Принципы выбора формы средней

При вычислении статистических средних величин всякий раз возникает вопрос: какую из известных форм средней следует применить в данном конкретном случае для получения адекватной оценки уровня изучаемого массового социально-экономического явления?

Споры о правильном вычислении средних величин уходят в глубь веков. В своей работе К. Джини^[1] приводит пример о разногласиях по этому вопросу между Галилеем и Наццолино около 1627 г. Их можно схематично передать так. Имеется лошадь, действительная цена которой 100 скудо. Порознь были приглашены два оценщика, которые оценили ее так: первый в 10 скудо, второй в 1000 скудо (компетентность оценщиков не обсуждается). Спрашивается, какова средняя оценочная стоимость лошади, как, по какой форме средней ее можно найти? Наццолино считал, что нужно применить среднюю арифметическую. Она равна 505 скудо [(10 + 1000J/2), но ничего общего с действительной стоимостью лошади не имеет. Галилей предпочитал среднюю геометрическую: VlO lOOO = 10 скудо. Полнейшее совпадение с действительностью.

Безусловно, это всего лишь пример. Вычисление средних из столь различных величин в социально-экономической статистике не имеет смысла.

Чем же нужно руководствоваться при выборе формы средней?

В литературе по статистике есть несколько рекомендаций относительно выбора формы средней. Предлагается, например, пользоваться принципом определяющей функции, принципом определяющего показателя. Суть этих принципов, которые по смыслу близки, в самом общем виде заключается в следующем: в первом случае замена вариантов усредняемого признака (с учетом их весов в случае взвешенных средних) не должна нарушить равенства обеих частей определяющей функции, а во втором — не должна привести к результату, искажающему величину определяющего показателя.

Рассмотрим еще один, более простой и более надежный принцип, который начал формироваться в 1950;е гг., получивший название логической формулы средней и приведший к новой форме средней — средней агрегатной. Он основан на принципе выяснения сущности средней, ее социально-экономического содержания. Прежде чем оперировать цифрами, нужно выяснить, соотношением каких показателей является средняя в данном конкретном случае. Это исходное соотношение необходимо записать словами в виде формулы, которую и называют логической формулой средней.

После того как записана логическая формула средней, которую нужно вычислить, необходимо внимательно рассмотреть имеющиеся для вычислений данные, заменить словесные значения числителя и знаменателя логической формулы средней соответствующими данными, после чего остается только провести необходимые вычисления.

Этот принцип при вдумчивой работе, безусловно, обеспечит правильное определение величины средней. Еще одно важное свойство принципа логической формулы средней заключается в том, что здесь не возникает проблемы выбора весов средней. А ведь там, где эта проблема есть, нередко допускаются ошибки.

Рассмотрим применение принципа логической формулы средней на фактических статистических данных.

Пример 2.7

Имеются данные об отработанных всеми рабочими человеко-часах и их производительности труда в тыс. руб. за 1 ч на разных производствах по выпуску продукции одного вида за определенный год.

Требуется определить среднюю производительность труда указанных производств. Устанавливаем исходное соотношение и записываем логическую формулу этой средней. Средняя производительность есть отношение общего объема выпуска ко всем отработанным человеко-часам. Следовательно, логическая формула этой средней записывается так:

Общий объем выпуска продукции / Отработанные человеко-часы.

Теперь смотрим, какие данные имеются в нашем распоряжении для числителя и знаменателя логической формулы. Есть знаменатель — данные об отработанных человеко-часах, числителя — данных об общем объеме выпуска продукции по всем производствам — нет. Но их нетрудно определить как произведение отработанных человеко-часов и производительности труда. Подставляем нужные цифры в числитель и знаменатель логической формулы средней, производим необходимые вычисления:

Обозначив производительность труда через х, общее число отработанных всеми рабочими человеко-часов через /, среднюю через х_у запишем формулу символами:

Мы пришли к средней арифметической взвешенной.

Вывод. Если имеется ряд данных о двух взаимосвязанных показателях, для одного из которых нужно вычислить среднюю величину, и при этом известны численные значения знаменателя логической формулы, а значения числителя неизвестны, но могут быть найдены как произведения этих показателей, то средняя должна вычисляться по формуле средней арифметической взвешенной.

Пример 2.8

Имеются данные об общем выпуске продукции и производительности труда на разных производствах за определенный год.

Требуется определить среднюю производительность труда. Логическая формула средней прежняя:

Общий объем выпуска продукции / Отработанные человеко-часы.

В данном случае известны значения числителя и не известны значения знаменателя (отработанных человеко-часов). Они могут быть найдены как частные от деления общего объема выпуска продукции, но различным производствам на производительность труда:

Сохраняя прежние обозначения и введя обозначение общего объема выпуска продукции (W), запишем формулу в символах:. Мы пришли к средней гармонической взвешенной. Надо обратить внимание на то, что всегда w = xf. Численно величина средней та же, что и полученная по формуле средней арифметической.

Вывод. Если имеется ряд данных о двух взаимосвязанных показателях, для одного их которых требуется вычислить среднюю величину, при этом известны численные значения числителя логической формулы ее, а значения знаменателя не известны, но могут быть найдены как частное от деления одного показателя на другой (их численных значений), то средняя должна вычисляться, но формуле средней гармонической взвешенной.

Пример 2.9

Имеются данные об общем числе отработанных всеми рабочими человеко-часов.

Требуется определить среднюю производительность труда. Логическая формула средней прежняя:

Общий объем выпуска продукции / Отработанные человеко-часы.

В данном случае известны и числитель, и знаменатель. Остается разделить сумму значений числителя — общий объем выпуска продукции — на сумму значений знаменателя — общее число отработанных всеми рабочими человеко-часов.

Имея прямые данные о числителе и знаменателе, мы воспользовались средней агрегатной.

Вывод. Если имеется ряд данных о двух взаимосвязанных показателях, для одного из которых требуется вычислить среднюю величину, и при этом непосредственно известны числовые значения и числителя, и знаменателя логической формулы средней, то средняя вычисляется по формуле средней агрегатной.

• [1] См.: Джини К. Средние величины. М.: Статистика, 1970.