Метод Гаусса с выбором главного элемента

Из источника [5] сказано, что может оказаться так, что система (1) имеет единственное решение, хотя какой либо из миноров матрицы равен нулю. Заранее неизвестно, что все угловые миноры матрицы не равны нулю. В этом случае можно использовать метод Гаусса с выбором главного элемента.

Выбор главного элемента по столбцу, когда наом шаге исключения в качестве главного элемента выбирают максимальный по модулю коэффициент при неизвестном в уравнениях с номерами. Затем уравнение, соответствующее выбранному коэффициенту, меняют местами сым уравнением системы, чтобы ведущий элемент занял место коэффициента. После перестановки исключение неизвестного выполняется как в схеме единственного деления.

Пусть дана система второго порядка.

Предположим, что, тогда переставим уравнения.

и применяем первый шаг прямого хода метода Гаусса. В этом случае имеет место перенумерация строк.

Выбор главного элемента по строке, т. е. производится перенумерация неизвестных системы.

При, на первом шаге вместо неизвестного исключают :

К этой системе применяется первый шаг прямого хода метода Гаусса.

Поиск главного элемента по всей матрице заключается в совместном применении методов 1 и 2. Всё это приводит к уменьшению вычислительной погрешности, но может замедлить процесс решения задачи.