Построение кинетической модели псевдоожиженного слоя

Метод построения математической модели псевдоожиженного слоя, который будет изложен ниже, интересен тем, что позволяет проследить переход от нижнего (атомарно-молекулярного) уровня иерархической структуры эффектов ФХС до ее верхнего уровня. Важной составной частью стратегии этого перехода будет служить процедура оценки отдельных членов уравнений и выявление минимального числа наиболее значимых факторов, определяющих поведение ФХС.

В настоящее время существует три подхода к описанию псевдоожиженных систем.

Первый подход основан на использовании моделей, разработанных в классической механике сплошной среды [40—481. Здесь для каждой из сплошных сред — газа и твердой фазы — записывается группа уравнений гидромеханики, включающая среди прочих уравнения Навье—Стокса и уравнение неразрывности со своими граничными условиями.

Второй подход состоит в непосредственном применении для описания псевдоожиженных систем упрощенных модельных представлений (см. гл. 4), в частности, моделей, разработанных для описания различных диффузионных процессов [49—541. При этом обычно рассматривается стандартное диффузионное уравнение общего вида, решением которого является функция распределения частиц по координатам. Распределение частиц по скоростям в рамках данной модели исключается из рассмотрения.

Третий подход основан па теоретическом анализе псевдоожиженных систем методами кинетической теории газов [55, 561. Конечной целью, к которой стремятся исследователи, развивая это направление, является получение шестимерной плотности распределения частиц по скоростям и координатам, полностью описывающей поведение каждой частицы в слое (см. § 1.5). Знание этой функции дает возможность описать осредненные пульсационные движения в рассматриваемой ФХС. В работе [551 предложено уравнение Больцмана для твердой фазы, дифференциальная часть которого включает диффузионный член. Это уравнение содержит много экспериментально определяемых величин, что затрудняет его практическое использование. Кроме того, на уровне кинетической задачи не рассматривается взаимодействие между твердой и газовой фазами. В работе [561 приводится кинетическое уравнение для твердой фазы псевдоожиженного^ слоя, полученное из уравнений Лнувилля и Гамильтона. При этом физические эффекты в системе в целом рассматриваются в масштабах изменения функции распределения частиц газовой фазы. Однако не учтено, что масштабы изменения функции распределения частиц газовой фазы значительно меньше масштабов изменения функции распределения частиц твердой фазы. Для устранения этой некорректности модели требуется осреднить функцию распределения частиц газовой фазы по объему, являющемуся элементарным для твердой фазы. При этом необходимо рассматривать уже не одно, а два кинетических уравнения — для газа и твердой фазы. Кроме того, корректное использование уравнения Лнувилля для вывода уравнения, описывающего движение твердой фазы, является затруднительным из-за неконсервативности поля сил, в котором движется отдельная твердая частица.

Попытка учета указанных факторов при построении кинетической модели псевдоожиженного слоя сделана в работе 157 ] (схема этой работы положена в основу дальнейшего изложения). На первом этапе строится замкнутая система, содержащая кинетические уравнения для газа и твердой фазы. При построении системы кинетических уравнений используется феноменологический подход. Система учитывает взаимодействие между фазами, описывает явления в псевдоожиженном слое в едином масштабе и учитывает тот факт, что отдельная твердая частица движется в неконсервативном поле сил. На втором этапе выводится система уравнений гидромеханики псевдоожиженного слоя, содержащая явный вид силы межфазного взаимодействия. На третьем этапе путем последовательного упрощения системы гидромеханических уравнений и оценки порядков входящих в них величин решается задача об одномерном нестационарном течении внутри слоя. Кратко рассмотрим каждый из перечисленных этапов.

Построение уравнения Больцмана для псевдоожиженного слоя. Псевдоожиженный слой интерпретируется как смесь двух сред — газа и твердой фазы. Предполагается при этом, что характерный размер частиц твердой фазы намного больше характерного размера частиц (молекул) газа; продолжительность столкновений между любыми частицами считается пренебрежимо малой по сравнению со средней продолжительностью свободного движения частиц; все частицы считаются упругими; вероятность одновременного столкновения трех и более молекул газа или трех и более частиц твердой фазы пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью столкновения двух молекул газа или двух частиц твердой фазы.

Введем следующие обозначения: г=(;г, у, z) — радиус-вектор центра масс частиц; v® — вектор скорости молекул газа; v® — вектор скорости частиц твердой фазы; F_x — напряженность поля массовых сил, действующих на молекулу газа. Кроме того, введем функцию распределения p₁ (г, v®, /), такую, что.

где dm_x — математическое ожидание числа молекул газа, находящихся в момент времени t в объеме [г, r-f-drj со скоростями из объема [vj, v® + dvj].

Аналогично введем функцию распределения р₂ (г, vj, t). Величина.

представляет собой математическое ожидание числа частиц твердой фазы, находящихся в момент времени t в объеме (г, r-j-dr) со скоростями из [v®, v® + dv®].

Функция распределения р₁ полагается осредненной по элементарному объему (г, г-Мг] псевдоожиженного слоя, а функция распределения р₂ полагается осредненной по ориентации и по всем угловым скоростям твердых частиц. Для функций распределения р_х и р₂ записывается система уравнений Больцмана [58]:

Здесь первое уравнение системы характеризует изменение числа молекул газа в элементарном фазовом объеме {[г, r-fdr], [vj, vj-bdvj]} за промежуток времени dt, вызванное соударениями молекул между собой, а также соударениями молекул газа с твердыми частицами. Второе уравнение системы характеризует изменение числа частиц твердой фазы в объеме {[г, r—dr ], [vj, v^-Mvg]} за тот же промежуток времени, вызванное соударениями частиц твердой фазы между собой, а также частиц твердой фазы и молекул газа. Точка над любой величиной означает дифференцирование величины по времени вдоль траектории частицы. Интегралы столкновений J_ij (i, /=1, 2) характеризуют изменение числа частиц г-й фазы в фазовом объеме в результате воздействия у-й фазы на t-ю. Интеграл столкновения J можно представить в виде разности двух функций ^гД^е — функция рожде ния, характеризующая число частиц, появившихся в фазовом объеме за время dt Hj ~~ функция гибели, характеризующая число частиц, покинувших фазовый объем за время dt.

Построение кинетической модели псевдоожиженного слоя сводится к определению явного вида интегралов столкновений J.j и построению функций и Xij Д^ля каждого вида взаимодействия. Результирующая система кинетических уравнений имеет вид [57).

Здесь p_t—Pi (г, v", t); р[ = р.(_г, v" t); p" _t = Pi (t, vf, t)

(i=l, 2); n — внешняя нормаль к поверхности твердой частицы;

Т₂ — температура поверхности твердой частицы; T₍j — ударная трансформанта [58]; S_{( — полное сечение столкновения, которое интерпретируется в теории рассеяния как некоторая площадь, обладающая тем свойством, что через нее проходят частицы i-й фазы, рассеивающиеся при соударении друг с другом в пределах некоторого телесного угла. Например, математическое ожидание числа столкновений между молекулами газа со скоростями из [v?', v{' -f-dv5'J ^и [^v5 «соответственно за время dt в объеме.

[г, гf — dr] определяется как S_n (| v}' — |) | v*}' •— v}" | p_l (г, vj', t) X.

X p₂ (ri vf, t) dvj’dvfdrd*.

Отличие вида дифференциальных частей системы (3.71) от аналогичных в системе уравнений Больцмана (см., например, [59]) состоит в том, что в данном случае фазовый объем может не сохраняться вдоль траектории. Поскольку при вычислении J_l2 можно сначала подсчитать прирост числа молекул газа от соударения с элементом поверхности dS всех твердых частиц, а затем проинтегрировать по *S, то порядок интегрирования по vj' и 5 в (3.71), вообще говоря, можно изменить.

Непосредственно решение сформулированной системы дает возможность получить явный вид функций распределения р_х и р₂, которые полностью описывают рассматриваемую физическую систему. Кроме того, из системы уравнений (3.71) вытекают уравнения гидромеханики псевдоожиженного слоя.

Уравнения гидромеханики псевдоожиженного слоя. Переход от системы кинетических уравнений (3.71) для псевдоожиженного слоя к уравнениям гидромеханики осуществляется методом усреднения уравнений исходной системы по скоростям молекул газа и частиц твердой фазы. Усреднение произвольной динамической переменной Yj (vj), (i=1, 2), характеризующей движение частиц i-й фазы, производится по формуле.

где.

— плотность числа частиц i-й фазы. Отсутствие пределов интегрирования в формуле (3.72) означает интегрирование по всем возможным скоростям частиц. Физический смысл величины N_f ясен из соотношения р_t=M^N₀ где р_{ — плотность массы i-й массы в псевдоожиженном слое; MJ — масса одной частицы i-й фазы.

Введем тепловые (собственные) скорости w, (i=l, 2) молекул газа и частиц твердой фазы, которые характеризуют тепловое движение частиц относительно их упорядоченного движения, по следующей формуле:

где vj— «истинные» скорости (т. е. скорости в стандартной системе отсчета); v_<=^v})>.

При интегрировании уравнений системы (3.71) используются два условия. Первое из них имеет вид.

где и_тлх — максимально допустимая скорость частиц (для молекул газа у_тах оо). Второе условие накладывается на ударные трансформанты T_{j (i, ] = 1, 2):

Эти соотношения выражают законы сохранения массы импульса и энергии при столкновении частиц, записанные с использованием ударной трансформанты (58].

Результирующая система гидромеханических уравнений для газовой (?=1) и твердой (i=2) фаз псевдоожиженного слоя, полученная методом усреднения, имеет вид [57 ].

Здесь р_{ — плотность г-й фазы; _{ — средняя скорость г-й фазы; а_{ — тензор давления в г-й фазе; q,. — вектор теплового потока в i-й фазе; р — плотность смеси; F — напряженность массовых сил в смеси; v — массовая скорость движения смеси; и₍ — внутренняя энергия единицы массы г-й фазы;

x_i — компоненты вектора г; Vj — компоненты вектора v; a.j — компоненты тензора а; /V, — число частиц г-й фазы в единице объема; pj/V₂f — сила межфазного взаимодействия, которая в явном виде выражается соотношением.

_PlN₂U_l2— интенсивность обмена энергией между фазами, определяемая соотношением.

Систему уравнений (3.73) необходимо дополнить двумя уравнениями состояния для «гидростатических» давлений Р_{ и одним калорическим уравнением состояния (например, для Uj).

Построение модели одномерного течения в псевдоожиженном слое. Исходным пунктом при построении модели являются сформулированные выше система кинетических уравнений (3.71) и полученная из нее система гидромеханических уравнений (3.73). Для упрощения приведенных описаний необходимо привести эти системы к безразмерной форме. Такая запись систем позволяет оценить порядки отдельных членов уравнений, сравнить их между собой и отбросить малозначимые величины, выделяя наиболее существенные факторы, определяющие поведение ФХС.

Учитывая, что скорость течения газа невелика по сравнению со скоростью звука в газе, перейдем в (3.71) и (3.73) к безразмерным переменным (которые помечены знаком (*)) по следующим формулам (57 J:

Здесь L₀ и величины, обозначенные знаком «оо», являются характерными величинами, а к_ь — постоянная Больцмана.

Для оценки порядков величин, входящих в уравнения (3.71) и (3.73), в условиях задачи (при существенно дозвуковом течении газа) можно в качестве характерных взять следующие значения параметров: Т& — максимальное значение температуры газа; /V® и Nf — средние значения плотности числа частиц в единице объема; F® — максимальное значение величины напряженности поля массовых сил; Sg — размер поверхности твердой частицы; 5^ — определяется соотношением: N® ^гД^е h — средняя длина свободного пробега молекул газа при температуре, равной 7'_со. Поскольку мы рассматриваем внутреннее течение газа, то в качестве L₀ можно взять диаметр аппарата с псевдоожиженным слоем.

Используя переменные (3.75), будем иметь.

где J*_tj имеют тот же вид, что и в (3.71), но содержат безразмерные переменные.

Тогда из (3.71) и (3.76) получим следующую кинетическую систему уравнений в безразмерных переменных:

Здесь и в дальнейшем (см. соотношения (3.78)) для простоты записи в окончательных выражениях звездочки над безразмерными переменными будут опускаться.

Перейдем теперь к безразмерным переменным в системе уравнений гидромеханики псевдоожиженного слоя. Для этого в (3.73) нужно подставить соответствующие соотношения из (3.75) и проделать преобразования, аналогичные (3.76):

Учитывая эти соотношения, из (3.73) получим следующую систему уравнений гидромеханики псевдоожиженного слоя, записанную в безразмерных переменных:

Теперь определим порядки значений безразмерных параметров е, и F_r, входящих в уравнения (3.77) и (3.78). Это позволит сделать выводы о виде приближенных выражений для функций распределения р_{} а также для а_{ и q<. Порядок величин е, и F_r определяется свойствами физической системы, рассматриваемой в задаче. Для определенности будем считать, что Т_т не превосходит значений температур порядка +20° С, a L₀=10^-30 см.

Известно 159), что 1₀ зависит от потенциала взаимодействия между молекулами газа. Обычно при не очень высоких температурах газа справедлив степенной потенциал взаимодействия U=k₁₂r~f₁ где к₁₂ — постоянная, а г₀— расстояние между молепулами газа. Модель упругих сфер соответствует случаю 7=00. При степепнбм потенциале взаимодействия [59].

где В — значение параметра е_х при температуре Т_т=Т₀= =273,15° К (например, для азота [60] В ~3,9 •10^_7-^-5,8−10~⁷; для азота и воздуха е_х 1). Далее, учитывая, что плотность твердых частиц порядка 0,6 г/см³, их диаметр и длина составляют соответственно 0,2 и 0,6 см, находим, что е₂ ~0,02. Таким образом, е₂ 1 ие₃<^1. Наконец, е₄ —10^-1, е₅ ~10^-1 и F_r ^Ю" ⁴. При в₁₉ е₂, е₃ —? 0 из (3.77) имеем.

Из кинетической теории газов известно [59], что решению системы (3.77) при условии (3.79) соответствует максвелловская функция распределения р°_{ для каждой из частиц i-ro сорта (в наших терминах — для частиц i-й фазы), а именно:

В идеальном газе и₁=(³/₂)(к_ьТ/ЛГ$). Для тензора напряжений i-й фазы, если функция распределения имеет вид (3.80), получим следующее выражение [59]:

где P_i — давление внутри i-й фазы, а I — единичный тензор. Заметим, что вектор теплового потока q.=0, если Величины f.

и U_l2 в рассматриваемом приближении следует также вычислять с учетом выражения (3.80). При этом закон взаимодействия Г,₂ молекул газа с поверхностью твердой частицы является заданным.

Из сказанного выше следует, что в пределе при е_х, е₂, е₃ -? 0 допустимо пользоваться уравнениями гидромеханики псевдоожиженного слоя, в которых вид тензора напряжений i-й фазы совпадает с видом тензора напряжений идеальной жидкости, а вектор теплового потока q^O.

Результаты кинетической теории газов указывают на то, что эффект вязкости газа в уравнениях (3.77) и (3.78) пропорционален е_х, а эффект вязкости твердой фазы связан с параметром е₂. Поскольку в данной задаче е₃ ^ 1, то вязкость твердой фазы имеет более существенное влияние на физическую систему, чем вязкость газовой фазы (другими словами, твердая фаза в рассматриваемом случае является более вязкой). Эффект вязкости, как известно [61], может существенно сказываться вблизи поверхности обтекаемого тела. Поэтому можно считать, что в условиях задачи система (3.78) с тензором напряжений (3.81) удовлетворительно описывает течение внутри ядра потока, т. е. вне узкой зоны вблизи границ аппарата.

Покажем, что при реальных предположениях о законе взаимодействия газа с поверхностью твердой частицы коэффициент f в выражении для силы межфазного взаимодействия является функцией разности средних скоростей движения фаз, если функции распределения р® имеют вид (3.80). Поскольку поверхность твердой частицы не является идеально гладкой, можно считать, что молекулы газа отражаются от поверхности твердой частицы по диффузному закону 158], т. е.

От переменных (v® — v®) в абсолютной системе координат перейдем к переменным т) в системе координат, связанных с твердой частицей по формулам

где — нормальная к поверхности твердой частицы составляющая скорости (v® — vj); tjj и %— соответствующие касательные составляющие вектора (vj — v§); cos aj, cos fij, cos — направляющие косинусы декартовой системы координат, связанной с точкой поверхности твердой частицы.

Для любой функции cp (v® — v®) справедливо соотношение Тогда получим [62].

Кроме того, и

где w₂=v!|—v₂, w° = v°—v®. Подставим (3.82)—(3.84) в (3.74) и учтем, что интегрирование по v§' и v}' заменяется интегрированием по w₂ в пределах (—оо, -foo) и по w° — в области иР_я <1 0. Замена конечных пределов интегрирования по v}', v§' на бесконечные здесь допустима. Действительно, р₂ зависит от и> экспоненциально, поэтому ошибка от замены пределов интегрирования является экспоненциально малой. Таким образом, при диффузном характере отражения молекул газа от поверхности твердой частицы и при максвелловской функции распределения (3.80) величина f может быть представлена в виде следующей функции: f=f₀ (и" и₂, v₂—v,).

При переходе к задаче об одномерном течении внутри псевдоожиженного слоя примем, что течепие каждой фазы подчиняется уравнениям движения идеальной нетеплопроводной жидкости, теплообмен между газом и поверхностью твердой частицы отсутствует, движение одномерно и происходит в поле сил тяжести.

Пусть течение в псевдоожиженном слое направлено вдоль вертикальной оси z. Тогда система уравнений (3.78) при e_lt е₂, е₃ 1 в размерных переменпых примет вид.

Систему (3.85) нужно дополнить начальными и граничными условиями. Допустим, что на входе в слой (т. е. при 2=0) известны давление, температура и скорость газа:

где v—v (*), Р—Р (t) — заданные функции. Будем считать, что на внешней границе псевдоожиженного слоя (т. е. при z=h) число частиц твердой фазы пренебрежимо мало. Поэтому при z=h

Заметим, что вместо выполнения условий (3.87) при z—h можно потребовать выполнения этих условий при zlh -> со.

Высота псевдоожиженного слоя, вообще говоря, является функцией времени, т. е. h—h (/). В начальный момент времени (при *=0) должны быть известны также все макропараметры физической системы. Это означает, что для решения системы (3.85) нужно задать при J=0 значения величин u_Xl v₂, Р_х и Р₂. Положим, что при t=0:

Здесь, строго говоря,.

Система (3.85) допускает дальнейшее упрощение. Учитывая малость всех безразмерных параметров е_{ и F_r в системе (3.78) и сохраняя только главные (при е₍ 0 и F_r -" 0) члены в каждом из уравнений системы (3.78), из (3.85) получим следующую систему уравнений:

Вводя порозностъ е по формулам р₂ = ер_Р, р₂ = (1 —е) р_т, где постоянные р_г и р_т — кажущиеся плотности газовой и твердой фаз, перепишем систему (3.90) в видо.

Система уравнений (3.85) или (3.91) совместно с дополнительными условиями (3.86)—(3.89) представляет конечный результат процедуры последовательного упрощения математического описания исследуемой ФХС в виде исходных систем уравнений (3.71) и (3.73), соответствующих первому уровню иерархической структуры эффектов физико-химической системы (см. § 1.1). Итоговая математическая модель одномерного течения в псевдоожиженном слое может служить основой для решения конкретных задач, связанных с расчетом технологического оборудования и поиском оптимальных условий проведения химических, тепловых и диффузионных процессов в аппаратах псевдоожиженного слоя [57).