Надежность последовательных систем при нормальном распределении нагрузки по однотипным подсистемам

Если рассеяние нагрузки по однотипным подсистемам пренебрежимо мало, а несущие способности элементов независимы друг от друга, то отказы элементов статистически независимы и поэтому вероятность p (R> F₀) безотказной работы последовательной системы с несущей способностью R при нагрузке F₀ равна произведению вероятностей безотказной работы элементов:

где p (Rj> F₀) — вероятность безотказной работы у-го элемента при нагрузке F₀; п — число элементов в системе; F_Kj(F₀) — функция распределения несущей способности у'-го элемента при значении случайной величины Rj= F₀.

В большинстве случаев нагрузка на конкретные системы имеет существенное рассеяние при применении систем, например одни и те же универсальные машины (станки, автомобили и др.) могут эксплуатироваться в различных условиях. При рассеянии нагрузки по системам оценку вероятности безотказной работы системы p (R > F) в общем случае следует находить по формуле полной вероятности, разбив диапазон рассеяния нагрузки на интервалы ДF, определив для каждого интервала нагрузки произведение вероятности безотказной работы p (Rj> F₍)у'-го элемента при фиксированной нагрузке на вероятность этой нагрузки f (F,)AF, а затем, просуммировав эти произведения по всем интервалам,.

или, переходя к интегрированию,.

где f (F) — плотность распределения нагрузки; F_Rj(F) — функция распределения несущей способности у'-го элемента при значении несущей способности R_t = F.

Расчеты по формуле (4.14) в общем случае трудоемки, так как предполагают численное интегрирование, поэтому при большом п возможны только на ЭВМ. Чтобы не вычислять p (R> F) по формуле (4.14), на практике часто оценивают вероятность безотказной работы систем p (R > F_max) при нагрузке F_wax максимальной из возможных. Принимают, в частности, F_max = /лД1 + 3iv), где m_F — математическое ожидание нагрузки; v_F — ее коэффициент вариации. Это значение F_max соответствует наибольшему значению нормально распределенной случайной величины F на интервале, равном шести средним квадратическим отклонениям нагрузки. Такой метод оценки надежности существенно занижает расчетный показатель надежности системы.

Существует достаточно точный метод упрощенной оценки надежности последовательной системы для случая нормального распределения нагрузки по системам. Идея метода состоит в аппроксимации закона распределения несущей способности системы нормальным распределением так, чтобы нормальный закон был близок истинному в диапазоне пониженных значений несущей способности системы, так как именно эти значения определяют величину показателя надежности системы.

Сравнительные расчеты на ЭВМ по формуле (4.14) (точное решение) и по приведенному далее упрощенному методу показали, что точность упрощенного метода достаточна для инженерных расчетов надежности систем, у которых коэффициент вариации несущей способности не превышает 0,1… 0,15, а число элементов системы не более 10… 15. Суть упрощенного метода заключается в следующем.

1. Задаются двумя значениями F_A и F_B фиксированных нагрузок. По формуле (4.13) проводят расчет вероятностей безотказной работы системы при этих нагрузках. Нагрузки подбирают с таким расчетом, чтобы при оценке надежности системы вероятность безотказной работы системы получилась в пределах p (R > F_A) = = 0,45…0,60 и p (R> F_B) = 0,95…0,99, т. е. охватывали бы интересующий интервал. Предварительно ориентировочные значения нагрузок принимают близкими к значениям.

• 2. По табл. 4.1 находят квантили нормального распределения и_рА и и_рВ, соответствующие найденным вероятностям.
• 3. Аппроксимируют закон распределения несущей способности системы нормальным распределением с параметрами математического ожидания m_R и коэффициента вариации v_R. Пусть S_R — среднее квадратическое отклонение аппроксимирующего распределения, тогда m_R — F_A + u_pAS_R = 0 и m_R — F_B + u_pBS_R = 0. Из этих выражений находят выражения для m_R и v_R = S_R/m_R.

Таблица 4.1.

4. Вероятность безотказной работы системы p (R> F) для случая нормального распределения нагрузки F по системам с параметрами математического ожидания m_F и коэффициента вариации v_F находят обычным способом по квантилю нормального распределения и_р. Квантиль и_р вычисляют по формуле, отражающей факт, что разность двух распределенных нормально случайных величин (несущей способности системы и нагрузки) распределена нормально с математическим ожиданием, равным разности их математических ожиданий, и средним квадратическим, равным корню из суммы квадратов их средних квадратических отклонений:

где п — условный запас прочности по средним значениям несущей способности и нагрузки, п = m_R / m_F.

Использование изложенного метода рассмотрим на примерах.

Пример 4.2. Оценить вероятность безотказной работы одноступенчатого редуктора, если: условные запасы прочности по средним значениям несущей способности и нагрузки составляют: для зубчатой передачи л, = 1,5; для подшипников входного вала Я₂ = = 1,4; для подшипников выходного вала л₄ = п₅ = 1,6, выходного и входного валов п_ь = п₇ = 2,0. Это соответствует математическим ожиданиям несущей способности элементов m_Rl=l, 5m_F; m_Ri = m_R} = l, 4m_f; = m_Ri =, 6m_F ;

= m_R. = 2m_F. Часто в редукторах значения п_ь и п₇ и соответственно ^{и w}/?₇ бывают больше указанных. Задано, что несущие способности передачи, подшипников и валов нормально распределены с одинаковыми коэффициентами вариации v_R{ =v_Rl = … = v_Rl =0,1, а нагрузка по редукторам распределена также нормально с коэффициентом вариации.

«0,1.

Решение. Задаемся нагрузками F_A и F_B. Принимаем F_A = 1,3/Иуг, F_B = = l, lmyr, предполагая, что эти значения близки к требуемым значениям вероятностей безотказной работы систем при фиксированных нагрузках p (R 5 F_a) и p (R > F").

Вычисляем квантили нормального распределения всех элементов, соответствующие их вероятностям безотказной работы при нагрузках F_A и F_B:

Аналогично.

По квантилям из табл. 4.1 находим вероятности безотказной работы элементов:

• при нагрузке F_A

PxiR * F_A) = 0,9099; p₂(R > F_A) = p_}(R > F_A) = 0,7627;

PAR* F_a) =p_s(R> F_a) = 0,9699; p₆(R> F_A) = p₇(Rz F_A) = 0,9998;

• при нагрузке F_B

P{R * F_B) = 0,9967; p₂(R > F_B) = _Pi(R > F_B) = 0,9842;

_Pa(R г F_B) = p_s(R > F_B) = 0,9991; p₆(R * F_B) = p₇(R> F_B) = 1,0000.

Вероятности безотказной работы редуктора p (R> F_A) и p (R > > F_B) при фиксированных нагрузках F_A и F_B оцениваем по формуле (4.1) как произведение вероятностей безотказной работы элементов. Получаем p (R? F_a) = 0,4979; p (R > F_B) = 0,9637. Из сопоставления этих значений с диапазонами допустимых значений, приведенными ранее, следует, что вероятности находятся внутри этих диапазонов. Поэтому изменять значения F_А и F_B не будем.

По формулам (4.15), (4.16) вычисляем математическое ожидание m_R и коэффициент вариации v_R несущей способности редуктора:

где u_pA и u_pB — квантили нормального распределения, соответствующие вероятностям p (R> F_A) и p (R> F_B).

По формуле (4.17) рассчитываем квантиль и_р нормального распределения, соответствующую вероятности p (R> F) безотказной работы редуктора:

По табл. 4.1 находим искомую вероятность, соответствующую полученной квантили:

Пример 4.3. По исходным данным примера 4.2 найти вероятность безотказной работы редуктора по максимальной нагрузке в соответствии с методикой, применявшейся ранее для практических расчетов. Принимаем максимальную нагрузку F_max =m_F (1 + ?>v_F)=m_F (1 +3 0,1)= l, 3m_f.

Решение. Вычисляем при этой нагрузке квантили нормального распределения вероятностей безотказной работы элементов:

По табл. 4.1 находим соответствующие квантилям вероятности:

Вероятность безотказной работы редуктора при нагрузке F_max вычисляем по формуле (4.13). Получаем p (R > F_max) = 0,496.

Из сопоставления результатов решения двух примеров следует, что первое решение дает оценку надежности значительно более близкую к действительной и более высокую, чем во втором примере. Действительное значение вероятности, рассчитанное на ЭВМ по формуле (4.14), равно 0,9774.