Статистики Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна

Рассмотрим идеальный газ, состоящий из N тождественных частиц. Определим среднее число частиц газа пь, находящихся в k-ом квантовом состоянии с энергией s_k,. Считая совокупность таких частиц квазинезависимой подсистемой, применим к ней распределение Гиббса. При этом нужно учитывать, что число частиц в этой подсистеме может меняться за счет обмена энергией между частицами. Поэтому необходимо использовать распределение Гиббса для систем с переменным числом частиц:

где — термодинамический потенциал частиц, находящихся в /i-м состоянии, N_H — число частиц в этом состоянии, |Д — их химический потенциал, Г (2?_и) — статистический вес состояний с энергией Е"₉ Q = kT — статистическая температура.

Подсчитаем сумму под знаком логарифма, учитывая разные правила заполнения квантовых состояний бозонами и фермионами. Поскольку в каждом квантовом состоянии может находиться не более одного фермиона, то для них п_к может быть равно либо нулю, либо единице, следовательно.

Соотношение (6.7) и есть искомое распределение фермионов по квантовым состояниям. Его называют распределением ФермиДирака.

Число бозонов в данном квантовом состоянии произвольно, поэтому для них п_к может принимать любое целое значение от нуля до /V, где N — полное число частиц в системе. Поскольку речь идет о макроскопических системах, с полным основанием можно считать N бесконечно большой величиной. Тогда.

Для того, чтобы этот ряд сходился, необходимо, чтобы выполнялось неравенство <, что возможно лишь при условии р. < Тогда члены ряда образуют бесконечную убывающую геометрическую прогрессию с первым членом, равным единице и знаменателем, равным е^>(м~^Е^'Поэтому получаем:

где знак плюс в знаменателе относится к фермионам, а знак минус — к бозонам. Химический потенциал х определяется из условия нормировки.