Нестандартные (д-кратные) ренты

Выше мы рассмотрели лишь стандартные ренты, у которых период ренты совпадал с базовым промежутком временной шкалы, так что каждому единичному временному промежутку соответствовал единственный платеж ренты. При этом в приведенных в предыдущем параграфе выражениях для стоимостей рент процентная ставка i была согласована с периодом ренты. Эта ставка являлась фактической (эффективной) ставкой за период ренты. В этом параграфе мы рассмотрим более общие виды рент, в которых период между отдельными платежами может не совпадать ни с базовым промежутком временной шкалы, ни с периодом начисления процентов. Ренты такого вида в учебниках по финансовой математике иногда называют общими рентами. В этом параграфе мы рассмотрим лишь постоянные ренты такого вида, т. е. нестандартные рейты с одинаковыми периодическими платежами. Хотя получающиеся в этом случае формулы для стоимостей рент имеют более громоздкий вид, схема их вывода чрезвычайно проста и сводится, по существу, к преобразованию исходной ренты к некоторой (простой) стандартной ренте.

Основное отличие нестандартных рент от стандартных заключается в том, что период между платежами ренты может быть меньше или больше базового периода временной шкалы. Так, за один базовый период могут осуществляться р платежей ренты (/^-кратные ренты, если р > 1). Двойственным является случай, когда период между платежами больше базового периода. Так, платежи по ренте могут осуществляться один раз за несколько лет. С формальной точки зрения нет никакой разницы между анализом этих случаев.

Проводимый ниже анализ будет интерпретироваться в основном для случая кратной ренты (/; > 1), но получаемые формулы, как мы увидим в дальнейшем, будут работать во всех случаях.

Дополнительное различие между проведенным выше анализом стандартных рент и общим случаем заключается в произвольном способе задания процентной ставки, которая, как это принято, непосредственно привязывается к базовому периоду временной шкалы, т. е. это нормированная (например, годовая) номинальная либо эффективная ставка. Естественно, период начисления, связанный с номинальной ставкой, может быть никак не связан с периодом платежей ренты. Заметим, что, как это принято в финансовой литературе, к единичному периоду привязывается и величина выплат по ренте.

Итак, р-кратная (немедленная) рента для выбранной временной (например, годовой) шкалы задается следующими параметрами:

h — период ренты или кратность р (г.е. число платежей за единичный период, например за год), причем очевидно, что.

t₀ = т₀ — начало ренты;

t_n — конец ренты;

п — срок ренты в единицах временной шкалы (например, в годах);

С — общая сулима платежей за единичный период.

Таким образом, все параметры ренты выражаются в терминах временной шкалы. Так, если шкала — годовая, то указывается период ренты в годах или число платежей ренты за год, срок в годах и общая сумма выплат за год. Ниже мы будем считать параметры р, п целыми числами, а начало ренты выберем нулевым: t₀ =0.

Очень важно понимать, что в соответствии с нашим описанием единичной р-кратной рентой является рента, у которой С = 1, т. е. единице равна полная сумма выплат за единичный период, а не величина каждой отдельной выплаты. Так, в случае годовой шкалы единичная 2-кратная обыкновенная рента предусматривает выплату единичной суммы за год, что подразумевает выплату ½ денежной единицы в конце каждого полугодия.

Определив понятие (немедленной) р-кратной ренты относительно выбранной временной шкалы, мы можем перейти к нахождению их эквивалентных значений или накопленной и текущей стоимостей. Для того чтобы сделать это, необходимо задать процентную ставку. Как известно (см. гл. 7), ставку можно задавать тремя способами:

• а) в виде нормированной (эффективной) ставки i за единичный период;
• б) в виде номинальной ставки iv), начисляемой г раз за базовый период временной шкалы;
• в) в виде номинальной непрерывно начисляемой ставки j (интенсивности или силы процентов).

Эти ставки связаны следующими соотношениями:

В предыдущем параграфе мы получили выражения для стоимостей стандартных рент при условии, что период начисления процентов со ставкой i совпадает с периодом ренты. Общую ренту можно всегда рассматривать как стандартную, в которой единичный период временной шкалы будет совпадать с периодом ренты. В этой новой шкале срок ренты (с периодом 1/р в старой шкале) будет равен.

а платеж за период — С/р, если С — платеж исходной ренты. Таким образом, все, что осталось, — это найти ставку за период h — /р ренты, эквивалентную исходной нормированной ставке. Если исходная ставка была нормированная ставка /, то эквивалентной ставкой за период ренты будет ставка.

Если же задаваемой ставкой была номинальная ставка iv) с r-кратным начислением, то эквивалентной ей ставкой за период h (с учетом предыдущего равенства) будет ставка.

Дисконтный множитель v_h за период ренты будет равен в каждом случае.

Выразив ставку i_h за период ренты h через исходную заданную ставку, мы получим, по существу, простую ренту, период которой совпадает с периодом ставки i_h. Для таких рент, как мы знаем, можно непосредственно использовать формулы стоимостей стандартных рент, если пользоваться шкалой, в которой базовым является период самой ренты.

Стоимости р-кратных рент (метод преобразования ставки). Получим теперь формулы для текущих стоимостей единичных р-кратных рент. Так, обозначая через накопленную стоимость обыкновенной единичной р-кратной ренты, мы можем записать следующее равенство:

где h = 1/р — период ренты. При этом, раскрывая правую часть этого равенства, в случае эффективной (нормированной) ставки i получим.

в случае номинальной ставки iv)

Заметим, что во всех случаях числители формул стоимости р-кратной ренты совпадают с числителем в формулах стоимости стандартной ренты, поскольку.

Таким образом, эти формулы отличаются от стандартных наличием коэффициента 1 /р и ставки i_h в знаменателе вместо L

Совершенно аналогичное выражение получаем для всех остальных видов стоимостей единичной р-кратной ренты:

В каждом случае стоимости обыкновенной и авансированной рент связаны соотношениями.

где i_h — эквивалентная ставка за период ренты (h = 1 /р).

Пример 8. Рассмотрим 5-летнюю обыкновенную ренту, в которой платежи осуществляются в конце каждого квартала общей суммой 200 руб. за год, а проценты начисляются три раза в год по ставке 15% годовых. Найти накопленную и текущую (Л₅) стоимости этой ренты.

Решение. В этом примере.

Для решения задачи найдем прежде всего эквивалентную ставку i_h, коэффициент роста a_h и дисконтный множитель v_h за период h ренты. Поскольку А³) =15% годовых, то эквивалентная ставка за квартал найдется из соотношения.

откуда

и, следовательно,.

Подставляя эти значения в формулы (10.23) и (10.28),.

получим.

и

Следует отметить, что нет, вообще говоря, смысла выписывать, как это делается во многих книгах по финансовой математике, а тем более запоминать развернутые выражения формул типа (10.22), (10.23) для стоимостей рент. Простейший способ избежать этого состоит в преобразовании общей ренты в стандартную, выбирая в качестве базового периода шкалы период ренты и, что самое главное, преобразовав заданную нормированную ставку (или заданную другим образом ставку) в эквивалентную ставку за период ренты.

Не менее просто получаются формулы для кратных бессрочных (вечных) рент. Текущая стоимость единичной р-кратной обыкновенной бессрочной ренты выражается в виде.

для нормированной ставки i,

для номинальной г раз начисляемой ставки г (^г) и.

для номинальной непрерывно начисляемой ставки j.

Для р-кратной единичной бессрочной авансированной ренты приведем лишь одно выражение:

использующее номинальную непрерывно начисляемую ставку у.

При решении задач, как и в случае срочных кратных рент, лучше не пользоваться этими общими формулами и сначала находить приведенное к периоду ренты эквивалентное значение ставки (процентной или учетной), а затем пользоваться формулами стоимостей стандартных рент.

Пример 9. Найти текущую стоимость:

• а) для бессрочной обыкновенной ренты с ежеквартальными выплатами по 100 руб. и месячной ставкой 5%;
• б) для бессрочной авансированной ренты с ежемесячными выплатами по 50 руб. и номинальной учетной ставкой 20%, учитываемой дважды в году.

Решение. В случае а) эквивалентная квартальная ставка будет равна.

и, следовательно, стоимость ренты составит.

В случае б) эквивалентная месячная учетная ставка будет равна.

и, следовательно, текущая стоимость ренты составит.