Электрическое поле — поле потенциальное

Составим выражение для разности потенциалов в поле точечного заряда. С этой целью положим, что в точке т рис. 19.2 находится положительный точечный заряд q_l9 создающий поле, а из точки 1 в точку 2 через промежуточную точку 3 перемещается единичный положительный заряд <7=1.

Обозначим: R_x — расстояние от точки т до исходной точки /; R₂ — расстояние от точки т до конечной точки 2; R — расстояние от точки т до произвольной точки 3 пути 13 2. Направление dl в промежуточной точке 3 показано на рис. 19.2. Скалярное произведение Edl = Е dR. где dR — проекция элемента пути dl на направление радиуса, соединяющего точку т с точкой 3.

В соответствии с определением напряженность поля E-Flq. По закону Кулона.

Так как R₀ = 1 и q = 1, то модуль напряженности поля в поле точечного заряда.

Подставим в формулу (19.2) вместо Ё dl значение q/ (4 тс е₀ R²)dR, получим.

Таким образом, разность потенциалов между исходной и конечной точками пути (точками 1 и 2) зависит только от положения этих точек и не зависит от пути, по которому происходило перемещение из исходной точки в конечную. Другими словами, если перемещение из точки / в точку 2 будет происходить по какому-то другому пути, например по пути 14 2, то разность потенциалов ср₁ -ср₂, полученная в этом случае, будет равна разности потенциалов ср, — ср₂ при перемещении из точки I в точку 2 по пути /3 2.

Если поле создано совокупностью точечных зарядов, то этот вывод справедлив для поля, созданного каждым из точечных зарядов в отдельности. А так как для электрического поля в однородном и изотропном диэлектрике справедлив принцип наложения, то вывод о независимости разности потенциалов ср, -ср₂ от пути, по которому происходило перемещение из точки 1 в точку 2, справедлив и для электрического поля, созданного совокупностью точечных зарядов.

Если пройти по замкнутому пути 1 3 2 4 1 (см. рис. 19.2), то исходная точка пути / и конечная точка пути 2 совпадут, и тогда левая и правая части формулы (19.2) будут равны нулю:

Кружок на знаке интеграла означает, что интеграл берется по замкнутому контуру.

Соотношение (19.3) свидетельствует о том, что в электростатическом поле линейный интеграл от напряженности электрического поля, взятый вдоль любого замкнутого пути, равен нулю.

Физически это объясняется тем, что при движении вдоль замкнутого пути совершена определенная работа силами поля и такая же работа совершена внешними силами против сил поля. Если условиться работу, совершенную силами поля, считать положительной, а совершенную против сил поля — отрицательной, то сумма «положительных» и «отрицательных» работ равна нулю.

Равенство (19.3) можно трактовать и так: циркуляция вектора Ё вдоль любого замкнутого контура равна нулю. Это соотношение выражает собой основное свойство электростатического поля. Поля, для которых выполняются подобного рода соотношения, называют потенциальными. Потенциальными являются не только электростатические, но и гравитационные поля (поля сил тяготения между материальными телами), установившиеся температурные поля около нагретых тел и т. д.