Аффинные преобразования максимального периода

Аффинная подстановка пространства Р^п над полем Р порядка k, граф которой содержит цикл длины kⁿ — 1, называется аффинной подстановкой максимального периода. Определим условия максимальности периода аффинной подстановки.

Утверждение 8.11. Пусть g — линейное преобразование пространства Р^п, где v_xg = v и t_xg = t для х е Р^п. Тогда вектор е_Л. есть неподвижный элемент преобразования g:

М Для линейного преобразования g верно: g (e_v) = ?^Л'⁺¹(х) + g" ⁺²(x) + … + + &^,+г(х). Вершины g*(x) графа Г(g) при i > v принадлежат циклу длины t, тогда g*^+t(x) = &(х). Отсюда g (s_r) = e_v. ?

Итак, каждому элементу х е Р^п соответствует неподвижный элемент линейного преобразования g, определяемый выражением (8.7), обозначим его г_{х g}.

Аффинные преобразования h_x и h₂ пространства Р^п назовем а-параллель— ними, где а — ненулевой вектор пространства Р^п, если h_x(x) — h₂(x) = а для всеххЕ Р^п. Заметим, что если преобразования h_x и h₂ а-параллельны, то оба либо биективны, либо не биективны.

Теорема 8.11. Если g и h суть линейные «-параллельные подстановки пространства Р», то g и h оба либо являются, либо не являются подстановками максимального периода.

Л По условию h (x) = g (x) + а для всех х е Р^п> где а Ф и, и — нуль пространства Р^п. Отсюда с помощью индукции по i получаем равенство для любых х е Р^п и i е N:

По утверждению 8.2, последовательность {g'(«)}, i = 1,2, …, периодическая с длиной периода t_ag, равной длине цикла, которому принадлежит вектор а. Тогда по утверждению 8.11 элемент г_{а g}=g^l~^{(a) + … + g*(«) + а при / = t_{a g} неподвижный для преобразования g.

По теореме 8.1 последовательность {g'(a) +…+ g («) + а}, i- 0, 1, периодическая с длиной периода t> где.

и d (x) есть порядок элементах в аддитивной группе пространства Р" . Очевидно, d (x) = 1 при х = 0 и d (x) = р в противном случае, где р — характеристика поля Р.

В соответствии с (8.8) последовательность {ti (x)} (обозначим длину ее периода t_xh) есть сумма периодических последовательностей {g'(x)} и {g^y(^) + … + g (a) + а) с длинами периодов соответственно t_xg и t. Значит, в соответствии с (8.9).

Преобразование g максимального периода имеет единственный неподвижный элемент — вектор и, и его порядок равен 1. Поэтому d (e_{a g}) = 1 и из (8.10) при х = а имеем: t_{a h} t_{a g}. В то же время из равенства (8.8) следует, что g (x) = h*(x) — hu) для всех х е Р^п и любого натурального i. Значит, t_{x g}| НОК(t_xj_v t_u h). Векторы a и принадлежат одному циклу преобразования h, поэтому при х = а получаем t_{a g} t_{a h}. Отсюда t_{a h} = t_{a g} = kⁿ — 1.

Пусть теперь аффинная подстановка h пространства Р^п имеет длину периода kⁿ-. Вектор а не является неподвижной точкой преобразования А, так как его прообраз есть вектор и, поэтому t_{a h} = k^ri — 1. Тогда из равенства (8.10) при х = а следует, что (kⁿ — l)d (e_{a g})t_{a g}. Порядок d{z_a) = 1, либо d (E_{a g}) =p, в обоих случаях (kⁿ — 1, d (e_{a ф})) = 1, тогда (kⁿ —) _{a g}. Следовательно, t_{a g} = kⁿ — 1, и g — преобразование максимального периода. ?