Предисловие. 
Алгебра и теория чисел. 
Группы, кольца и поля

Учебное пособие адресовано в первую очередь студентам и аспирантам педагогических вузов математических специальностей и содержит материал по теории групп, колец и полей, излагаемый в рамках дисциплины «Алгебра» («Алгебра и теория чисел»). Вместе с тем изложение имеет целостный, замкнутый характер и может быть использовано всеми желающими для первичного знакомства с основами теории групп, колец и полей.

В первой главе, посвященной группам, кроме традиционно излагаемого материала рассматривается теория конечных абелевых групп, которая в четвертой главе используется при доказательстве того, что мультипликативная группа конечного поля циклическая.

Во второй главе рассматриваются основные понятия теории колец и полей. Первый параграф первой главы и основное содержание второй главы могут быть использованы для первичного знакомства с группами, кольцами и полями уже на первом курсе перед изучением векторных пространств над произвольными полями.

Третья глава посвящена теории делимости в кольцах. «Путеводной завездой» являются основная теорема арифметики и два способа нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел: с помощью разложения чисел на простые множители и с помощью алгоритма Евклида. Первый способ приводит к факториальным кольцам, а второй — к евклидовым кольцам. Рассмотрены кольца главных идеалов и доказана их факториальность.

Четвертая глава знакомит с расширениями полей. Рассматриваются тела как содержательные обобщения полей. Приведено доказательство теоремы о том, что конечное тело является полем. Рассмотрено тело кватернионов. В заключение описываются алгебры с делением конечного ранга над полем действительных чисел, доказана теорема Фробениуса, которая носит завершающий характер.

В каждой главе материал расположен в порядке возрастания степени сложности, что способствует вариативному использованию пособия. Текст, содержащий дополнительные сведения, помечен звездочкой. Вопросы в конце параграфов, как правило, просты и способствуют усвоению основного содержания, а задачи помогают закрепить приложения теории.

В результате усвоения изложенного материала студент должен приобрести следующие компетенции:

знать

• • формулировки определений основных понятий;
• • формулировки основных теорем;

уметь

• • доказывать свойства основных понятий;
• • решать задачи по теории групп, колец и полей;

владеть

• приложением материала для работы с многочленами, векторными пространствами и числовыми системами.

В тексте используются значки: (тогда и только тогда, когда), => (отсюда следует). Знак (=>) обозначает начало доказательства необходимости, а знак (<=) — начало доказательства достаточности. Знак: означает «делится».

Автор благодарит профессора Н. Н. Осипова, замечания которого способствовали улучшению изложения.