Нормальное и тангенциальное ускорение

Пусть точка движется вдоль некоторой кривой. Положение точки на кривой будем задавать параметром 5 — длиной дуги, отсчитываемой от некоторой начальной точки. За время 61 точка переместится на расстояние ск вдоль кривой, причем (1 $ = ус1/.

Рис. 1.5.

Любой вектор определяется величиной (модулем) и направлением. Пусть х — единичный касательный вектор к траектории движущейся точки (| т |= 1) (рис. 1.5). Для вектора скорости можно написать у = ху (спидометр автомобиля показывает величину у, а вектор х задается дорогой). Имеем:

Вектор с! т — приращение вектора х за малое время Д/. Поскольку модуль х постоянен, его приращение ортогонально самому вектору. Пусть Я — единичный вектор нормали к траектории. Тогда вектор <3х направлен вдоль Я. При малом смещении (1 $ вдоль кривой изменение вектора х пропорционально с!$ и зависит от кривизны кривой:

где /? — радиус кривизны траектории. Разделив обе части равенства.

(1.16) на <1/, получим.

Возвращаясь к равенству (1.15), для вектора ускорения с учетом.

(1.17) найдем.

Формула (1.18) представляет ускорение в виде суммы двух ортогональных векторов. Первый направлен по касательной к траектории и называется тангенциальным ускорением, второй — по нормали и называется нормальным ускорением.

Тангенциальное ускорение определяется изменением скорости по величине, нормальное связано с кривизной траектории.

Задача 1.13. Автомобиль со скоростью 72 км/ч входит в поворот с радиусом закругления 10 м. Какое ускорение имеет автомобиль на повороте? За какое время автомобиль остановится, если на прямом участке будет тормозить с тем же ускорением?

Решение. Поскольку скорость постоянна, dv/d/ = 0, и отлично от нуля только нормальное ускорение: a_r = v²//? = 400/10 = 40 (м/с²). Если автомобиль тормозит на прямом участке, отлично от нуля только тангенциальное ускорение. Из dv/d/ = а = const следует, что v (/) = v (0) + at. Это дает уравнение 0 = 20 — 40/, откуда / = 0,5 с. Тормозной путь при этом, как легко сосчитать, равен 5 м.

Если с таким же ускорением тормозить на закруглении, результирующее ускорение будет (м/с²). Именно поэтому не рекомендуется тормозить на закруглении.

Задача 1.14. Точка движется по закону

(Так движется тело в поле тяжести при пренебрежимо малом сопротивлении воздуха.) Найти тангенциальное ускорение точки.

Решение. Имеем: Пусть х (/) — единичный касательный вектор к траектории в месте нахождения движущейся точки: тангенциальное ускорение есть проекция ускорения на направление касательной, или.

Видим, что при v_0y < gt ускорение д> 0 и скорость растет (нисходящая ветвь траектории). Используя соотношение jc — v_0jt/, можно исключить / из выражения для ускорения и найти ускорение как функцию х.