Теплопроводность в теле с двухмерным температурным полем
Найдем аналитическое решение дифференциального уравнения при некоторых граничных условиях. Для двухмерного температурного поля Т= = f (x, y) при стационарных условиях уравнение (2.64) имеет вид: Для решения уравнения используем метод разделения переменных. Решение представим в виде произведения двух функций: где Х (х) — функция переменного х Y (y) — функция переменного у. Теперь уравнение (13.38… Читать ещё >
Теплопроводность в теле с двухмерным температурным полем (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Аналитическое решение для двухмерного (T=J (x9y)) температурного поля, удовлетворяющее дифференциальному уравнению с граничными условиями, целесообразно получать для тел простой формы. Для тел сложной формы решение получается громоздким, а в отдельных случаях и невыполнимым. Тогда для практических расчетов аналитическое решение либо упрощают, либо задачу решают численными методами (см. гл. 15).
Найдем аналитическое решение дифференциального уравнения при некоторых граничных условиях. Для двухмерного температурного поля Т= = f (x, y) при стационарных условиях уравнение (2.64) имеет вид:
д2Т д2Т дх2 ду2
= 0.
(13.37).
Для решения уравнения используем метод разделения переменных. Решение представим в виде произведения двух функций: где Х (х) — функция переменного х Y (y) — функция переменного у.
Подставив это выражение в (13.37), получим:
После почленного деления этого уравнения на XYимеем:
Левая часть этого уравнения не зависит от х, а правая — от у, поэтому величина, одновременно равная и левой, и правой частям, может быть только постоянной, которую удобно взять в форме к2 (или — к2), где к > 0.
Теперь уравнение (13.38) распадается на два обыкновенных дифференциальных уравнения:
и Общее решение уравнения (13.40) имеет вид:
где С и D — произвольные постоянные величины.
Общее решение уравнения (13.40) имеет вид:
Общее решение для двухмерного температурного поля (13.37):
можно применять для решения конкретных задач.