Общая характеристика задач идентификации

Постановка общей задачи идентификации. Корректно и некорректно поставленные задачи

Общие положения. Идентификация математического описания объекта является основным этапом в построении адекватной математической модели. процесса п поэтому представляет собой одну из центральных задач в области математического моделирования химико-технологических процессов.

Рис. 5.1. К задаче идентификации химико-технологического процесса.

Общую постановку задачи идентификации поясняет рис. 5.1. Химико-технологический процесс характеризуется л-мерным вектором состояний х=(х₁, х₂,.. ., г-мерным вектором управлений и=(п₁, м₂, …" и_г)^т, m-мерным вектором наблюдений у=(1/1, у₂₁.. ., у_т)^т (по числу измерительных приборов), причем на показания измерительных приборов накладывается как собственный «приборный» шум v (?), так и шум объекта w (/). Математическое описание процесса представляется в канонической или нормальной форме уравнений состояния

и наблюдения.

где, а (t) — 2-мерный вектор неизвестных параметров системы, состоящий из коэффициентов системы дифференциальных уравнений, а также статистических характеристик (средних значений и дисперсий) шума объекта w(t) и помех измерений v (f).

Рис. 5.2. Блок-схома линейной динамической системы, описываемой каноническими уравнениями состояния (5.3), (5.4).

В общем случае (5.1) — система нелинейных стохастических дифференциальных уравнений, порядок которой заранее неизвестен.

Частным (но широко распространенным) случаем этой системы является линейная динамическая система с переменными параметрами, матричная форма записи которой имеет вид.

где A (t) — матрица переменных коэффициентов; В (t) — матрица управлений; С (*) — матрица выхода; D (t) — матрица обхода.

Блок-схема системы, соответствующая описанию (5.3)—(5.4), изображена на рис. 5.2.

Решение расширенной задачи идентификации предполагает по данным наблюдения векторов и (2), у (t) (и, если возможно, w (/), ^у (2)) определение структуры уравнений состояния, т. е. размерности системы (5.1), (5.2); нахождение вектора неизвестных параметров a (t) и оценку вектора переменных состояния х (/). Все перечисленные вопросы связаны между собой и поэтому должны рассматриваться совместно. Однако часто структура математической модели процесса известна заранее либо на основе физико-химических особенностей его протекания (например, установлена гидродинамическая структура потоков в аппарате или исследован механизм сложной химической реакции), либо на основе формальных методов синтеза операторов ФХС (см. гл. 2). Поэтому настоящий раздел главным образом будет посвящен тем аспектам идентификации, которые связаны с определением неизвестных параметров и оценкой переменных состояния объекта при фиксированной структуре математической модели.

Задача оценки переменных состояния химико-технологического процесса, к которым можно отнести температуру, давление, составы фаз, расходы жидких и газообразных среди т. д., состоит в том, чтобы по показаниям измерительных приборов, функционирующих в условиях случайных помех, восстановить значения переменных состояния системы, наиболее близкие в смысле заданного критерия к истинным значениям. Применительно к химико-технологическим процессам важность решения задач оценки переменных состояния и определения неизвестных параметров модели объекта имеет три аспекта: открывается возможность получать непрерывно информацию о тех переменных состояния сложного объекта, непосредственное измерение которых невозможно по технологическим причинам (например, концентрации промежуточных веществ, параметры состояния межфазной поверхности, доля свободных активных мест катализатора и т. п.); реализация непрерывной (в темпе с процессом) оценки переменных состояния и поиска неизвестных параметров модели создает предпосылки для прямого цифрового оптимального управления технологическим процессом; решение задач идентификации решает проблему непрерывной оптимальной адаптации нелинейной математической модели к моделируемому процессу в условиях случайных помех и дрейфа технологических характеристик последнего, что необходимо для осуществления статической и динамической оптимизации.

Этими аспектами объясняется все возрастающий интерес исследователей к задачам идентификации II—3]. Кроме того, задачи идентификации сами по себе имеют научно-познавательное значение как обратные задачи математической физики, практическая реализация которых часто затруднительна из-за вычислительных трудностей, связанных с некорректностью этих задач в классическом смысле [4].

Корректно и некорректно поставленные задачи [5]. Решение всякой количественной задачи обычно заключается в нахождении «решения» z по заданным «исходным данным» s, z=R (s). Обычно s и z считаются элементами метрических пространств S и Z (т. е. S, z? Z), причем метрики в них о, (5, s₂) и р, (z, z₂) определяются спецификой задачи. Пусть определено понятие решения и каждому элементу s?S отвечает единственное решение z=R (s) из ыространства Z. Задача определения решения z=R (s) по исходным данным s?S называется устойчивой на пространствах (Z, S), если для любого числа е > 0 можно указать такое число 8 (е) > О, что из неравенства p_e (s_lt s₂) ^ 8 (е) следует р_ж (z_lt %) ^ е, где.

%i=R (^j), z₂=R (^2)" $i, $ 2? ^1″.

Задача определения решения z из пространства Z по исходным данным s из пространства S называется корректно поставленной на паре метрических пространств (Z, S), если: 1) для всякого элемента s?S существует решение z? Z; 2) решение определяется однозначно; 3) задача устойчива па пространствах (Z, S). Задача, не удовлетворяющая перечисленным требованиям, называется некорректно поставленной.

Важный класс некорректно поставленных задач составляют обратные задачи. Пусть исследуемый объект характеризуется функцией или вектором z_r из множества Z. Полагаем, что z_T недоступен наблюдению и исследуется его проявление s_T= =Az_T (s_r?AZ, где AZ — образ множества Z при отображении, осуществляемом оператором А). Уравнение Az=s имеет решение на Z только для тех элементов s, которые принадлежат AZ. Элемент s_r является результатом измерения и известен приближенно. Пусть s — это приближенное значение. Тогда речь может идти лишь о нахождении приближенного (к z_T) решения уравнения Az= =§. Часто оператор А таков, что обратный ему оператор А~¹ не является непрерывным (например, когда А — вполне непрерывный оператор, в частности, интегральный оператор). При этом нельзя в качестве приближенного решения брать элемент z=A~^ls, так как, во-первых, такого решения может не существовать на множестве Z, поскольку § может не принадлежать множеству AZ (т. е. не выполняется первое условие корректности) и, во-вторых, такое решение, если оно даже существует, не будет обладать свойством устойчивости, поскольку обратный оператор Л"¹ не является непрерывным (т. е. не выполняется третье условие корректности). Следовательно, сформулированная задача является некорректно поставленной.

Отсутствие устойчивости затрудняет физическую интерпретацию результатов измерений, а также численное решение задачи по приближенным исходным данным. Таким образом, для обратных задач возникает принципиально важный вопрос: что надо понимать под приближенным решением таких задач? Если ответ на этот вопрос дан, то возникает следующая задача нахождения алгоритмов построения приближенных решений, устойчивых к малым изменениям исходных данных.

Для построения приближенных решений некорректно поставленных задач, устойчивых к малым изменениям исходных данных, привлекается дополнительная информация относительно решения, которая может носить количественный и качественный характер. Дополнительная информация количественного характера позволяет сузить класс возможных решений, и задача становится устойчивой к малым изменениям исходных данных (6, 7]. Использование дополнительной информации качественного характера (например, гладкости решения) требует иного подхода к построению приближенных решений некорректных задач, в основе которого лежит понятие регуляризирующего оператора (8—11]. Рассмотрим кратко существо каждого из этих двух подходов.

• 1. К методам первого подхода относятся метод подбора 14,5], метод квазирешения (6, 7], метод замены исходного уравнения близким ему (12—14], метод квазиобращения [15] и др. Особепно широкое практическое применение получил метод подбора. Он состоит в том, что для решений z из некоторого заранее задаваемого подкласса возможных решений М (MdZ) решается прямая задача Az=s, т. е. вычисляется оператор Az. В качестве приближенного решения берется такой элемент z₀? М, па котором невязка p_t (Az, s) достигает минимума. Практически минимизация невязки р, (Az, s) производится приближенно и первым вопросом обоснования метода подбора является установление общефункциональных требований, ограничивающих класс возможных решений М, при которых метод подбора является устойчивым. Эти требования заключаются в компактности множества М [4, 5]. Пусть вместо точной правой части s_r уравнения Az=s₇ мы имеем элемент s₆, для которого Р" (^st> ^st) ^ 5. Если s_a? AM (где AM — образ множества М при отображении с помощью оператора А) и М есть-компакт, то методом подбора находится приближенное решение уравнения Az= =$_а в виде z_b=A~^ls_b. При 8 -? О имеем z_a -? z₇ (s_a? АМ), т. е. z_s является приближенным (к z_T) решением уравнения Az=s_r, так как обратный оператор А~^х непрерывен на AM. На основе изложенных соображений М. М. Лаврентьев сформулировал (14 ] понятие корректности по Тихонову: в применении к уравнению Az=s задача называется корректной по Тихонову, если известно, что для точного значения s=s₇ существует единственное решение z_r уравнения Az=s, принадлежащее заданному компакту М. Множество Z₁ (Z_xdZ), на котором задача нахождения решения уравнения Az—s является корректно поставленной, называется классом корректности. Так если оператору! непрерывен и осуществляет взаимно однозначное отображение, то компакт М, к которому принадлежит z₇, является классом корректности для уравнения Az—s.
• 2. Рассмотрим теперь ситуацию, когда класс возможных решений уравнения Az—s не является компактом и изменения элемента s, связанные с его приближенным характером, могут выводить за пределы множества AZ (например, оператор А таков, что А'¹ не является непрерывным). Такие задачи называются существенно некорректными. В этом случае приближенное решение z_a не может быть определено по формуле z_a=i4^-1s_a. Представляется естественным определить z_a с помощью оператора, зависящего от параметра а, значения которого надо брать согласованными с погрешностью 8 исходных данных s_a. Согласованность понимается так, чтобы при 8 -* О решение z_i z_T. С этой целью вводится понятие регуляризирующего оператора R (5, а) [5]. Оператор R (s, а), зависящий от параметра а, называется регуляризирующим для уравнения Az=s в окрестности s—$_T, если: 1) существует такое число 0, что оператор R (.?, а) определен для всякого а > О и любого S, для которого p_t (s, s_T) 8 Ь_г; 2) существует такая функция от 8, а=а (8), что для любого е > 0 найдется число 8 (е) < 8i такое, что если s^S и р, (s_T, $j) < 8 (е), то p,(z_r, z_a) < е, где г_в=Л (s_i, а (8)).

Если р, (s_T, 5_г) ^ 8, то согласно [8] в качестве приближенного решения уравнения Az=s с приближенной правой частью берется элемент z_a=R (s_s, а), нолученпый с помощью регуляризирующего оператора R (s, а), где а=а (8, s₈) согласовано с погрешностью исходных данных s₆. Это решение называется реъуляризованным решением, а числовой параметр, а — параметром регуляризации. Описанный метод построения приближенных решений называется методом регуляризации. В работах [8—И] развит вариационный принцип построения регуляризирующих операторов, основанный на понятии стабилизирующих функционалов. Различные способы построения регуляризирующих операторов и определения параметра регуляризации рассмотрены в (5, 16″ 181. В работах (19—211 даны характерные примеры решения прикладных задач методом регуляризации.