-либо обобщенной координаты q_Q} то эта координата называется циклической. При этом.

и из уравнения Лагранжа (14.31) при Q_q = 0 следует, что.

т.е.

Таким способом может быть установлен еще один интеграл движения.